第七章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第七章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征2023/2/11皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院相關(guān)知識(shí)背景：

分布函數(shù)——全面描述隨機(jī)變量X取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。但是，在實(shí)際問題中分布函數(shù)的確定并不是一件容易的事，而且有時(shí)我們也不需要知道分布函數(shù)，只需知道隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征就夠了。例如：評(píng)價(jià)糧食產(chǎn)量，只關(guān)注平均產(chǎn)量；研究水稻品種優(yōu)劣，只關(guān)注每株平均粒數(shù)；評(píng)價(jià)某班成績，只關(guān)注平均分?jǐn)?shù)、偏離程度；

評(píng)價(jià)射擊水平，只關(guān)注平均命中環(huán)數(shù)、偏離程度。描述變量的平均值的量——數(shù)學(xué)期望，描述變量的離散程度的量——方差。2023/2/12皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院第一節(jié)數(shù)學(xué)期望2023/2/13皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院一、數(shù)學(xué)期望的引入例1〔分賭本問題〕甲、乙兩個(gè)賭徒賭技相同，各出賭注50法朗，每局無平局，且約定：先贏三局者得到全部賭本100法朗。當(dāng)甲贏了兩局，乙贏了一局時(shí)，因故要中止賭博，問這100法朗的賭本應(yīng)如何分配才合理？分析：假設(shè)賭博繼續(xù)下去，情況如下：乙勝甲勝乙勝甲勝甲勝的概率為：?.2023/2/14皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例1〔分賭本問題〕甲、乙兩個(gè)賭徒賭技相同，各出賭注50法朗，每局無平局，且約定：先贏三局者得到全部賭本100法朗。當(dāng)甲贏了兩局，乙贏了一局時(shí)，因故要中止賭博，問這100法朗的賭本應(yīng)如何分配才合理？設(shè)甲得到的賭本為X，則X的分布為甲勝的概率為：?.甲應(yīng)該獲得賭本的3/4.說明：該問題涉及隨機(jī)變量的分布，且含有均值的意義.2023/2/15皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院算術(shù)平均與加權(quán)平均問題：如果已知離散隨機(jī)變量X的分布如何求X的平均取值？2023/2/16皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算：隨機(jī)變量的平均值：概率替換頻率2023/2/17皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院二、數(shù)學(xué)期望的定義

為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.2023/2/18皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院補(bǔ)充說明：加權(quán)平均數(shù)：離散隨機(jī)變量期望：連續(xù)隨機(jī)變量期望：頻率概率概率注：期望是均值的推廣或更一般的形式.2023/2/19皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2023/2/110皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2023/2/111皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院三、一維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

2023/2/112皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例4設(shè)隨機(jī)變量X的分布為解：2023/2/113皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2023/2/114皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2023/2/115皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院四、多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望2023/2/116皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2023/2/117皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院1x2y02023/2/118皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院五、數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì)線性性質(zhì)2023/2/119皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2023/2/120皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例9將n個(gè)球隨機(jī)放入M個(gè)盒子中去，設(shè)每個(gè)球放入每個(gè)盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望。這種方法稱為分解隨機(jī)變量法，是概率統(tǒng)計(jì)中典型、重要的一種解題方法。2023/2/121皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例9將n個(gè)球隨機(jī)放入M個(gè)盒子中去，設(shè)每個(gè)球放入每個(gè)盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望。2023/2/122皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例10某公司經(jīng)銷某種原料，根據(jù)歷史資料表明：這種原料的市場需求量X（單位：噸）服從（300，500）上的均勻分布。每售出1噸該原料，公司可獲利1.5千元；若積壓1噸，則公司損失0.5千元。問公司應(yīng)該組織多少貨源，可以使平均收益最大？2023/2/123皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例10某公司經(jīng)銷某種原料，根據(jù)歷史資料表明：這種原料的市場需求量X（單位：噸）服從（300，500）上的均勻分布。每售出1噸該原料，公司可獲利1.5千元；若積壓1噸，則公司損失0.5千元。問公司應(yīng)該組織多少貨源，可以使平均收益最大？2023/2/124皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2023/2/125皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院第二節(jié)方差與標(biāo)準(zhǔn)差2023/2/126皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院引例1比較甲、乙兩班學(xué)生成績的差異百分比若把兩班成績看作隨機(jī)變量的取值，其分布有什么區(qū)別？隨機(jī)變量取值的分散程度不同，乙班成績分布較集中。2023/2/127皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院引例2比較兩種型號(hào)手表的質(zhì)量設(shè)甲、乙兩種型號(hào)的手表的日走時(shí)誤差分別為X、Y，其分布如下哪種手表質(zhì)量較好？注：X、Y的期望相同，但誤差取值的波動(dòng)性不同。對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性，市場的波動(dòng)性，投資的風(fēng)險(xiǎn)等問題的研究，都涉及到對(duì)隨機(jī)變量分布的分散程度的研究，從而引入方差的概念。2023/2/128皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院一、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義2023/2/129皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院方差的常用計(jì)算公式：方差的定義式：2023/2/130皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的方差計(jì)算公式2023/2/131皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的方差計(jì)算公式2023/2/132皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院分布列與方差大小的關(guān)系：結(jié)論1：取值分布集中，方差較??；反之方差較大.2023/2/133皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院密度函數(shù)與方差大小的關(guān)系：結(jié)論2：密度函數(shù)圖形較陡峭的方差較小；反之方差較大.2023/2/134皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例1

