第6章材料力學簡單的超靜定問題

1第六章簡單的超靜定問題§6-1

超靜定問題及其解法§6-2

拉壓超靜定問題§6-3

扭轉超靜定問題§6-4

簡單超靜定梁§6-1

超靜定問題及其解法Ⅰ.關于超靜定問題的概述(a)(b)圖a所示靜定桿系為減小桿1,2中的內力或節(jié)點A的位移(如圖b)而增加了桿3。此時有三個未知內力FN1,FN2,FN3，但只有二個獨立的平衡方程──一次超靜定問題。(a)(b)圖a所示簡支梁為減小內力和位移而如圖b增加了中間支座C成為連續(xù)梁。此時有四個未知約束力FAx,FA,FB,FC，但只有三個獨立的靜力平衡方程──一次超靜定問題。

超靜定問題：單憑靜力平衡方程不能求解約束力或構件內力的問題。FAFBl(a)FAxABq(b)l/2l/2CFCFAxAB

qFBFAⅡ.解超靜定問題的基本思路例1超靜定結構解除“多余”約束靜定基(例如桿3與接點A的連接)在靜定基上加上原有荷載及“多余”未知力并使“多余”約束處滿足變形(位移)相容條件相當系統(tǒng)12BCAFFN3FN3AD于是可求出多余未知力FN3。由位移相容條件

，利用物理關系(位移或變形計算公式)可得補充方程：12BCAFFN3FN3AD靜定基ABl補充方程為于是可求出多余未知力FC。位移相容條件ΔCq+ΔCFC=0相當系統(tǒng)ABl/2qlFC例2超靜定梁yxl/2l/2CABqⅢ.注意事項

(1)

超靜定次數=“多余”約束數=“多余”未知力=位移相容條件數=補充方程數，因而任何超靜定問題都是可以求解的。

(2)求出“多余”未知力后，超靜定結構的內力和位移等均可利用相當系統(tǒng)進行計算。

(3)

無論怎樣選擇“多余”約束，只要相當系統(tǒng)的受力情況和約束條件確實與原超靜定系統(tǒng)相同，則所得最終結果是一樣的。

(4)“多余”約束的選擇雖然是任意的，但應以計算方便為原則。如上所示連續(xù)梁若取B處鉸支座為“多余”約束，則求解比較復雜。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq

例1設1、2、3三桿用絞鏈連結，如圖所示,l1=l2=l，A1

=A2=A,E1=E2=E,3桿的長度l3

,橫截面積A3

,彈性模量E3

.試求在沿鉛垂方向的外力F

作用下各桿的軸力.

xyFAFN2FN3FN1解：（1）列平衡方程這是一次超靜定問題﹗§6-2拉壓超靜定問題CABDF123（2）變形幾何方程

由于問題在幾何，物理及受力方面都是對稱，所以變形后A點將沿鉛垂方向下移.變形協(xié)調條件是變形后三桿仍絞結在一起﹗CABDF123xyFAFN2FN3FN1CABD123A'

變形幾何方程為A123┕┕CABDF123CABD123A'A'(3)補充方程物理方程為(4)聯立平衡方程與補充方程求解CABDF123A123┕┕A'15

例題2

求圖a所示等直桿AB上,下端的約束力，并求C截面的位移。桿的拉壓剛度為EA。

解:1.

列平衡方程有兩個未知約束力FA

,FB(見圖a)，但只有一個獨立的平衡方程

FA+FB-F=0為一次超靜定問題。第六章簡單的超靜定問題16

2.

取固定端B為“多余”約束。相應的相當系統(tǒng)如圖b，它應滿足相容條件ΔBF+ΔBB=0，參見圖c，d。第六章簡單的超靜定問題3.

補充方程為由此求得所得FB為正值，表示FB的指向與假設的指向相符，即向上。17得FA=F-Fa/l=Fb/l。5.

利用相當系統(tǒng)(如圖)求得4.

