第2章離散時間信號分析

第2

章離散時間信號分析離散時間信號

離散時間信號(discrete-timesignal)是離散時間變量n的函數(shù)，它只在規(guī)定的離散時間點上才有函數(shù)值，在其他點無定義。在離散信號處理過程中，離散時間信號表現(xiàn)為在時間上按一定次序排列的不連續(xù)的一組數(shù)的集合，故稱為時間序列(timeseriesorsequence)。

x(0)x(1)x(2)x(3)本章主要內(nèi)容離散時間信號——序列采樣定理及實現(xiàn)離散時間信號的相關(guān)分析離散時間信號的Z域分析離散系統(tǒng)描述與分析物理可實現(xiàn)系統(tǒng)2.1離散時間信號——序列一、序列的表示

單位采樣序列單位階躍序列1

-1

0

1

2

…

…

矩形序列

1……N-1N0和的關(guān)系：實指數(shù)序列……01230123…40123…40123正弦序列

對信號進(jìn)行采樣，模擬角頻率，rad/s

數(shù)字角頻率rad周期序列

N為整數(shù)

對正弦序列來說等式成立的條件為：二、序列的運(yùn)算序列加減乘

設(shè)序列

與注意：時刻對齊序列移位序列翻轉(zhuǎn)

序列的尺度變換

012345601234562345610111201789序列的離散卷積翻褶、移位、相乘、相加231x(n)54n0N1=523h(n)n0N2=3（1）翻褶231x(k)54k0N1=5231h(-k)k（2）平移（3）相乘x(k)h(-k)=5×1=5x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3231x(k)54k023h(1-k)k01(4)相加14265ny(n)2014830信號轉(zhuǎn)換過程

2.2采樣定理及實現(xiàn)一、采樣過程1.模擬信號采樣器離散的脈沖信號2.數(shù)學(xué)描述（2.2.1)假設(shè)采樣脈沖為理想脈沖（2.2.2)只考慮正值時間(2.2.3)二、采樣定理(Samplingtheory)離散信號X(nTs)連續(xù)信號

X(t)Nyquist（Shannon)采樣定理：要想采樣后不失真地還原原信號，采樣頻率必須大于原信號頻譜中最高頻率的兩倍，即1.推導(dǎo)過程采樣的脈沖序列時域采樣信號是原始信號x(t)與脈沖序列的乘積頻譜？X(t)的頻譜：（2.2.4)脈沖序列頻譜：(2.2.5)將（2.2.4)和(2.2.5)代入上式：2.幾點說明（1）頻譜的幅度受加權(quán)（2）頻譜產(chǎn)生了周期延拓，以為間隔重復(fù)t1高頻與低頻的混疊

頻率混疊現(xiàn)象？如何解決？1.提高采樣率2.抗混疊濾波器3.如何由X(nTs)重構(gòu)x(t)工程上：D/A轉(zhuǎn)換器理論上：T插值函數(shù)三、采樣方式實時采樣等效時間采樣單次波形

實時顯示

等效時間顯示重復(fù)波形2.3離散信號的相關(guān)分析

離散時間信號的自相關(guān)函數(shù)

對功率信號，其自相關(guān)函數(shù)應(yīng)定義為對周期信號，其自相關(guān)函數(shù)應(yīng)定義為對復(fù)值信號，其自相關(guān)函數(shù)應(yīng)定義為性質(zhì)若是實信號，則若是實信號，則當(dāng)時,

若是能量信號若是周期性的，則不收斂，也是周期性的，且頻率與的頻率相同。同頻率余弦例:

離散時間信號的互相關(guān)函數(shù)

對功率信號，其互相關(guān)函數(shù)應(yīng)定義為性質(zhì)

若是能量信號例：信號的檢測（白噪聲）

連續(xù)時間信號系統(tǒng)時域頻域微分方程代數(shù)方程離散時間信號系統(tǒng)時域頻域差分方程代數(shù)方程拉氏變換Z變換2.4離散時間信號的Z域分析采樣信號拉氏變換一、Z變換及其收斂域

Z變換的定義Z變換的收斂域?qū)θ我饨o定序列x(n),使其Z變換收斂的所有Z值的集合級數(shù)收斂|z|=RX-|z|=RX+jIm[z]Re[z]討論以下四種序列有限長度序列(finitelengthsequence)右邊序列(right-sidesequence)左邊序列(left-sidesequence)雙邊序列(bilateralsequence)二、Z反變換圍線積分法（留數(shù)法）——(ContourIntegralMethod)冪級數(shù)展開法（長除法）——(PowerSeriesExpansionMethod)部分分式展開法——(Partial-FractionExpansionMethod)圍線積分法（留數(shù)法）

