復(fù)變函數(shù)課件

復(fù)變函數(shù)pdf復(fù)變函數(shù)，是指以復(fù)數(shù)作為自變量和因變量的函數(shù)

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，而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復(fù)變函數(shù)論主要就是研究復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論。復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開平方的情況。在很長(zhǎng)時(shí)間里，人們對(duì)這類數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來(lái)。復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀(jì)。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程。而比他更早時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來(lái)人們提到這兩個(gè)方程，把它們叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀(jì)，上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，作了更詳細(xì)的研究，所以這兩個(gè)方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法國(guó)的拉普拉斯也隨后研究過(guò)復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū)。后來(lái)為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯了。二十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展，維爾斯特拉斯的學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊、阿達(dá)瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ?，開拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對(duì)它們的發(fā)展很有影響。復(fù)變函數(shù)論主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。如果當(dāng)函數(shù)的變量取某一定值的時(shí)候，函數(shù)就有一個(gè)唯一確定的值，那么這個(gè)函數(shù)解就叫做單值解析函數(shù)，多項(xiàng)式就是這樣的函數(shù)。復(fù)變函數(shù)也研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多層面安放在一起而構(gòu)成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點(diǎn)概念在幾何上有非常直觀的表示和說(shuō)明。對(duì)于某一個(gè)多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在黎曼曲面上就變成單值函數(shù)。黎曼曲面理論是復(fù)變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深?yuàn)W的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來(lái)?，F(xiàn)時(shí)，關(guān)于黎曼曲面的研究還對(duì)另一門數(shù)學(xué)分支拓?fù)鋵W(xué)有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓?fù)湫再|(zhì)。復(fù)變函數(shù)論中用幾何方法來(lái)說(shuō)明、解決問(wèn)題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)可以通過(guò)共形映象理論為它的性質(zhì)提供幾何說(shuō)明。導(dǎo)數(shù)處處不是零的解析函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、彈性理論、靜電場(chǎng)

、電路理論等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。留數(shù)理論是復(fù)變函數(shù)論中一個(gè)重要的理論。留數(shù)也叫做殘數(shù)，它的定義比較復(fù)雜。應(yīng)用留數(shù)理論對(duì)于復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算比起線積分計(jì)算方便。計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分，可以化為復(fù)變函數(shù)沿閉回路曲線的積分后，再用留數(shù)基本定理化為被積分函數(shù)在閉合回路曲線內(nèi)部孤立奇點(diǎn)上求留數(shù)的計(jì)算，當(dāng)奇點(diǎn)是極點(diǎn)的時(shí)候，計(jì)算更加簡(jiǎn)潔。把單值解析函數(shù)的一些條件適當(dāng)?shù)馗淖兒脱a(bǔ)充，以滿足實(shí)際研究工作的需要，這種經(jīng)過(guò)改變的解析函數(shù)叫做廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數(shù)的一些基本性質(zhì)，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)的應(yīng)用范圍很廣泛，不但應(yīng)用在流體力學(xué)的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學(xué)部門也在應(yīng)用。因此，這些年來(lái)這方面的理論發(fā)展十分迅速。從柯西算起，復(fù)變函數(shù)論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。它曾經(jīng)推動(dòng)過(guò)一些學(xué)科的發(fā)展，并且常常作為一個(gè)有力的工具被應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用。復(fù)變函數(shù)的主要研究對(duì)象是解析函數(shù)，包括單值函數(shù)、多值函數(shù)以及幾何理論三大部分。在悠久的歷史進(jìn)程中，經(jīng)過(guò)許多學(xué)者的努力，使得復(fù)變函數(shù)論獲得了巨大發(fā)展，并且形成了一些專門的研究領(lǐng)域。單值函數(shù)中最基本的兩類函數(shù)是整函數(shù)和亞純函數(shù)，它們分別是多項(xiàng)式和有理函數(shù)的發(fā)展。外爾斯特拉斯將多項(xiàng)式的因式分解定理推廣到整函數(shù)，而G.米塔-列夫勒則將有理函數(shù)分解為部分分式的定理推廣到亞純函數(shù)。(C.-)é.皮卡、(F.-é.-J.-)é.波萊爾等進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了整函數(shù)的取值與多項(xiàng)式的取值之間有著很大的相似性。在此基礎(chǔ)上，1925年R.奈望林納建立了亞純函數(shù)值分布的近代理論，對(duì)函數(shù)論的發(fā)展產(chǎn)生了重要影響。它和復(fù)變函數(shù)論的其他領(lǐng)域也存在著密切聯(lián)系。例如，1973年A.伯恩斯坦應(yīng)用實(shí)變函數(shù)的思想引進(jìn)T^*函數(shù)，它在值分布論的虧量問(wèn)題、整函數(shù)的最小模問(wèn)題以及單葉函數(shù)的研究中都發(fā)揮了顯著效用。關(guān)于多值函數(shù)的研究主要是圍繞著黎曼曲面及單值化的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行的。1913年（C.H.）H.外爾在其經(jīng)典著作《黎曼曲面概念》中首先給出了抽象黎曼曲面的定義，它是流形這個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)基本概念的雛形。黎曼曲面的研究不僅使自身形成了完美的理論，而且它為代數(shù)幾何、自守函數(shù)、復(fù)流形、代數(shù)數(shù)論等近代數(shù)學(xué)重要分支的研究提供了簡(jiǎn)單、明了的模型。在復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用上，共形映射具有重要的地位。H.E.茹科夫斯基通過(guò)共形映射研究繞機(jī)翼的流動(dòng)便是著名的例子。實(shí)際應(yīng)用中，常常要借助近似方法具體地構(gòu)造出映射函數(shù)。這方面有不少研究工作。當(dāng)然，有時(shí)并不需要知