空間直線平面的垂直基礎(chǔ)練習(xí)【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修（Word含解析）

空間直線、平面的垂直基礎(chǔ)練習(xí)一、單選題1.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，O為正方形A1B1C1D1A.

512

B.

56

C.

522.已知兩條不同的直線l，m和不重合的兩個(gè)平面α,β，且l⊥β，有下面四個(gè)命題：①若m⊥β，則l//m；②若α//β，則l⊥a；③若α⊥β，則l//α；④若l⊥m，則m//β．其中真命題的序號(hào)是（

）A.

①②

B.

②③

C.

②③④

D.

①④3.三棱錐P?ABC的高為PH，若三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則H一定為△ABC的（

）A.

垂心

B.

外心

C.

內(nèi)心

D.

重心4.設(shè)m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，下列命題中，正確的是（

）A.

若m，n與α所成的角相等，則m//n

B.

若α⊥β，m//α，則m⊥β

C.

若m⊥α，m//β，則α⊥β

5.下列有關(guān)命題的說法正確的是（

）A.

若命題p：?x0∈R，ex0<1，則命題?p：?x∈R，ex≥1

B.

“sinx=32”的一個(gè)必要不充分條件是“x=π3”

C.

若|a+b|=|a|?|6.在三棱錐P?ABC中，已知∠APC=π4，∠BPC=π3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，三棱錐P?ABC的體積為A.

4π

B.

8π

C.

12π

D.

16π7.如圖，在以下四個(gè)正方體中，使得直線AB與平面CDE垂直的個(gè)數(shù)是(

)A.

1

B.

2

C.

3

D.

48.已知四棱錐P?ABCD，底面ABCD為矩形，側(cè)面PCD⊥平面ABCD，BC=23.CD=PC=PD=26，若點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）

（1）PC⊥平面ADM（2）四棱錐M?ABCD的體積為12（3）BM//平面PAD（4）四棱錐M?ABCDA.

1個(gè)

B.

2個(gè)

C.

3個(gè)

D.

4個(gè)9.設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面(

)A.

若l//α，l//β，則α//β

B.

若l//α，l⊥β，則α⊥β

C.

若α⊥β，l⊥α，則l⊥β

D.

若α⊥β，l//α，則l⊥β10.如圖所示的正方形SG1G2G3中，E?，??F分別是G1G2，G2GA.

SG⊥平面EFG

B.

EG⊥平面SEF

C.

GF⊥平面SEF

D.

SG⊥平面SEF11.棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q分別為C1D1，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：①PQ//BA.

①③

B.

②③

C.

②④

D.

③④12.設(shè)l、m、n是三條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若l//α，l?β，α∩β=m，n?α，m//n，則l//n；②若α⊥γ，β⊥γ，則α//β；③若m，n是兩條異面直線，l⊥m，l⊥n，n?α，m?β且α//β，則l⊥α；④若l?α，m?β，其中正確命題的序號(hào)是（

）A.

①③

B.

①④

C.

②③

D.

②④13.已知a，b為兩條不同的直線，α，β，γ為三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（

）①若a//α，α//β，則a//β

②若③若a⊥α，b⊥α，則a//b

④若α⊥γ，β⊥γ，則A.

①③

B.

②③

C.

①②③

D.

②③④14.在三棱錐P?ABC中，PC⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∠PBC=60°，則三棱錐P?ABC外接球的體積為(

)A.

100π

B.

500π3

C.

125π

D.

15.已知如圖，六棱錐P?ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABCDEF.則下列結(jié)論不正確的是（

）A.

CD//平面PAF

B.

DF⊥平面PAF

C.

CF//平面PAB

D.

CF⊥16.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)E為棱CC1的中點(diǎn).下列結(jié)論:①線段BD上存在點(diǎn)F，使得CF//平面AD1EA.

①

B.

③

C.

①③

D.

①②③17.已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有下列四個(gè)命題：①若α//β，則l⊥m；②若α⊥β，則l//m；③若l//m，則A.

