中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)幾何專題：四邊形壓軸訓(xùn)練（二）

中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)幾何專題：四邊形壓軸訓(xùn)練（二）1．【實驗操作】如圖1是一張矩形紙片，點E在邊AB上，把△BCE沿著直線CE對折，點B恰好落在對角線AC上的點F處．【性質(zhì)探究】如圖2，連接DF，若點E，F(xiàn)，D在同一直線上．（1）請寫出圖中與邊DC相等的線段并說明理由．（2）若AE＝2，求EF的長．【遷移應(yīng)用】（3）如圖3，延長EF交邊AD于點G，若DG：AG＝n，且AE＝2，求BE的長（請用含n的代數(shù)式來表示）．2．（1）問題提出如圖①，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一條直線上，連接BE，線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為，∠AEB的度數(shù)為；（2）問題探究如圖②，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題解決如圖③，在正方形ABCD中，CD＝2，若點P滿足PD＝2，且∠BPD＝90°，請直接寫出點A到BP的距離．3．定義：在四邊形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC＝90°，那么我們把這樣的四邊形稱為余對角四邊形．【問題探索】問題：如圖1，已知AC、BD是余對角四邊形ABCD的對角線，AC＝BC，∠ACB＝60°．求證：AD2+DC2＝BD2．探索：小明同學(xué)通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下想法：因為AC＝BC，∠ACB＝60°，所以△ABC是等邊三角形，將△CBD繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得△CAE，連接DE．……請參考小明同學(xué)的想法，完成該問題的解答過程．【問題推廣】已知AC、BD是余對角四邊形ABCD的對角線，AC＝k?BC，tan∠ACB＝．（1）如圖2，當k＝1時，類比前面問題的解決，探究DA、DB、DC三者之間關(guān)系，并說明理由．（2）如圖3，當AD＝，BD＝，DC＝5時，則k的值為；【靈活運用】如圖4，已知AC、BD是余對角四邊形ABCD的對角線，AC＝2，BC＝，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，AD＝．4．在平面直角坐標系xOy中，A（0，2），B（﹣2，0），連接AB，點C是線段OA上一點，以O(shè)C為邊作正方形OCDE，如圖1．（1）問題發(fā)現(xiàn)圖1中，線段BE與AC的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）問題探究如圖2，將正方形OCDE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），連接AC，BE，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（3）拓展應(yīng)用若OC＝1，將正方形OCDE繞點O旋轉(zhuǎn)，當B，E，C三點共線時，請直接寫出線段AC的長．5．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，點E是AD的中點，連接BE，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在四邊形ABCD內(nèi)部，延長BG交DC于點F，連接EF．（1）求證：△EGF≌△EDF；（2）求證：BG＝CD；（3）若點F是CD的中點，BC＝8，求CD的長．6．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點O，點G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．求證：AE＝FG；（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，＝k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點A落在BC邊上的點E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點H，連接AE交GF于點O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當時k＝，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的長．7．如圖1，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB＝90°，現(xiàn)將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE′（點A的對應(yīng)點為點C），延長AE交CE′于點F．（1）如圖1，求證：四邊形BEFE′是正方形；（2）連接DE，①如圖2，若DA＝DE，求證：F為CE′的中點；②如圖3，若AB＝15，CF＝3，試求DE的長．8．在平面直角坐標系中，有正方形OBCD和正方形OEFG，E（2，0），B（0，2）．（Ⅰ）如圖①，求BE的長；（Ⅱ）將正方形OBCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OB′C′D′．①如圖②，當點B′恰好落在線段D'G上時，求B'E的長；②將正方形OB'C'D'繞點O繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，線段D'G與線段B'E的交點為H，求△GHE與△B'HD'面積之和的最大值，并求出此時點H的坐標（直接寫出結(jié)果）．9．已知，如圖①將矩形紙片ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD上的點A'處，得到折痕DE，然后把紙片展平；再如圖②，將圖①中的矩形紙片ABCD沿過點E的直線折疊，點C恰好落在AD上的C'處，點B落在B'處，得到折痕EF，B'C'交AB于點M，C'F交DE于點N，再把紙片展平．（Ⅰ）如圖①，填空：若AD＝3，則ED的長為；（Ⅱ）如圖②，連接EC'，△MC′E是否一定是等腰三角形？若是，請給出證明；若不是，請說明理由；（Ⅲ）如圖②，若AC'＝2cm，DC′＝4cm，求DN：EN的值．（直接寫出結(jié)果即可）10．探究：如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，點E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，但滿足∠B+∠D＝180°，線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．點D、E均在邊BC邊上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，請直接寫出DE的長．11．如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形OABC的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，OA＝8，OC＝4，點P為對角線AC上一動點，過點P作PQ⊥PB，PQ交x軸于點Q．（1）tan∠ACB＝；（2）在點P從點C運動到點A的過程中，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請求出其變化范圍；如果不變，請求出其值；（3）若將△QAB沿直線BQ折疊后，點A與點P重合，求PC的長．12．如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折疊紙片使B點落在邊AD上的點E處，折痕為PQ．過點E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．（1）求證：四邊形PBFE為菱形；（2）當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動．①當點Q與點C重合時（如圖2），求菱形PBFE的邊長；②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，菱形PBFE的面積有最值嗎？若有，請寫出，若沒有，填“無”．最大值為；最小值為．13．如圖，點E是正方形ABCD的邊BA延長線上一點，連接DE，過點A作AH∥DE交CD于點H，交BC延長線于點F，點M、N分別是DE、AH的中點，連接AM、DN．（1）求證：四邊形AMDN是菱形；（2）若S菱形MADN：S正方形ABCD＝1：3，求CF：AB的值．14．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是對角線，動點P從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為1cm/s，動點Q從點C出發(fā)沿CD方向向點D勻速運動，速度為2cm/s．過點P作BC的垂線段PH，運動過程中始終保持PH與BC互相垂直，連接HQ交AC于點O．若點P和點Q同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜1.5），解答下列問題．（1）求當t為何值時，四邊形PHCQ為矩形；（2）是否存在一個時刻，使HQ與AC互相垂直？如果存在，請求出t值；如果不存在，請說明理由；（3）是否存在一個時刻，使矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的，如果存在，請求出t值；如果不存在，請說明理由；（4）如果△COQ是等腰三角形，請直接寫出所有符合題意的時刻：．15．問題情景：如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”，按照此定義，我們學(xué)過的平行四邊形中的菱形、正方形等都是“垂美四邊形”，“箏形”也是“垂美四邊形”．概念理解：（1）如圖2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四邊形