比較三角分布、均勻分布和倒三角分布的期望和方差，說明其分布的集中和分散程度。

計(jì)算如下：2023/2/135皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院三角分布的期望和方差的計(jì)算：2023/2/136皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例2計(jì)算泊松分布的方差。解：泊松分布的分布律為2023/2/137皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例3正態(tài)分布的方差。2023/2/138皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例4計(jì)算指數(shù)分布的方差。2023/2/139皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院二、方差的性質(zhì)方差不具備線性性質(zhì).2023/2/140皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例5計(jì)算二項(xiàng)分布的方差。二項(xiàng)分布的可加性注：直接利用二項(xiàng)分布律和級(jí)數(shù)的運(yùn)算也可以求出二項(xiàng)分布的期望和方差。2023/2/141皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院注：本例是數(shù)理統(tǒng)計(jì)常用的一個(gè)重要結(jié)果，它體現(xiàn)了平均值的穩(wěn)定性。2023/2/142皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例7

某人有一筆資金，可投入兩個(gè)項(xiàng)目：房產(chǎn)和商業(yè)，其收益都與市場有關(guān)。若把未來市場劃分為好、中、差三個(gè)等級(jí)，其發(fā)生的概率分別是0.2，0.7和0.1。通過調(diào)查，該投資者認(rèn)為投資房產(chǎn)的收益X（萬元）和投資商業(yè)的收益Y（萬元）的分布分別為請問：該投資者如何投資為好？2023/2/143皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院第三節(jié)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)2023/2/144皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院一、協(xié)方差協(xié)方差也稱為相關(guān)中心矩。聯(lián)合分布中分量間的關(guān)系2023/2/145皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2023/2/146皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院協(xié)方差的常用性質(zhì):注：以上性質(zhì)可以利用定義及期望的性質(zhì)來證明.2023/2/147皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2023/2/148皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院補(bǔ)充說明：2023/2/149皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2023/2/150皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2023/2/151皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2023/2/152皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院二、相關(guān)系數(shù)在表示隨機(jī)變量的關(guān)系時(shí)，為了消除量綱的影響，引入了相關(guān)系數(shù)的概念。2023/2/153皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：