①②

B.

③④

C.

①③

D.

②④18.已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2BC=2AA1=2，E，F(xiàn)分別是線段A1D1，CC1的中點(diǎn)，若E'是E在平面BDD119.如圖，在正方形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，沿AE,AF,EF把正方形折成一個(gè)四面體，使B,C,D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P,P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是(

)A.

O是ΔAEF的垂心

B.

O是ΔAEF的內(nèi)心

C.

O是ΔAEF的外心

D.

O是ΔAEF的重心20.設(shè)α，β為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，則下列判斷正確的是（

）A.

若n⊥α，m⊥α，則m⊥n

B.

若α∥β，m⊥α，則m⊥β

C.

若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，則m⊥β

D.

若m∥n，m∥α，則n∥α二、解答題21.已知四棱錐P?ABCD中底面ABCD為菱形，PA=PC．（1）求證：BC//平面PAD；（2）求證：PB⊥AC．22.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).（1）求證：PA⊥BD；（2）求證：平面BDE⊥平面PAC；（3）當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E－BCD的體積．23.如圖，將直角邊長為2的等腰直角三角形ABC，沿斜邊上的高AD翻折，使二面角B?AD?C的大小為π3，翻折后BC的中點(diǎn)為M（Ⅰ）證明BC⊥平面ADM；（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面ABC的距離.

