2022衡水中學(xué)地理內(nèi)部學(xué)習(xí)資料專題06 離心率（新高考地區(qū)專用）（解析版）

專題06離心率技巧導(dǎo)圖技巧導(dǎo)圖技巧詳講技巧詳講焦點三角形中的離心率1.橢圓（1）橢圓：設(shè)橢圓焦點三角形兩底角分別為、，則(正弦定理)。2.雙曲線：利用焦點三角形兩底角來表示:。雙曲線的漸進(jìn)線與離心率關(guān)系直線與雙曲線相交時，兩個交點的位置兩個交點在雙曲線的兩支：兩個交點在雙曲線的同一支:兩個交點在雙曲線的左支:兩個交點在雙曲線的右支:焦點弦與離心率關(guān)系，則有(為直線與焦點所在軸的夾角)。例題舉證例題舉證技巧1焦點三角形中的離心率【例1】(1)．已知，是雙曲線：的左、右焦點，點在上，與軸垂直，，則雙曲線的離心率為（）A．2 B．2 C． D．（2）（2020·安徽省高三三模）已知橢圓：的左右焦點分別為，，若在橢圓上存在點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）A【解析】（1）不妨設(shè)代入雙曲線方程得，.故答案選：C（2），（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，由橢圓定義知：，又，，，，又，離心率的取值范圍為.故選：.【舉一反三】1．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三月考）已知點P在以為左，右焦點的橢圓上，在中，若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】中，所以故選：B2．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知點是以、為焦點的橢圓上一點，若，，則橢圓的離心率（）A． B． C． D．【答案】A【解析】點是以、為焦點的橢圓上一點，，，，，可得，，由勾股定理可得，即，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.3．（2019·遼寧沈陽市·沈陽二中高三月考（理））橢圓的離心率為，、是橢圓的兩個焦點，是圓上一動點，則的最小值是（）A． B． C． D．0【答案】A【解析】橢圓的離心率為，即.，故，當(dāng)時等號成立.根據(jù)余弦定理：.故選：.技巧2點差法中的離心率【例2】（1）（2020·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校）過點作直線與橢圓相交于兩點，若是線段的中點，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．（2）（2020·安徽省潛山第二中學(xué)）已知A，B是橢圓E：的左、右頂點，M是E上不同于A，B的任意一點，若直線AM，BM的斜率之積為，則E的離心率為A． B． C． D．【答案】（1）B（2）D【解析】（1）設(shè)，，由直線的斜率為可得，由線段的中點為可得，，由點在橢圓上可得，作差得，所以，即，所以，所以該橢圓的離心率.故選：B.（2）由題意方程可知，，設(shè),則,，整理得：，①又，得，即，②聯(lián)立①②，得，即，解得．故選D．【舉一反三】1．已知雙曲線：，斜率為2的直線與雙曲線相交于點、，且弦中點坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】設(shè)、，則，，所以，所以，又弦中點坐標(biāo)為，所以，，又，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：B.2．（2020·全國高三專題）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴點在以為直徑的圓上，又點在橢圓內(nèi)部，∴，∴，即，∴，即，又，∴，故選：B.3．（2020·全國高三專題練習(xí)）若，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，當(dāng)，且，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可知，，，，，由橢圓定義可知，.故選：C.技巧3漸近線與離心率【例3】已知圓的一條切線與雙曲線有兩個交點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，圓心到直線的距離，解得，圓的一條切線與雙曲線有兩個交點，所以，所以，所以.故選：D.【舉一反三】1．若雙曲線（，）與直線無公共點，則離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若雙曲線與直線無公共點，等價為雙曲線的漸近線的斜率，即，即，即，即，則，則，，離心率滿足，即雙曲線離心率的取值范圍是，故選：A．2．已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．【答案】A【解析】已知雙曲線的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，故選．3．（2020·河南新鄉(xiāng)市·高三）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過原點作斜率為的直線交的右支于點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】題可知，，，，所以，可得.在中，由余弦定理可得，即，解得.雙曲線的離心率為.故選：D.技巧4焦點弦與離心率【例4】（2020·石嘴山市第三中學(xué)高三三模）已知橢圓的左右焦點分別為，過作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，且，則橢圓的離心率=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】橢圓的左右焦點分別為，過且斜率為的直線為聯(lián)立直線與橢圓方程消后，化簡可得因為直線交橢圓于A，B，設(shè)由韋達(dá)定理可得且，可得，代入韋達(dá)定理表達(dá)式可得即化簡可得所以故選：D．【舉一反三】1．（2020·河南省高三月考）傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓右焦點，與橢圓交于、兩點，且，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)到右準(zhǔn)線距離為，則，因為，則，所以到右準(zhǔn)線距離為，從而傾斜角為，，選B.2．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知、是雙曲線(，)的左、右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點，交另一條漸近線于點，且，則該雙曲線的離心率為（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】（1）當(dāng)時，設(shè)，則，設(shè)，由題意可知，，，，則，，，代入得，即，解得，則，（2）當(dāng)時，設(shè)，，設(shè)，則，，由題意可知，，，，則，，，則，則，代入得，即，解得，則，故選：B.3．