復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步練習(xí)（word含解析）

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算同步練習(xí)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________學(xué)號(hào)：___________一．選擇題已知復(fù)數(shù)z1=3+4i，z2=t+i，且z1A.34 B.43 C.?4設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1=2+i，則A.?5 B.5 C.?4+i D.?4?i已知i為虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z=(1?2i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，則“a>12”是“點(diǎn)M在第四象限”的(????)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件設(shè)集合M={y|y=|cos2x?sin2x|,x∈R}，N=xA.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]i為虛數(shù)單位，1i+1i3+A.0 B.2i C.?2i D.4i已知實(shí)數(shù)m，n滿足(m+ni)(4?2i)=5+3i，則m+n=?(????)A.95 B.115 C.94定義運(yùn)算abcd=ad?bc，則符合條件1?1zzi=4+2iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限設(shè)f(n)=1+i1?in+1?i1+A.2 B.0 C.?2 D.1若復(fù)數(shù)(1+2ai)i=1?bi，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則|a+bi|=

(

)A.12+i B.5 C.5已知i為虛數(shù)單位，a∈R，若a+3i1?3i為實(shí)數(shù)，則a等于A.?3 B.?1 C.1 D.3已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(1?i)·z=2i，z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的說(shuō)法正確的是

(

)A.z=?1?iB.|z|=2

C.z?z=2

D.復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)z1=i1+i，z2=z1i，z1，z?12 B.0 C.12二．填空題在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程x2+2x+5=0的根是_________．定義運(yùn)算abcd=ad?bc.若復(fù)數(shù)x=1?i1+i，y=4x，y互為共軛復(fù)數(shù)，且(x+y)2?3xyi設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，若復(fù)數(shù)z1滿足z1(1?i)=3?i，則三．解答題計(jì)算下列各題：(1)(1+i)71?i+(3)(1+i1?i已知復(fù)數(shù)z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)·z為純虛數(shù)．(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若w=z2+i，求復(fù)數(shù)w及復(fù)數(shù)w的模|w|．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2，z3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A(4,0)，B(5,3(1)求z2z3(2)求向量BC在向量OA上的投影向量，其中O為復(fù)平面的原點(diǎn)．

答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的概念、共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

由z1·z2=(3+4i)(t?i)=3t+4+(4t?3)i為實(shí)數(shù)，得t=34．

【解答】

解：z1·z2【解析】【分析】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出z2，即可得到結(jié)論．

【解答】解：由題意可知z2=?2+i，所以z1z2=(2+i)(?2+i)=i2【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及幾何意義，考查充分不要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

先通過(guò)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及點(diǎn)M在第四象限，得到a>12，再根據(jù)充分、必要條件的定義判定，即可得到答案．

【解答】解：z=(1?2i)(a+i)=(a+2)+(1?2a)i，

若其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則a+2>0，且1?2a<0，解得a>12．

即“a>12”是“點(diǎn)M【解析】【分析】

本題考查三角函數(shù)的二倍角公式、三角函數(shù)的有界性、復(fù)數(shù)的模的公式、集合的交集的定義，屬于較易題.通過(guò)三角函數(shù)的二倍角公式化簡(jiǎn)集合M，利用三角函數(shù)的有界性求出集合M；利用復(fù)數(shù)的模的公式化簡(jiǎn)集合N；利用集合的交集的定義求出交集．

【解答】

解：因?yàn)閥=|cos2x?sin2x|=|cos?2x|∈[0,1]，所以M=[0,1]．

由x?2(1+i)2<2，得|x+i|<2，

又因?yàn)閤∈R，所以【解析】【分析】本題是基礎(chǔ)題，考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，i的冪的運(yùn)算性質(zhì)，考查計(jì)算能力，?？碱}型．

直接利用i的冪運(yùn)算，化簡(jiǎn)表達(dá)式即可得到結(jié)果．

【解答】解：∵i2=?1，∴1i【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．把已知等式坐標(biāo)變形，利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得m，n的值，則答案可求．