聯立求解FA+FB-F=0第六章簡單的超靜定問題

例3如圖所示剛性梁AB由1，2，3桿懸掛，三桿的剛度均為EA。求P力作用下三桿的軸力。解：（1）平衡方程：變形協(xié)調方程：（2）物理方程：（3）聯解（1）（2）（3）式得：ΔL3ΔL2ΔL1此時，變形協(xié)調條件為注意：受力圖與變形圖必須一致！例4圖示結構，AB為剛性梁，1、2兩桿剛度相同。求1、2桿的受力。平衡方程:變形關系:物理關系:聯立解出:Ⅱ.裝配應力和溫度應力(1)裝配應力超靜定桿系(結構)由于存在“多余”約束，因此如果各桿件在制造時長度不相匹配，則組裝后各桿中將產生附加內力──裝配內力，以及相應的裝配應力。圖a中所示桿系(E1A1=E2A2)中桿3的長度較應有長度短了De，裝配后各桿的位置將如圖中虛線所示。此時，桿3在結點A'

處受到裝配力FN3作用(圖b)，而桿1,2在匯交點A'

處共同承受與桿3相同的裝配力FN3作用(圖b)。(a)(b)求算FN3需利用位移(變形)相容條件(圖a)列出補充方程由此可得裝配力FN3，亦即桿3中的裝配內力為(拉力）(a)至于各桿橫截面上的裝配應力只需將裝配內力(軸力)除以桿的橫截面面積即得。由此可見，計算超靜定桿系(結構)中的裝配力和裝配應力的關鍵,仍在于根據位移(變形)相容條件并利用物理關系列出補充方程。而桿1和桿2中的裝配內力利用圖b中右側的圖可知為

例題5

兩端用剛性塊連接在一起的兩根相同的鋼桿1,2(圖a)，其長度l=200mm，直徑d=10mm。試求將長度為200.11mm，亦即De=0.11mm的銅桿3(圖b)裝配在與桿1和桿2對稱的位置后(圖c)各桿橫截面上的應力。已知：銅桿3的橫截面為20mm×30mm的矩形，鋼的彈性模量E=210GPa，銅的彈性模量E3=100GPa。

解：1.

如圖d所示有三個未知的裝配內力FN1,

FN2,

FN3，但對于平行力系卻只有二個獨立的平衡方程，故為一次超靜定問題。也許有人認為，根據對稱關系可判明FN1=FN2，故未知內力只有二個，但要注意此時就只能利用一個獨立的靜力平衡方程：所以這仍然是一次超靜定問題。(d)2.變形相容條件(圖c)為這里的Dl3是指桿3在裝配后的縮短值，不帶負號。3.利用物理關系得補充方程：4.將補充方程與平衡方程聯立求解得：所得結果為正，說明原先假定桿1,2的裝配內力為拉力和桿3的裝配內力為壓力是正確的。5.各桿橫截面上的裝配應力如下：（拉應力）（壓應力）(2)溫度應力

也是由于超靜定桿系存在“多余”約束，桿件會因溫度變化產生的變形受到限制而產生溫度內力及溫度應力。鐵路上無縫線路的長鋼軌在溫度變化時由于不能自由伸縮，其橫截面上會產生相當可觀的溫度應力。

例題6

試求兩端與剛性支承連接的等截面桿(圖a)當溫度升高Dt時橫截面上的溫度應力。桿的橫截面面積為A，材料的彈性模量為E，線膨脹系數為l。(a)

解:

1.

由平衡方程只能知道桿兩端的軸向支約束力數值相等而指向相反，但不能給出約束力的值，可見這是一次超靜定問題。

2.

以剛性支撐B為“多余”約束后的基本靜定系由于溫度升高產生的伸長變形Dlt和“多余”未知力FN產生的縮短變形DlF分別如圖所示。3.

變形相容條件為4.

補充方程為5.

由此得多余未知力6.