答案解析部分一、單選題1.【答案】B【解析】如圖所示，連接BD交MN于點(diǎn)Q，連接PQ，連接OD由正方體的特點(diǎn)可知，MN⊥BD，MN⊥DD1,則根據(jù)線面垂直的判定定理可知MN⊥平面BDDSΔOPQ=S故答案為：B.2.【答案】A【解析】解：因?yàn)閮蓷l不同的直線l，m和不重合的兩個(gè)平面α,β，且l⊥β，對(duì)于①，由l⊥β,m⊥β，可得l//m，故①正確；對(duì)于②，若l⊥β,α//β，可得l⊥α，故②正確；對(duì)于③，若l⊥β,α⊥β，則有可能l?α，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)l⊥β,l⊥m時(shí)，則有可能m?β，故④錯(cuò)誤．綜上，真命題的序號(hào)是①②．故答案為：A．3.【答案】A【解析】因?yàn)槿齻€(gè)側(cè)面兩兩垂直，所以PA⊥PB⊥PC．連結(jié)AＨ并延長交BC于點(diǎn)D．由PA⊥PB⊥PC知，PA⊥BC①，由PH是三棱錐P?ABC的高得，PH⊥BC②．由①②得，AD⊥BC．同理：連結(jié)BＨ并延長交AC于點(diǎn)E、連結(jié)CＨ并延長交AB于點(diǎn)F，則BE⊥AC，CF⊥AB．所以，點(diǎn)H是三角形三邊上高的交點(diǎn)，即H是三角形的垂心．故答案為：A4.【答案】C【解析】若m，n與α所成的角相等，則m//n或m，n相交或m，若α⊥β，m//α，則m⊥β或m//β，B不符合題意.若m⊥α，m//β，則α⊥β，所以C正確.D．若m//α，n//β，則故答案為：C5.【答案】A【解析】對(duì)于A，命題p：?x0∈R，ex0<1，則命題對(duì)于B，當(dāng)x=π3時(shí)，所以“x=π3”是“對(duì)于C，|a|>|b|且兩向量反向時(shí)對(duì)于D，若m⊥n，m⊥α，n//β，則α，故答案為：A.6.【答案】A【解析】解：取PC中點(diǎn)O，連接AO,BO，設(shè)球半徑為R，因?yàn)椤螧PC=π3，PA⊥AC，所以AO=BO=R，PC=2R，PB=R，BC=3因?yàn)椤螦PC=π4，PA⊥AC，所以PA=AC，則因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC，所以AO⊥平面PBC，即VP?ABC所以36R3=36，故答案為：A.7.【答案】B【解析】①因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以AB與AC的夾角為60°，又因?yàn)锳C//ED，所以AB與ED的夾角為60②因?yàn)檎叫螌?duì)角線相互垂直，所以AB⊥CE，AB⊥ED,ED∩CE=E，AB⊥平面CDE，故正確；③由①知AB與CE的夾角為60°④因?yàn)镃E⊥AD,CE⊥BD,BD∩AD=D，所以CE⊥平面ABD，則AB⊥CE，同理AB⊥ED，又ED∩CE=E，所以AB⊥平面CDE，故正確.故答案為：B8.【答案】C【解析】作出圖象，如圖所示：，對(duì)于（1），因?yàn)閭?cè)面PCD⊥平面ABCD，而底面ABCD為矩形，所以AD⊥平面PCD，即有AD⊥PC，而CD=PC=PD，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，所以DM⊥PC，故PC⊥平面ADM，（1）正確；對(duì)于（2），因?yàn)閭?cè)面PCD⊥平面ABCD，CD=PC=PD=26，所以點(diǎn)P到平面ABCD的距離為26sin60°=32，而點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P到平面ABCD對(duì)于（3），取PD中點(diǎn)N，連接MN，所以MN//DC，且MN=12DC故MN//AB，且MN=12AB，因此四邊形ABMN為梯形，所以BM與AN的延長線交于一點(diǎn)，故直線BM對(duì)于（4），根據(jù)四棱錐M?ABCD的側(cè)面CDM為直角三角形，底面ABCD為矩形，結(jié)合球的幾何特征可知，四棱錐M?ABCD的外接球的球心在過底面ABCD的外心O且與底面垂直的直線上，同樣，四棱錐M?ABCD的外接球的球心在過側(cè)面CDM的外心(CD的中點(diǎn))且與側(cè)面CDM垂直的直線上，所以四棱錐M?ABCD的外接球的球心即是底面ABCD的外心O，外接球半徑為OA=12(26)故答案為：C．9.【答案】B【解析】由l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，可知：A選項(xiàng)中，若l//α，l//β，則α，β可能平行也可能相交，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，若l//α，l⊥β，由線面平行、線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的判定可知α⊥β，正確；C選項(xiàng)中，若α⊥β，l⊥α，由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)可知l//β或l?β，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，若α⊥β，l//α，則l，β可能平行也可能相交，錯(cuò)誤.故答案為：B.10.【答案】A【解析】由題意：SG⊥FG，SG⊥EG，F(xiàn)G∩EG=G，F(xiàn)G，EG?平面EFG所以SG⊥平面EFG正確，D不正確；.又若EG⊥平面SEF，則EG⊥EF，由平面圖形可知顯然不成立；同理GF⊥平面SEF不正確；故答案為：A11.