牛頓萊布尼茨公式

??????????裝?????????訂?????????線??????????

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)舊知識(shí)，引入課題1）復(fù)習(xí)：定積分的概念及幾何意義原函數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的定義2）課題引入：從上節(jié)的例題和習(xí)題中可以看到利用定積分的定義計(jì)算定積分的值是十分繁瑣且易出錯(cuò)的，有時(shí)甚至無(wú)法計(jì)算。下面將通過對(duì)定積分與原函數(shù)關(guān)系的討論，到出一種計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便有效的方法—牛頓-萊布尼茨公式。2、講解新課2.1 定積分與不定積分的聯(lián)系若質(zhì)點(diǎn)以速度v v(t)作變速直線運(yùn)動(dòng)，由定積分的定義，質(zhì)點(diǎn)從時(shí)刻a到b所經(jīng)過的路程為sbv(t)dt。a另一方面，質(zhì)點(diǎn)從某時(shí)刻a到時(shí)刻b經(jīng)過的路程記為s(b)s(a)，則s'(t)v(t)，于是bv(t)dts(b)s(a)sa注意到路程函數(shù) s(t)是速度函數(shù)v(t)的原函數(shù)，因此把定積分與不定積分聯(lián)系起來(lái)了，這就是下面要介紹的牛頓 -萊布尼茨公式。2.2牛頓-萊布尼茨公式定理：若函數(shù) f(x)在a,b上連續(xù)，且存在原函數(shù) Fx,文檔大全??????????裝?????????訂?????????線??????????

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案即F'(x)f(x)，xa,b，則f(x)在a,b上可積，且b（1）f(x)dxFbFaa則上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式，它也常寫成b bf(x)d(x)F(x)a證明：由定積分定義，任給 0，要證明存在 0，當(dāng)T 時(shí)，有nf i xi Fb Fai 1下面證明滿足如此要求的 確實(shí)是存在的。事實(shí)上，對(duì)于a,b的任一分割T a x0,x1, ,xn b，在每個(gè)小區(qū)間xi1,xi 上對(duì)Fx使用拉格朗日中值定理，則分別存在i xi1,xi,i 1,2, ,n，使得n nFb Fa Fxi Fxi1 F' i xi（2）i1 i 1因?yàn)閒(x)在a,b上連續(xù)，從而一致連續(xù)，所以對(duì)上述0，存在0，當(dāng)x',x''a,b且x'x''時(shí)有f(x')fx''ba于是，當(dāng)xiT時(shí)，任取ixi1,xi便有i i ，這就證得nf i xi Fb Fai 1文檔大全??????????裝?????????訂?????????線??????????

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案nf i f i xi1nfifixii1nbai1xi所以f(x)在a,b上可積，且有公式（1）成立。公式使用說(shuō)明：bxdx時(shí)，f(x)的原函數(shù)必須是初（1）在應(yīng)用公式求fab等函數(shù)，否則使用公式求fxdx失效。即f(x)的原函a數(shù)Fx可由 fxdx求出。2）定理的條件還可以適當(dāng)減弱，如：1）對(duì)Fx的要求可減弱為：在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導(dǎo)，且F'(x) f(x)，不影響定理的證明。）對(duì)f(x)的要求可減弱為：在a,b上可積（不一定連續(xù)），這時(shí)公式（2）仍成立。2.3 例題講解例1利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算下列定積分bxndx（n為正整數(shù)）（1）abexdx（2）abdx0ab（3）x2a（4）sinxdx0文檔大全??????????裝?????????訂?????????線??????????

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2（5） x 4 x2dx0解：其中（1）—（3）即為上節(jié)的例題和習(xí)題，現(xiàn)在用牛頓-萊布尼茨公式來(lái)計(jì)算就十分方便了。bxndxxn1b1bn1an1（1）an1an1bexdxxbeba（2）eaeabdx1b11（3）x2xaaba（4）sinxdxcosx020（5）先用不定積分法求出fxx4x2的任一原函數(shù)，然后完成定積分計(jì)算：2dx14x2d4x214x23x4x23C2212283x4xdx34x300例2利用定積分求極限：lim111Jn1n22nn解：把極限式化為某個(gè)積分和的極限式， 并轉(zhuǎn)化為計(jì)算定積分。為此作如下變形：n11Jliminni11n不難看出，其中的和式是函數(shù)fx1在區(qū)間0,1上的x1一個(gè)積分和（這里所取得是等分分割，文檔大全??????????裝?????????訂?????????線??????????

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案xi1,iii1,i,i1,2,,n），所以nnnn111dxln1xln2Jx010當(dāng)然，也可把J看作fx1在1,2上定積分，同樣有211x3ln2Jdxdx1x2x1注意：這類問題的解題思想，是要把所求的極限轉(zhuǎn)化為某個(gè)函數(shù)fx在某一區(qū)間 a,b上的積分和的極限，然后利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算Jbfxdx的值。a3、課堂小結(jié)微積分基本公式：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，且存在原函數(shù)Fx,即F'(x)f(x)，xa,b，則f(x)在a,b上可積，且bFaf(x)dxFba4、課后作業(yè)習(xí)題4-3文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案??????????裝?????????訂?????????線????文檔大全???實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案???文檔大全????實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案?? 文檔大全????實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案??????????裝??????文檔大全??訂實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案?山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案紙?文檔大全????實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案?山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案紙?文檔大全