工程力學(xué)及其實(shí)驗(yàn) 第十三章 壓桿穩(wěn)定

工程力學(xué)及其實(shí)驗(yàn)第十三章壓桿穩(wěn)定主要內(nèi)容：

壓桿穩(wěn)定的概念及失穩(wěn)分析臨界力和臨界應(yīng)力

歐拉公式的適用范圍

中、小柔度桿的臨界應(yīng)力壓桿的穩(wěn)定性計(jì)算提高壓桿穩(wěn)定性的措施§13－1壓桿穩(wěn)定的概念及失穩(wěn)分析

壓桿穩(wěn)定的概念

壓桿保持其原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱為壓桿的穩(wěn)定性；反之，壓桿喪失其原有直線平衡狀態(tài)而破壞的現(xiàn)象，稱為壓桿的失穩(wěn)。條形鋼板的失穩(wěn)

機(jī)械中的細(xì)長(zhǎng)壓桿

壓桿失穩(wěn)分析

壓桿的失穩(wěn)過(guò)程

對(duì)于細(xì)長(zhǎng)壓桿,其直線平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定,與軸向壓力F的大小有關(guān)。當(dāng)壓力為某一數(shù)值FQ時(shí),壓桿處于穩(wěn)定的直線平衡狀態(tài)和不穩(wěn)定的直線平衡狀態(tài)之間，這一狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)壓桿處于臨界狀態(tài)的壓力值，稱為壓桿的臨界壓力，簡(jiǎn)稱臨界力，用符號(hào)F1j表示壓桿的臨界力越大，穩(wěn)定性越強(qiáng)§13－2臨界力和臨界應(yīng)力

由于臨界力也認(rèn)為是壓桿處于微彎平衡狀態(tài)，當(dāng)撓度趨向于零時(shí)承受的壓力。因此，對(duì)一般截面形狀、載荷及支座情況不復(fù)雜的細(xì)長(zhǎng)壓桿，可根據(jù)壓桿處于微彎平衡狀態(tài)下的撓曲線近似微分方程式進(jìn)行求解，這一方法稱為靜力法。

理想壓桿的臨界力1.兩端鉸支壓桿的臨界力

EI——壓桿的抗彎剛度。

l——壓桿的長(zhǎng)度，單位為mm。歐拉公式表明：1）壓桿的臨界力與其抗彎剛度成正比2）壓桿的臨界力與壓桿長(zhǎng)度的平方成正比3）壓桿的臨界力與壓桿的支承情況有關(guān)，壓桿兩端的支承越牢固，壓桿抵抗彎曲變形的能力越強(qiáng),臨界力越大。2.其他約束情況下壓桿的臨界力μ——壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)柱形鉸約束

焊接或鉚接螺母和絲杠連接對(duì)于與堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)固結(jié)成一體的柱腳，可簡(jiǎn)化為固定端。

桿端約束情況的簡(jiǎn)化§13－3歐拉公式的適用范圍中、小柔度桿的臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力的歐拉公式

i——壓桿橫截面的慣性半徑，單位為mm；λ——壓桿的柔度,無(wú)量綱，柔度越大,則臨界應(yīng)力越小,壓桿越容易失穩(wěn)。

壓桿越細(xì)長(zhǎng)、支承情況越不牢固、橫截面尺寸越小則柔度越大,臨界應(yīng)力越小

歐拉公式的適用范圍

對(duì)于Q235鋼制成的壓桿,當(dāng)其柔度λ≥100時(shí)，才能應(yīng)用歐拉公式。λ

≥λp的壓桿稱為大柔度桿或細(xì)長(zhǎng)桿,其臨界力或臨界應(yīng)力可用歐拉公式計(jì)算。

λp為臨界應(yīng)力等于材料比例極限時(shí)的柔度，是允許應(yīng)用歐拉公式的最小柔度值例如：Q235鋼，其彈性模量E=200GPa，比例極限σp=200MPa，則λp值為

中、小柔度桿臨界應(yīng)力的計(jì)算

λ

≤

λp的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿小柔度桿的臨界應(yīng)力按其制作材料不同分為兩種情況：

λs

≤λ

≤

λp的壓桿稱為中柔度桿中柔度桿臨界應(yīng)力的計(jì)算，通常采用建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的經(jīng)驗(yàn)公式

對(duì)塑性材料

對(duì)脆性材料

歸納：（1）對(duì)于大柔度桿（λ≥λp

），用歐拉公式計(jì)算（3）對(duì)于小柔度桿（λ≤λp

），材料為塑性材料時(shí)，σcr=σs

材料為脆性材料時(shí)，σcr=σby

例13-1

如圖所示,用Q235鋼制成的三根壓桿,兩端均為鉸鏈支承,橫截面為圓形，直徑d=50mm，長(zhǎng)度分別為l1=2m，l2=1m，l3=0.5m，材料的彈性模量E=200GPa，屈服點(diǎn)σs=235MPa，求三根壓桿的臨界應(yīng)力和臨界力。