【答案】C【解析】如圖1，取AD中點(diǎn)M，連接MD1與MQ，則MQ∥D1C1，BD如圖2，取CD中點(diǎn)R，易得平面PQR//平面BB若③正確，則PQ⊥B1C（另解：由結(jié)論BD1⊥平面AB1V三棱錐（④也可以這樣判斷：如圖3，過點(diǎn)B作C1Q的垂線，垂足為H，因此，BH⊥平面D1PQ，BH=5VD或者VD故答案為：C.12.【答案】A【解析】對(duì)于命題①，l//α，l?β，α∩β=m，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得∵n?α，m//n，由平行線的傳遞性可知l//對(duì)于命題②，α⊥γ，β⊥γ，則平面α與平面β平行或相交，命題②錯(cuò)誤；對(duì)于命題③，過直線m作平面γ，使得γ∩α=a，∵m?β，α//β，∵m?γ，γ∩α=a，∴a//m，若a//又∵a、n?α，∴a∩n≠?，∵l⊥m，∴l(xiāng)⊥a，又∵l⊥n，a、n?α，∴l(xiāng)⊥α，命題③正確；對(duì)于命題④，∵m?β，n?β，l⊥m，l⊥n，但m、n不一定垂直，則l與β不一定垂直，所以α與β也不一定垂直，命題④錯(cuò)誤.因此，正確的命題序號(hào)為①③.故答案為：A.13.【答案】B【解析】若a∥α，α∥β，得a?β或a//若α∥β，β∥γ，則α∥γ；所以②正確；若a⊥α，b⊥α，則a∥b；所以③正確；若α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β或α∥β或相交；所以④不正確；故答案為：B14.【答案】B【解析】由題意知，在三棱錐P?ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，所以BC=5,又由PC⊥底面ABC，所以在直角ΔPBC中，BC=5,∠PBC=600，所以根據(jù)球的性質(zhì)，可得三棱錐P?ABC外接球的直徑為2R=PC=10，即R=5，所以球的體積為V=4故答案為：B.15.【答案】D【解析】A.因?yàn)镃D//AF,AF?平面PAF，所以CD//平面PAFB.PA⊥平面ABCDEF，DF?平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又DF⊥AF,AF∩PA=A，所以DF⊥平面PAF，故正確；C.因?yàn)镃F//BA,BA?平面PAB，所以CF//平面PABD.因?yàn)镃F與AD成60°角，所以CF與平面PAD故答案為：D16.【答案】C【解析】設(shè)A1D交AD1于P，過P作PQ⊥AD，交AD于Q，連接CQ交BD于F，由于PQ//CE,PQ=CE，所以四邊形PQCE為平行四邊形，所以CQ//EP，所以CQ//平面AED1.故線段BD上存在點(diǎn)若CF⊥平面AD1E，CF?平面ABCD，則平面A延展平面AD1E為AMED1如圖所示，其中M是BC的中點(diǎn).根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可知，D1E,AM,DC相交于一點(diǎn)，ΔCEM～ΔD綜上所述，正確的序號(hào)為①③.故答案為：C17.【答案】C【解析】已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，對(duì)于①中，若α//β，得到直線l⊥平面β，所以對(duì)于②中，若α⊥β，直線l在β內(nèi)或者l//β，則l與m的位置關(guān)系不確定，所以不正確；對(duì)于③中，若l//m，則直線m⊥α，由面面垂直的性質(zhì)定理，可得α⊥β，所以是正確；對(duì)于④中，若l⊥m，則α與β可能相交，所以不正確．故答案為：C.18.【答案】D【解析】過點(diǎn)E作EE'⊥取BB1的中點(diǎn)F'則E由AB=2BC=2A所以B1F'=且cos所以D故B所以EF故答案為：D.19.【答案】A【解析】由題意得，可知PA,PE,PF兩兩垂直，由PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，

而PO⊥平面PEF，從而PO⊥EF，

所以EF⊥平面PAO，所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO,AF⊥EO，所以O(shè)為ΔAEF的垂心，故答案為：A.20.【答案】B【解析】A選項(xiàng)不正確，根據(jù)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)直線平行，可得m∥n；B選項(xiàng)正確，若α∥β，則存在a?α,b?α,a∩b，在平面β內(nèi)存在a'∥a,b'∥b,a'∩b'，由m⊥α，可得m⊥a,m⊥b?m⊥a',m⊥b'，由線面垂直的判定定理可得m⊥β；C選項(xiàng)不正確，因?yàn)楦鶕?jù)面面垂直的性質(zhì)定理，需要加上“m在平面α內(nèi)或者平行于α”這個(gè)條件，才能判定m⊥β；D選項(xiàng)不正確，直線n可能在平面α上．

故答案為：B.二、解答題21.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC//AD,又∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC//平面PAD

（2）證明：連接AC交BD于O，連接PO.∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD且BO=OD，OA=OC又PA=PC，∴PO⊥AC又PO∩BD=O，∴AC⊥平面PBD，又BD?平面PBD，∴PB⊥AC.【解析】（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴BC//AD,再利用線線平行證出線面平行。

（2）連接AC交