柱錐臺(tái)的體積課時(shí)練習(xí)2022年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版必修

柱、錐、臺(tái)的體積1．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．962．已知長(zhǎng)方體的過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的比是1∶2∶3，對(duì)角線的長(zhǎng)是2eq\r(14)，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是()A．6 B．12C．24 D．483．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，沿對(duì)角線AC將△ADC折起，當(dāng)AD與平面ABC所成的角最大值時(shí)，三棱錐D－ABC的體積等于()A．eq\f(\r(2),12) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,6) D．eq\f(\r(2),6)4．已知圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面圓的周長(zhǎng)為6π，則它的體積是()A．9eq\r(55)π B．9eq\r(55)C．3eq\r(55)π D．3eq\r(55)5．如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體的體積為()A．eq\f(5,3)π B．eq\f(4,3)πC．eq\f(2,3)π D．2π6．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A－DED1的體積為________．7．若圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半徑為2的半圓，則圓錐的體積是________．8．已知某圓臺(tái)的上、下底面面積分別是π，4π，側(cè)面積是6π，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是________．9．如圖，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為2和3，求該幾何體的體積．10．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距離d.11．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(3)，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A．1 B．eq\f(3,2)C．3 D．eq\f(\r(3),2)12．已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A．eq\f(2\r(2)π,3) B．eq\f(4\r(2)π,3)C．2eq\r(2)π D．4eq\r(2)π13．設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．14．如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5.則此幾何體的體積為________．15．已知四面體ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面體ABCD的體積．答案1．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96B[設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.]2．已知長(zhǎng)方體的過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的比是1∶2∶3，對(duì)角線的長(zhǎng)是2eq\r(14)，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是()A．6 B．12C．24 D．48D[設(shè)長(zhǎng)方體的過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為x、2x、3x(x>0)，又對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(14)，則x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2eq\r(14))2，解得x＝2，∴三條棱長(zhǎng)分別為2、4、6，∴V長(zhǎng)方體＝2×4×6＝48.]3．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，沿對(duì)角線AC將△ADC折起，當(dāng)AD與平面ABC所成的角最大值時(shí)，三棱錐D－ABC的體積等于()A．eq\f(\r(2),12) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,6) D．eq\f(\r(2),6)A[正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，沿對(duì)角線AC將△ADC折起，當(dāng)AD與平面ABC所成的角最大值時(shí)，平面ADC與底面ABC垂直，此時(shí)棱錐的高為：eq\f(\r(2),2)，底面面積為：eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2).所以三棱錐D－ABC的體積：eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),12).故選A．]4．已知圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面圓的周長(zhǎng)為6π，則它的體積是()A．9eq\r(55)π B．9eq\r(55)C．3eq\r(55)π D．3eq\r(55)C[設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，高為h，則2πr＝6π，∴r＝3.∴h＝eq\r(64－32)＝eq\r(55)，∴V＝eq\f(1,3)π·r2·h＝3eq\r(55)π.]5．如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體的體積為()A．eq\f(5,3)π B．eq\f(4,3)πC．eq\f(2,3)π D．2πA[由題意，知旋轉(zhuǎn)而成的幾何體是圓柱挖去一個(gè)圓錐，如圖，該幾何體的體積為π×12×2－eq\f(1,3)×π×12×1＝eq\f(5,3)π.]6．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A－DED1的體積為________．eq\f(1,6)[V三棱錐A－DED1＝V三棱錐E－DD1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).]7．若圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半徑為2的半圓，則圓錐的體積是________．eq\f(\r(3),3)π[易知圓錐的母線長(zhǎng)l＝2，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝eq\f(1,2)×2π×2，∴r＝1，∴圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(3)，則圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(3),3)π.]8．已知某圓臺(tái)的上、下底面面積分別是π，4π，側(cè)面積是6π，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是________．eq\f(7\r(3),3)π[設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r和R，母線長(zhǎng)為l，高為h，則S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S側(cè)＝π(r＋R)l＝6π，∴l(xiāng)＝2，∴h＝eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)π(12＋22＋1×2)×eq\r(3)＝eq\f(7\r(3),3)π.]9．如圖，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為2和3，求該幾何體的體積．[解]用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.10．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距離d.[解]在三棱錐A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a×d.∴d＝eq\f(\r(3),3)a.11．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(3)，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A．1 B．eq\f(3,2)C．3 D．eq\f(\r(3),2)A[在正△ABC中，D為BC中點(diǎn)，則有AD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，S△DB1C1＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD?平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A－B1DC1底面上的高．∴V三棱錐A－B1DC1＝eq\f(1,3)S△DB1C1·AD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.]12．已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A．eq\f(2\r(2)π,3) B．eq\f(4\r(2)π,3)C．2eq\r(2)π D．4eq\r(2)πB[繞等腰直角三角形的斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個(gè)底面重合，等體積的圓錐，如圖所示．每一個(gè)圓錐的底面半徑和高都為eq\r(2)，故所求幾何體的體積V＝2×eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))2×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2)π,3).]13．設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．eq\f(3,2)[設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，則eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).]14．如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5.則此幾何體的體積為________．96[用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V幾何體＝eq\f(1,2)V三棱柱＝eq\f(1,2)×S△ABC·AA′＝eq\f(1,2)×24×8＝96.]15．已知四面體ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面體ABCD的體積．[解]以四面體的各棱為對(duì)角線還原為長(zhǎng)方體，如圖．設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y