2023/2/154皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2023/2/155皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院補(bǔ)充說明相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)刻畫了隨機(jī)變量X、Y間線性相關(guān)的程度。ρ=±1時(shí)，表示X、Y幾乎處處具有線性關(guān)系；ρ=0時(shí)，表示X、Y不具有線性關(guān)系，但可以具有其他（如曲線）關(guān)系。獨(dú)立性是指兩個(gè)隨機(jī)變量不具有任何關(guān)系。對(duì)二元正態(tài)分布來說，獨(dú)立性與不相關(guān)〔ρ=0〕是等價(jià)的。與協(xié)方差相比較，相關(guān)系數(shù)是一個(gè)不帶單位的系數(shù)，消除了量綱的影響，可以更準(zhǔn)確地反映隨機(jī)變量間的關(guān)系；同時(shí)，也方便不同類型隨機(jī)變量的比較。2023/2/156皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院00.511y=x2023/2/157皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院注：協(xié)方差雖然很小，但相關(guān)系數(shù)卻比較大。所以協(xié)方差反映隨機(jī)變量的相關(guān)程度不是很準(zhǔn)確的。2023/2/158皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院第四節(jié)大數(shù)定律與

中心極限定理2023/2/159皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)。這就充分說明事件的概率是客觀存在的。頻率的穩(wěn)定性，便是這一客觀存在的反映。人們還認(rèn)識(shí)到大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性就是本節(jié)所要討論的大數(shù)定律的客觀背景。在概率論中，用來闡明大量平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律。由大數(shù)定律，大量隨機(jī)因素的總和，必然導(dǎo)致某種不依賴于個(gè)別隨機(jī)事件的結(jié)果。2023/2/160皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院一、大數(shù)定律2023/2/161皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院補(bǔ)充說明2023/2/162皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院依概率收斂的一般形式：2023/2/163皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2、切比雪夫大數(shù)定律2023/2/164皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院3、貝努里大數(shù)定律注：貝努里定理是切比雪夫定理的特例，它從理論上證明了頻率的穩(wěn)定性。只要試驗(yàn)次數(shù)n

足夠大，事件A出現(xiàn)的頻率與事件A

的概率有較大偏差的可能性很小。即可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件發(fā)生的概率。2023/2/165皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院4、馬爾可夫大數(shù)定律馬爾可夫大數(shù)定律沒有任何獨(dú)立、不相關(guān)、同分布的假設(shè)，是適用范圍最廣的大數(shù)定律，也是用來證明其他大數(shù)定律的重要依據(jù)。2023/2/166皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院5、辛欽大數(shù)定律注：辛欽大數(shù)定律給出了求期望近似值的方法——觀測值的平均，即且這種方法不需要考慮分布的具體形式。2023/2/167皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院二、獨(dú)立同分布下的中心極限定理2023/2/168皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院二項(xiàng)分布的正態(tài)近似定理2〔棣莫弗－拉普拉斯

中心極限定理〕2023/2/169皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例1設(shè)一個(gè)車間里有400臺(tái)同類型的機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器需要用電為Q瓦。由于工藝關(guān)系，每臺(tái)機(jī)器不連續(xù)開動(dòng)，開動(dòng)的時(shí)間只占總工作時(shí)間的3/4。問應(yīng)該供應(yīng)多少瓦電力才能以99％的概率保證該車間的機(jī)器正常工作？〔設(shè)各機(jī)器的開、停是相互獨(dú)立的〕分析：正常工作即是要求開動(dòng)的機(jī)器所需要的總電力不超過所供應(yīng)的電力，這與開動(dòng)的機(jī)器臺(tái)數(shù)有關(guān)。由于每臺(tái)機(jī)器開、停與否相互獨(dú)立，且開動(dòng)的概率都是相同的，故開動(dòng)的機(jī)器臺(tái)數(shù)服從二項(xiàng)分布。即認(rèn)為是相同的試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)做了400次。由于試驗(yàn)次數(shù)400較大，其概率計(jì)算可以近似用正態(tài)分布來替代〔棣莫佛－拉普拉斯中心極限定律〕，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。2023/2/170皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院解：令X表示400臺(tái)機(jī)器中同時(shí)開動(dòng)的臺(tái)數(shù)，則有2023/2/171皖西學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院例2為了測量一臺(tái)機(jī)床的質(zhì)量，把它分成75個(gè)部件來稱量。假定每個(gè)部件的稱量誤差服從區(qū)間(-1,1)上的均勻分布，且各個(gè)部件的稱量誤差是相互獨(dú)立的，求機(jī)床質(zhì)量的總誤差的絕對(duì)值不超過10kg的概率。解：記各個(gè)部