（2019·浙江高三其他模擬）已知過雙曲線的右焦點F，且與雙曲線的漸近線平行的直線l交雙曲線于點A，交雙曲線的另一條漸近線于點B（A，B在同一象限內(nèi)），滿足，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，如圖，不妨設(shè)在第一象限，直線的方程為，與聯(lián)立，得；直線與聯(lián)立，得．由，得，即，得，即，則，故選：B．技巧強化技巧強化1．已知傾斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點，是弦的中點，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為傾斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點，所以直線的斜率，設(shè)，則①②由①②得則因為是弦的中點，因為直線的斜率為1即所以，則，故選：D2．設(shè)F是雙曲線的右焦點.過點F作斜率為-3的直線l與雙曲線左、右支均相交.則雙曲線離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為雙曲線的兩條漸近線方程為，當(dāng)過點F且斜率為-3的直線l與漸近線平行時.直線l只與雙曲線右支有一個交點，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)漸近線的斜率滿足，即時，直線l與雙曲線左、右支均相交，所以.故選:C.3．（2019·黑龍江佳木斯市·佳木斯一中高三月考）已知，分別是橢圓的左、右焦點，P是此橢圓上一點，若為直角三角形，則這樣的點P有（）.A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【答案】C【解析】由題意，則，當(dāng)為橢圓短軸頂點時，，，，即，短軸頂點有2個，過或作軸垂直與橢圓相交的點在4個，都是直角三角形，因此共有6個．故選：C.4．（2020·廣東廣州市）已知,分別是橢圓的左,右焦點,橢圓上存在點使為鈍角,則橢圓的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的上頂點為，則∵橢圓上存在點，使為鈍角,故答案為A5．（2020·河北石家莊市）已知橢圓，點M,N為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點H，使,則離心率e的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意設(shè)，則可得：故選A．6．（2020·全國高三專題練習(xí)）橢圓C：的左焦點為F，若F關(guān)于直線x＋y＝0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為（）A． B．C． D．－1【答案】D【解析】設(shè)F（－c,0）關(guān)于直線x＋y＝0的對稱點為A（m，n），則，解得m＝，n，代入橢圓方程可得化簡可得e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e＝－1.故選：D.7．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓（a>b>0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2．P是橢圓上一點．PF1F2為以F2P為底邊的等腰三角形，當(dāng)60°<PF1F2<120°，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A．（） B．（） C．（） D．（0）【答案】B【解析】由題意可得，即，所以，又，則，所以，則，即．故答案選B．8．（2020·廣東肇慶市）已知橢圓的左右頂點分別為，是橢圓上異于的一點，若直線的斜率與直線的斜率乘積，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意可知.設(shè)，代入橢圓方程得.代入得，即，與對比后可得，所以橢圓離心率為.故選D.9．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，焦距為2c，直線與雙曲線的一個交點M滿足，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由題意，直線過左焦點且傾斜角為60°，∴，，∴，即∴，∴，雙曲線定義有，∴離心率.11．（2020·全國）若、為橢圓：()長軸的兩個端點，垂直于軸的直線與橢圓交于點、，且，則橢圓的離心率為______【答案】【解析】設(shè)、，因為，，所以，所以，所以.故答案為：12．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，過右焦點作傾斜角60°的直線交于，兩點（A在第一象限），則________.【答案】【解析】因為離心率為，所以,設(shè)直線的方程代入橢圓方程：得：，又∵點在第一象限，故，所以13．（2020·全國高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為、，若在雙曲線的右支上存在一點，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是____.【答案】【解析】由雙曲線的定義可得，又，則，，所以，.因此，雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：.14．（2020·臺州市書生中學(xué)高三其他）已知橢圓，，分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓的下頂點，直線交橢圓于另一點，若，則橢圓的離心率為【答案】【解析】如圖，點在橢圓上，所以，由，代入上式得，在，，又，所以，即，15．（2020·開魯縣第一中學(xué)）已知橢圓的左、右焦點分別為，，是橢圓上一點，是以為底邊的等腰三角形，若，則該橢圓的離心率的取值范圍是【答案】【解析】由題意可得

PF2=F1F2=2c，再由橢圓的定義可得PF1=2a-PF2=2a-2c．

設(shè)∠PF2F1=，則，△PF1F2中，由余弦定理可得

cos=由-1＜cosθ

可得3e2+2e-1＞0，e＞，由cosθ＜，可得2ac＜a2，e=，綜上16．（2020·四川省綿陽南山中學(xué)高三）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為【答案】【解析】設(shè)，則由橢圓的定義，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，17．（2020·河北省高三）已知橢圓，，，過點的直線與橢圓交于，，過點的直線與橢圓交于，，且滿足，設(shè)和的中點分別為