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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下列函數(shù)中,在區(qū)間上為減函數(shù)的是()A. B. C. D.2.函數(shù)的部分圖象如圖所示,已知,函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個單位長度而得到,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.3.已知向量,夾角為,,,則()A.2 B.4 C. D.4.已知函數(shù),,若對任意,總存在,使得成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.5.已知函數(shù)且,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.如圖所示,正方體的棱,的中點分別為,,則直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.7.如圖,已知三棱錐中,平面平面,記二面角的平面角為,直線與平面所成角為,直線與平面所成角為,則()A. B. C. D.8.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面,已知這三人都不會違約且無兩人同時到達,則甲第一個到、丙第三個到的概率是()A. B. C. D.9.公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a1+a2+a5=13,且a1、a2、a5成等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的公差等于()A.1 B.2 C.3 D.410.已知集合,則()A. B. C. D.11.不等式的解集記為,有下面四個命題:;;;.其中的真命題是()A. B. C. D.12.已知空間兩不同直線、,兩不同平面,,下列命題正確的是()A.若且,則 B.若且,則C.若且,則 D.若不垂直于,且,則不垂直于二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)()的圖象與直線相切,則______.14.若函數(shù),則__________;__________.15.如圖是某幾何體的三視圖,俯視圖中圓的兩條半徑長為2且互相垂直,則該幾何體的體積為________.16.設等比數(shù)列的前項和為,若,則數(shù)列的公比是.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,的前n項和為,滿足,,,.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)令,數(shù)列的前n項和,求.18.(12分)設數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.19.(12分)已知,,,.(1)求的值;(2)求的值.20.(12分)設為坐標原點,動點在橢圓:上,該橢圓的左頂點到直線的距離為.(1)求橢圓的標準方程;(2)若橢圓外一點滿足,平行于軸,,動點在直線上,滿足.設過點且垂直的直線,試問直線是否過定點?若過定點,請寫出該定點,若不過定點請說明理由.21.(12分)如圖,四棱錐中,底面是矩形,面底面,且是邊長為的等邊三角形,在上,且面.(1)求證:是的中點;(2)在上是否存在點,使二面角為直角?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.22.(10分)數(shù)列滿足,是與的等差中項.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進而可得出結果.【詳解】對于A選項,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對于B選項,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對于C選項,函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù);對于D選項,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷,熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關鍵,屬于基礎題.2、A【解析】
由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對稱性可得,利用周期公式可得,再根據(jù)圖像過,即可求出,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因為函數(shù)的圖象由圖象向右平移個單位長度而得到,所以.故選:A【點睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換,需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則,屬于基礎題.3、A【解析】
根據(jù)模長計算公式和數(shù)量積運算,即可容易求得結果.【詳解】由于,故選:A.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算,模長的求解,屬綜合基礎題.4、C【解析】
將函數(shù)解析式化簡,并求得,根據(jù)當時可得的值域;由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域,結合存在性成立問題滿足的集合關系,即可求得的取值范圍.【詳解】依題意,則,當時,,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,當時,;而函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,則只需,故,解得,故實數(shù)的取值范圍為.故選:C.【點睛】本題考查了導數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應用,恒成立與存在性成立問題的綜合應用,屬于中檔題.5、B【解析】
構造函數(shù),判斷出的單調(diào)性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【詳解】構造函數(shù),由解得,所以的定義域為,且,所以為奇函數(shù),而,所以在定義域上為增函數(shù),且.由得,即,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式,屬于中檔題.6、C【解析】
以D為原點,DA,DC,DD1分別為軸,建立空間直角坐標系,由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值.【詳解】以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,設正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,則,,,取平面的法向量為,設直線EF與平面AA1D1D所成角為θ,則sinθ=|,直線與平面所成角的正弦值為.故選C.【點睛】本題考查了線面角的正弦值的求法,也考查數(shù)形結合思想和向量法的應用,屬于中檔題.7、A【解析】