若在積分圍線C內(nèi)的有限個極點集合為

若在處有階極點

冪級數(shù)展開法（長除法）

一般情況下，是一個有理分式，分子分母都是z的多項式，則可直接用分子多項式除以分母多項式（長除法），得到冪級數(shù)展開式，從而得到。部分分式展開法

類似于拉氏變換中部分分式展開法，我們可以將展成一些簡單而常見的部分分式之和，然后分別求出各部分分式的反變換，把各反變換相加即可得到。常用序列z變換（可直接使用）三、z變換的性質(zhì)

z變換的許多重要性質(zhì)在數(shù)字信號處理中常常要用到。z變換主要的性質(zhì)參見附錄4。

2.5

離散系統(tǒng)描述一個離散時間系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上的定義是將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運(yùn)算。它的輸入是一個序列，輸出也是一個序列，其本質(zhì)是將輸入序列轉(zhuǎn)變成輸出序列的一個運(yùn)算。

y(n)=T[x(n)]對T[·]加以種種約束,可定義出各類離散時間系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性、時不變系統(tǒng)”。線性離散系統(tǒng)的特點

系統(tǒng)滿足齊次性和疊加性輸入一、離散系統(tǒng)特點時不變離散系統(tǒng)的特點

在同樣起始狀態(tài)之下，系統(tǒng)響應(yīng)與激勵施加于系統(tǒng)的時刻無關(guān)。線性時不變離散系統(tǒng)的特點

線性時不變離散系統(tǒng)的輸出恰恰可以表示成輸入與單位采樣響應(yīng)的卷積和。二、差分方程的描述

一個線性的連續(xù)時間系統(tǒng)總可以用線性微分方程來表達(dá)。而對于離散時間系統(tǒng)，由于其變量n是離散整型變量，故只能用差分方程來反映其輸入輸出序列之間的運(yùn)算關(guān)系。離散系統(tǒng)差分方程表示法有兩個主要用途：①由差分方程得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)；②求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)；三、離散卷積任何一個輸入序列都可以表示為加權(quán)延時單位采樣序列的線性組合。

將此任意序列加入到線性時不變系統(tǒng)時，系統(tǒng)的輸出為

單位采樣響應(yīng)四、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)線性時不變離散系統(tǒng)，為單位采樣響應(yīng)

兩邊取z變換

定義為系統(tǒng)函數(shù)它是單位采樣響應(yīng)的z變換。所以可以用單位采樣響應(yīng)的z變換來描述線性時不變離散系統(tǒng)。單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

可以證明，它是單位采樣響應(yīng)的DTFT。2.6

物理可實現(xiàn)系統(tǒng)因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)就是指某時刻的輸出只取決于此時刻和此時刻以前時刻的輸入的系統(tǒng)。

的輸出只取決于的輸入

即線性時不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分且必要條件是穩(wěn)定系統(tǒng)

穩(wěn)定系統(tǒng)就是指輸入信號序列有界，并能保證輸出信號序列也有界的系統(tǒng)。絕對可和

線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分且必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)2.7與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)randnresiduezplaneconvxcorrrand

rxy=xcorr(x,y)rxy=xcorr(x,y,Mlag,‘option’)[rxy,lags]=xcorr(x,y,Mlag,‘option’)例1產(chǎn)生一個疊加白噪聲的正弦信號

M文件如下：clearallcloseallclcfs=1500;N=512;n=0:N-1;dt=1/fs;x=sin(2*pi*60*n*dt)+randn(1,N);plot(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('sin+randnsignal');gridM文件如下：

x1=[1,2,3];x2=[2,4,3,5];n1=-1:1;n2=-2:1;x3=conv(x1,x2);s3=n1(1)+n2(1);e3=n1(length(x1))+n2(length(x2));n3=[s3:e3];

寫出相應(yīng)的MATLAB程序求

例2設(shè)M文件如下：fs=input('thesamplingfrequency=');N=input('thesamplingnumber=');n=0:N-1;dt=1/fs;mlag=200;x=sin(2*pi*10*n*dt);y=0.5*sin(2*p