解(1)計(jì)算各壓桿的柔度因壓桿兩端為鉸鏈支承,查表得長(zhǎng)度系數(shù)μ=1。圓形截面對(duì)y軸和z軸的慣性矩相等,均為故圓形截面的慣性半徑為

各壓桿的柔度分別為

(2)計(jì)算各壓桿的臨界應(yīng)力和臨界力對(duì)于Q235鋼λ

p=100，λ

s=60。對(duì)于壓桿1,其柔度λ

1=160>λ

p，所以壓桿1為大柔度桿，臨界應(yīng)力用歐拉公式計(jì)算。

壓桿2為中柔度桿，對(duì)于Q235鋼，a=310MPa,b=1.24MPa，臨界應(yīng)力為

壓桿3為小柔度桿，因?yàn)镼235鋼為塑性材料，故其臨界應(yīng)力為

臨界力為σcr臨界力為σcr臨界力為

例13-2

如圖所示,一長(zhǎng)度l=750mm的壓桿,兩端固定,橫截面為矩形,尺寸如圖。壓桿的材料為Q235鋼,其彈性模量E=200GPa，計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力和臨界力解(1)計(jì)算壓桿的柔度壓桿兩端固定，查表得長(zhǎng)度系數(shù)μ=0.5。矩形截面對(duì)y軸和z軸的慣性矩分別為Iy<Iz,所以壓桿的橫截面必定繞著y軸轉(zhuǎn)動(dòng)而失穩(wěn)截面對(duì)y軸的慣性半徑為得壓桿的柔度為(2)計(jì)算臨界應(yīng)力和臨界力對(duì)于Q235鋼λ

p=100，則λ

>λ

p，故臨界應(yīng)力用歐拉公式計(jì)算。

臨界力為

σcr§13－4壓桿的穩(wěn)定性計(jì)算

壓桿穩(wěn)定計(jì)算，通常采用安全系數(shù)法。為了保證壓桿不失穩(wěn)，并具有一定的穩(wěn)定儲(chǔ)備，壓桿的穩(wěn)定條件可表示為

n=Fcr/F=σcr/σ≥[nW]Fcr—壓桿的臨界壓力F—壓桿的工作壓力N—壓桿工作安全系數(shù)σcr—壓桿的臨界應(yīng)力σ—壓桿的工作壓應(yīng)力[nW]—規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù),它表示要求受壓桿件必須達(dá)到的穩(wěn)定儲(chǔ)備程度。幾種常用零件穩(wěn)定安全系數(shù)的參考值壓桿的臨界壓力取決于整個(gè)桿件的彎曲剛度。但在工程實(shí)際中,壓桿局部有截面削弱的情況,在確定臨界壓力或臨界應(yīng)力時(shí)，此時(shí)可以不考慮桿件局部截面削弱的影響,仍按未削弱的截面面積、最小慣性矩和慣性半徑等進(jìn)行計(jì)算。但對(duì)這類桿件,還需對(duì)削弱的截面進(jìn)行強(qiáng)度校核。例13-3如圖所示為一根Q235A鋼制成的矩形截面壓桿AB，A、B兩端用柱銷聯(lián)接。設(shè)聯(lián)接部分配合精密。已知l=2300mm，b=40mm，h=60mm，E=206GPa，λp=100，規(guī)定穩(wěn)定安全因數(shù)[nW]=4，試確定該壓桿的許用壓力F。

解(1)計(jì)算柔度λ。在xy平面，壓桿兩端可簡(jiǎn)化為鉸支μxy=l，則在xz平面，壓桿兩端可簡(jiǎn)化為固定端,μxz=0.5，則

(2)計(jì)算臨界力Fcr。因?yàn)棣藌>λp，故壓桿最先在xy面內(nèi)失穩(wěn)。按λz計(jì)算臨界應(yīng)力，因λz>λp，即壓桿在xy面內(nèi)是細(xì)長(zhǎng)壓桿，可用歐拉公式計(jì)算其臨界壓力，得(3)確定該壓桿的許用壓力F。由穩(wěn)定條件可得壓桿的許用壓力F為§13－5提高壓桿穩(wěn)定性的措施

合理選擇材料對(duì)于大柔度桿，宜選用普通鋼材。對(duì)于中柔度桿，選用高強(qiáng)度鋼。合理選擇截面形狀應(yīng)該選擇Iz=