作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因為平面平面,平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因為,故.故,當且僅當重合時取等號.又直線與平面所成角為,且為直線與平面內(nèi)的直線所成角,故,當且僅當平面時取等號.故.故選:A【點睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關系,同時運用線面角的最小性進行判定.屬于中檔題.8、D【解析】
先判斷是一個古典概型,列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數(shù),再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù),利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6種,其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙,共1種,所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選:D【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.9、B【解析】
設數(shù)列的公差為.由,成等比數(shù)列,列關于的方程組,即求公差.【詳解】設數(shù)列的公差為,①.成等比數(shù)列,②,解①②可得.故選:.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算,屬于基礎題.10、B【解析】
計算,再計算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù),故.故選:.【點睛】本題考查了集合的交集,意在考查學生的計算能力.11、A【解析】
作出不等式組表示的可行域,然后對四個選項一一分析可得結果.【詳解】作出可行域如圖所示,當時,,即的取值范圍為,所以為真命題;為真命題;為假命題.故選:A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應用,著重考查作圖能力,熟練作圖,正確分析是關鍵,屬于中檔題.12、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交,故不正確;答案B中的直線也成立,故不正確;答案C中的直線可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直,是正確的;答案D中直線也有可能垂直于直線,故不正確.應選答案C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
設切點由已知可得,即可解得所求.【詳解】設,因為,所以,即,又,.所以,即,.故答案為:.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,難度較易.14、01【解析】
根據(jù)分段函數(shù)解析式,代入即可求解.【詳解】函數(shù),所以,.故答案為:0;1.【點睛】本題考查了分段函數(shù)求值的簡單應用,屬于基礎題.15、20【解析】
由三視圖知該幾何體是一個圓柱與一個半球的四分之三的組合,利用球體體積公式、圓柱體積公式計算即可.【詳解】由三視圖知,該幾何體是由一個半徑為2的半球的四分之三和一個底面半徑2、高為4的圓柱組合而成,其體積為.故答案為:20.【點睛】本題考查三視圖以及幾何體體積,考查學生空間想象能力以及數(shù)學運算能力,是一道容易題.16、.【解析】
當q=1時,.當時,,所以.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2).【解析】
(1)設的公差為,的公比為,由基本量法列式求出后可得通項公式;(2)奇數(shù)項分一組用裂項相消法求和,偶數(shù)項分一組用等比數(shù)列求和公式求和.【詳解】(1)設的公差為,的公比為,由,.得:,解得,∴,;(2)由,得,為奇數(shù)時,,為偶數(shù)時,,∴.【點睛】本題考查求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式,考查分組求和法及裂項相消法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和公式,求通項公式采取的是基本量法,即求出公差、公比,由通項公式前項和公式得出相應結論.數(shù)列求和問題,對不是等差數(shù)列或等比數(shù)列的數(shù)列求和,需掌握一些特殊方法:錯位相減法,裂項相消法,分組(并項)求和法,倒序相加法等等.18、(1);(2).【解析】
(1)令可求得的值,令時,由可得出,兩式相減可得的表達式,然后對是否滿足在時的表達式進行檢驗,由此可得出數(shù)列的通項公式;(2)求出數(shù)列的通項公式,對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論,利用奇偶分組求和法結合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可求得結果.【詳解】(1),當時,;當時,由得,兩式相減得,.滿足.因此,數(shù)列的通項公式為;(2).①當為奇數(shù)時,;②當為偶數(shù)時,.綜上所述,.【點睛】本題考查數(shù)列通項的求解,同時也考查了奇偶分組求和法,考查計算能力,屬于中等題.19、(1)(2)【解析】
(1)先利用同角的三角函數(shù)關系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可;(2)由(1)可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【詳解】解:(1)因為,所以又,故,所以,所以(2)由(1)得,,,所以,所以,因為且,即,解得,因為,所以,所以,所以,所以【點睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查三角函數(shù)的化簡,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函數(shù)關系的應用,考查運算能力.20、(1);(2)見解析【解析】
(1)根據(jù)點到直線的距離公式可求出a的值,即可得橢圓方程;(2)由題意M(x0,y0),N(x0,y1),P(2,t),根據(jù),可得y1=2y0,由,可得2x0+2y0t=6,再根據(jù)向量的運算可得,即可證明.【詳解】(1)左頂點A的坐標為(﹣a,0),∵=,∴|a﹣5|=3,解得a=2或a=8(舍去),∴橢圓C的標準方程為+y2=1,(2)由題意M(x0,y0),N(x0,y1),P(2,t),則依題意可知y1≠y0,得(x0﹣2x0,y1﹣2y0)(0,y1﹣y0)=0,整理可得y1=2y0,或y1=y(tǒng)0(舍),,得(x0,2y0)(2﹣x0,t﹣2y0)=2,整理可得2x0+2y0t=x02+4y02+2=6,由(1)可得F(,0),∴=(﹣x0,﹣2y0),∴?=(﹣x0,﹣2y0)(2,t)=6﹣2x0﹣2y0t=0,∴NF⊥OP,故過點N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點F.【點睛】本題考查了橢圓方程的求法,直線和橢圓的關系,向量的運算,考查了運算求解能力和轉化與化歸能力,屬于中檔題.21、(1)見解析;(2).【解析】試題分析:(1)連交于可得是中點,再根據(jù)面可得進而根據(jù)中位線定理可得結果;(2)取中點,由(1)知兩兩垂直.以為原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,求出面的一個法向量,用表示面的一個法向量,由可得結果.試題解析:(1)證明:連交于,連是矩形,是中點.又面,且是面與面的交
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