【解答】

解：由(m+ni)(4?2i)=(4m+2n)+(4n?2m)i=3i+5，

得4m+2n=54n?2m=3，解得m=710，n=1110．

∴m+n=710+11【解析】【分析】

根據(jù)定義先計(jì)算z的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行化簡(jiǎn)判斷即可．

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．

【解答】

解：由1?1zzi=4+2i得zi+z=4+2i，

即z(1+i)=4+2i，

得z=4+2i1+i=(4+2i)(1?i)(1+i)(1?i)=6?2i2=3?i【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是解題的難點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．依據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則，化簡(jiǎn)1+i1?i

和1?i1+i，得到f(n)=in+(?i)n，分n=4k，n=4k+1，n=4k+2，n=4k+3這四種情況，分別求出f(n)的值，即得結(jié)論．

【解答】

解：∵1+i1?i=(1+i)2(1?i)(1+i)=2i2=i，

1?i1+i=(1?i)2(1+i)(1?i)=?i，

∴f(n)=1+i1?in+1?i1+in=in+?in，

根據(jù)i的性質(zhì)當(dāng)n=4k(k∈N)時(shí)，f(n)=2；【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)的求模，

本題解題的關(guān)鍵是求出復(fù)數(shù)中的字母系數(shù)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．

【解答】解：∵(1+2ai)i=1?bi，

∴i?2a=1?bi，

∴?2a=1，b=?1，

∴a=?12，b=?1，

∴|a+bi|=52，

10.【答案】B【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．

先化簡(jiǎn)已知復(fù)數(shù)，再根據(jù)其為實(shí)數(shù)，得到a的方程，求得a的值．

【解答】

解：∵a+3i1?3i=(a+3i)(1+3i)【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求出z，然后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．

【解答】解：由(1?i)?z=2i，

可得z=2i1?i=2i(1+i)(1?i)(1+i)=2i?22=?1+i，故A錯(cuò)誤；

∴|z|=2，故B錯(cuò)誤；

易知z=?1?i，則z?z=(?1+i)(?1?i)=2，故C正確；

復(fù)數(shù)z【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)z1，z2然后求得OP，OQ，再由向量數(shù)量積的計(jì)算公式求解．

【解答】

解：z1=i1+i=i(1?i)(1+i)(1?i)=1+i2，

z2=z1i=i?12

z1，【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．

運(yùn)用配方法，并根據(jù)i2=?1，即可得到答案．

【解答】

解：由x2+2x+5=0得(x+1)2=?4，所以x=?1±2i．

?2【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)x，代入y=4ixi【解答】解：x=1?i1+i=(1?i)2(1+i)(1?i)=?2i2=?i，x=1

15.【答案】2【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)相等，屬于基礎(chǔ)題．

由共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)相等可得a2=1，b2=1，代入要求的式子化簡(jiǎn)即可．

【解答】

解：∵x、y為共軛復(fù)數(shù)，

∴設(shè)x=a+bi，y=a?bi，a，b∈R，

則x+y=2a，xy=a2+b2，

∴由(x+【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義、復(fù)數(shù)模的計(jì)算，是基礎(chǔ)題．

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得z1，進(jìn)一步得到z2,通過(guò)模的公式計(jì)算，即可得到答案．

【解答】

解：∵z1(1?i)=3?i，

所以z1=3?i1?i=3?i(1+i)(1?i)(1+i)=4+2i2=2+i，

∴z1在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(2,1)，

∵z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，

=8+8?16?16i

=?16i(2)原式=16=?(162(3)方法1：原式=i方法2：原式．

【解析】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則和i的冪運(yùn)算的周期性，分母實(shí)數(shù)化，高次方變低次方依次計(jì)算即可．

18.【答案】解：(1)復(fù)數(shù)z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)?z為純虛數(shù)．

即(1+3i)?(3+bi)=3?3b+(9+b)i為純虛數(shù)，

∴3?3b=0，9+b≠0，

解得b=1．

∴z=3+i．

(2)w=z2+i=3+i2+i【解析】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

(1)利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義即可得出．

(2)利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式