東北農(nóng)業(yè)大學(xué)《數(shù)值分析》課件-第九章_第1頁
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東北農(nóng)業(yè)大學(xué)

數(shù)值分析

第九章第九章常微分方程數(shù)值解法§1、引言

微分方程的數(shù)值解：設(shè)方程問題的解y(x)的存在區(qū)間是[a,b]，令a=x0<x1<…<xn=b,其中hk=xk+1-xk,

如是等距節(jié)點(diǎn)h=(b-a)/n

,h稱為步長。y(x)的解析表達(dá)式不容易得到或根本無法得到，我們用數(shù)值方法求得y(x)在每個節(jié)點(diǎn)xk上y(xk)的近似值，用yk表示，即yk≈y(xk)，這樣y0,y1,...,yn稱為微分方程的數(shù)值解。

主要問題如何將微分方程離散化，并建立求其數(shù)值解的遞推公式；遞推公式的局部截斷誤差，數(shù)值解與精確解的誤差估計；遞推公式的穩(wěn)定性與收斂性。用差商代替微商數(shù)值積分Taylor展開微分方程離散化常用方法§1解常微分方程初值問題的Euler方法Euler方法Euler方法的誤差分析向前Euler公式（Euler折線法或顯格式）向后Euler公式（后退Euler公式）梯形公式（改進(jìn)的Euler公式）Euler預(yù)估－校正格式一、Euler方法1、向前Euler公式用分段的折線逼近逼近函數(shù)2、向后（后退的）Euler方法3、梯形公式4、改進(jìn)的尤拉公式梯形公式雖然提高了精度，但使算法復(fù)雜。而在實(shí)際計算中只迭代一次，這樣建立的預(yù)測—校正系統(tǒng)稱作改進(jìn)的尤拉公式。二、Euler方法的誤差分析2）總體方法誤差總體截斷誤差與局部截斷誤差的關(guān)系是：誤差分析表Euler方法局部截斷誤差總體截斷誤差迭代收斂條件向前Euler方法O(h2)O(h)向后Euler方法O(h2)O(h)0<hL<1梯形公式O(h3)O(h2)0<hL<2(L為Lip常數(shù)）向后Euler方法收斂條件與截斷誤差梯形公式的收斂性§2.龍格—庫塔方法基本思想二階R-K方法三階R-K方法四階R-K方法變步長R-K方法一、基本思想二、二階龍格－庫塔方法三、三階龍格－庫塔方法四、四階龍格－庫塔方法五、變步長的龍格—庫塔方法§

4、微分方程數(shù)值解的穩(wěn)定性Euler法的絕對穩(wěn)定區(qū)域向后Euler法的穩(wěn)定性梯形公式的穩(wěn)定性R-K方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域基本

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