數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修練習(xí)（Word解析版）

第四章數(shù)列*數(shù)學(xué)歸納法課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步驗(yàn)證()=1 =2=3 =4解析由題知,n的最小值為3,所以第一步驗(yàn)證n=3時(shí)不等式是否成立.答案C2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+12+13+…+12n-1<n(n≥2,n∈N項(xiàng) 項(xiàng)項(xiàng) 項(xiàng)解析當(dāng)n=k時(shí),不等式左邊的最后一項(xiàng)為12k-1,而當(dāng)n=k+1時(shí),最后一項(xiàng)為12k+1-答案D3.(多選)對(duì)于不等式n2+n≤n+1(n∈①當(dāng)n=1時(shí),12+1≤1+②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),不等式成立,即k2+k<k+1,則n=k+1時(shí),(k+1)∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立,關(guān)于上述證明過(guò)程的說(shuō)法正確的是()A.證明過(guò)程全都正確B.當(dāng)n=1時(shí)的驗(yàn)證正確C.歸納假設(shè)正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確解析n=1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確,但從n=k到n=k+1的推理中沒(méi)有使用歸納假設(shè),而通過(guò)不等式的放縮法直接證明,不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求.故選BCD.答案BCD4.(多選)一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,當(dāng)n=2時(shí)命題成立,且由n=k時(shí)命題成立可以推得n=k+2時(shí)命題也成立,則下列說(shuō)法正確的是()A.該命題對(duì)于n=6時(shí)命題成立B.該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立C.該命題何時(shí)成立與k取值無(wú)關(guān)D.以上答案都不對(duì)解析由n=k時(shí)命題成立可以推出n=k+2時(shí)命題也成立,且n=2時(shí),命題成立,故對(duì)所有的正偶數(shù)都成立.故選AB.答案AB5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”時(shí),第一步的驗(yàn)證為.

答案當(dāng)n=1時(shí),左邊=4,右邊=4,不等式成立6.用數(shù)學(xué)歸納法證明1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1解析當(dāng)n=1時(shí),應(yīng)當(dāng)驗(yàn)證的第一個(gè)式子是1-12=12,從“n=k”到“n=k+1答案1-17.數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=an3an+1(n∈N*),依次計(jì)算出a2,a3,a4后,歸納、猜測(cè)得出a解析a1=2,a2=27,a3=213,a4=219,猜測(cè)an答案an=28.(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·n(n+1)2(n(2)求證:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*).證明(1)①當(dāng)n=1時(shí),左邊=12=1,右邊=(-1)0×1×(左邊=右邊,等式成立.②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·k(則當(dāng)n=k+1時(shí),12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·k(k+1)2+(-1)=(-1)k(k+1)·(k+1)-k=(-1)k·(k∴當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立,根據(jù)①②可知,對(duì)于任何n∈N*等式成立.(2)①n=1時(shí),左邊=12-22=-3,右邊=-3,等式成立.②假設(shè)n=k時(shí),等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).當(dāng)n=k+1時(shí),12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所以n=k+1時(shí),等式也成立.由①②得,等式對(duì)任何n∈N*都成立.能力提升練1.設(shè)Sk=1k+1+1k+2+1k+3+…++12k+2+12k+1解析式子右邊各分?jǐn)?shù)的分母是連續(xù)正整數(shù),則由Sk=1k+1+1k+2+得Sk+1=1k+2+1k+3+由②-①,得Sk+1-Sk=12k+1+12(k+1)答案C2.某命題與自然數(shù)有關(guān),如果當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)該命題成立,則可推得n=k+1時(shí)該命題也成立,現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立,則可推得()A.當(dāng)n=6時(shí),該命題不成立B.當(dāng)n=6時(shí),該命題成立C.當(dāng)n=4時(shí),該命題不成立D.當(dāng)n=4時(shí),該命題成立解析若n=4時(shí),該命題成立,由條件可推得n=5命題成立.所以若n=5該命題不成立,則n=4時(shí)該命題也不成立.答案C3.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸k+1邊形的內(nèi)角和f(k+1)=f(k)+.

解析由凸k邊形變?yōu)橥筴+1邊形時(shí),增加了一個(gè)三角形圖形,故f(k+1)=f(k)+π.答案π4.是否存在a,b,c使等式1n2+2n2+3n2+解取n=1,2,3可得a解得a=13,b=12,c=下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1n2+2n即證12+22+…+n2=16n(n+1)(2n+①n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,∴等式成立;②假設(shè)n=k時(shí)等式成立,即12+22+…+k2=16k(k+1)(2k+1)成立則當(dāng)n=k+1時(shí),等式左邊=12+22+…+k2+(k+1)2=16k(k+1)(2k+1)+(k+1)=16[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2=16(k+1)(2k2+7k+6)=16(k+1)(k+2)(2∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立;由數(shù)學(xué)歸納法,綜合①②當(dāng)n∈N*等式成立,故存在a=13,b=12,c=15.已知{fn(x)}滿(mǎn)足f1(x)=x1+x2(x>0),fn+1(x)=f1(fn((1)求f2(x),f3(x),并猜想fn(x)的表達(dá)式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)fn(x)的猜想.解(1)f2(x)=f1[f1(x)]=f1f3(x)=f1[f2(x)]=f2猜想:fn(x)=x1+nx2(n∈(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明fn(x)=x1+nx2(n①當(dāng)n=1時(shí),f1(x)=x1+x2②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),猜想成立,即fk(x)=x1+則當(dāng)n=k+1時(shí),fk+1=f1[fk(x)]=x1+kx21+x1+k結(jié)合①②可知,猜想fn(x)=x1+nx2對(duì)一切n∈素養(yǎng)培優(yōu)練已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2,an+1=an2-nan+1(n∈N*(1)求a2,a3,a4,并由此猜想出{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n>1時(shí),1a1+1a(1)解由a1=2,得a2=a12-a1+1由a2=3,得a3=a22-2a2+1由a3=4,得a4=a32-3a3+1由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n+1.下面證明an=n+1.當(dāng)n=1時(shí),a2=2=1+1,成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)成立.即ak=k+1,那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=ak2-kak+1=(k+1)2-k(k+