桿的橫截面上的溫度應力為若該桿為鋼桿而l

=1.2×10-5/(?C)，E=210GPa，則當溫度升高Dt=40?時有（壓應力）§6-3

扭轉超靜定問題

例題6-5

兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉角。(a)

解:

1.

有二個未知約束力偶矩MA,MB，但只有一個獨立的靜力平衡方程故為一次超靜定問題。(a)MAMB

2.

以固定端B為“多余”約束，約束力偶矩MB為“多余”未知力。在解除“多余”約束后基本靜定系上加上荷載Me和“多余”未知力偶矩MB，如圖b；它應滿足的位移相容條件為注：這里指的是兩個扭轉角的絕對值相等。另一約束力偶矩MA可由平衡方程求得為3.

根據位移相容條件利用物理關系得補充方程：由此求得“多余”未知力，亦即約束力偶矩MB為4.桿的AC段橫截面上的扭矩為從而有(a)

例題6-6

由半徑為a的銅桿和外半徑為b的鋼管經緊配合而成的組合桿，受扭轉力偶矩Me作用，如圖a。試求銅桿和鋼管橫截面上的扭矩Ta和Tb，并繪出它們橫截面上切應力沿半徑的變化情況。(a)

解:

1.

銅桿和鋼管的橫截面上各有一個未知內力矩──扭矩Ta和Tb(圖b)，但只有一個獨立的靜力平衡方程Ta+Tb=Me，故為一次超靜定問題。TaTb(b)2.

位移相容條件為3.

利用物理關系得補充方程為4.

聯立求解補充方程和平衡方程得：TaTb(b)5.

銅桿橫截面上任意點的切應力為鋼管橫截面上任意點的切應力為上圖示出了銅桿和鋼管橫截面上切應力沿半徑的變化情況。需要注意的是，由于銅的切變模量Ga小于鋼的切變模量Gb，故銅桿和鋼管在r=a處切應力并不相等，兩者之比就等于兩種材料的切變模量之比。這一結果與銅桿和鋼管由于緊配合而在交界處切向的切應變應該相同是一致的。§6-4

簡單超靜定梁Ⅰ.超靜定梁的解法解超靜定梁的基本思路與解拉壓超靜定問題相同。求解圖a所示一次超靜定梁時可以鉸支座B為“多余”約束，以約束力FB為“多余”未知力。解除“多余”約束后的靜定基為A端固定的懸臂梁。靜定基靜定基在原有均布荷載q和“多余”未知力FB作用下(圖b)當滿足位移相容條件(參見圖c,d)

時該系統(tǒng)即為原超靜定梁的相當系統(tǒng)。若該梁為等截面梁，根據位移相容條件利用物理關系(參見教材中的附錄Ⅳ)所得的補充方程為從而解得“多余”未知力所得FB為正值表示原來假設的指向(向上)正確。固定端的兩個約束力利用相當系統(tǒng)由靜力平衡條件求得為該超靜定梁的剪力圖和彎矩圖亦可利用相當系統(tǒng)求得，如圖所示。思考

1.該梁的反彎點(彎矩變換正負號的點)距梁的左端的距離為多少？

2.該超靜定梁可否取簡支梁為基本靜定系求解？如何求解？

例題6-7

試求圖a所示系統(tǒng)中鋼桿AD內的拉力FN。鋼梁和鋼桿的材料相同，彈性模量E已知；鋼桿的橫截面積A和鋼梁橫截面對中性軸的慣性矩I亦為已知。

解:

1.

該系統(tǒng)共有三個未知力(圖b)FN,FB,FC，但平面平行力系僅有兩個獨立的平衡方程，故為一次超靜定問題。

2.

取桿和梁在點A處的連接鉸為“多余”約束，相應的“多余”未知力為FN。位移(變形)相容條件(參見圖b)為wA=DlDA。3.

物理關系(參見圖c,d)為需要注意，因DlDA亦即圖b中的是向下的，故上式中wAF為負的。4.于是根據位移(變形)相容條件得補充方程：由此求得

例題6-8

試求圖a所