空間直線平面的垂直【新教材】2022年人教A版高中數學必修同步講義

第八章立體幾何初步8§空間直線、平面的垂直8知識索引索引1：異面直線所成的角知識索引索引1：異面直線所成的角定義（1）做法：經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b（2）結論：我們把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：記異面直線a與b所成的角為θ，則0°<θ≤90°特殊情況當θ＝90°時，a與b互相垂直，記作a⊥b索引2：直線與平面垂直直線與平面垂直的定義（記法----------l⊥α）如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直有關概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點P叫做垂足畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如下圖索引3：直線與平面所成的角一條直線1與一個平面相交,但不與這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線,斜線和平面的交點A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點P向平面引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線A0叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的角索引4：直線與平面垂直的性質定理定義：垂直于同一個平面的兩條直線平行

aa⊥αb⊥α2.符號?a∥b3.圖形演示索引5：二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面2.二面角的度量(1)二面角的大小可以用它的平面角來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(2)二面角的平面角的取值范圍是8精例探究精例探究精例1.已知m，n表示兩條不同直線，α，β表示兩個不同平面．設有四個命題：p1：若m//α，m⊥n，則n⊥α；p2：若m//α，n⊥α，則m⊥n；p3：若m//α，α⊥β，則m

p1∧p2

B.

?p1【答案】C【考點】直線與平面平行的性質，直線與平面垂直的性質【解析】【解答】p1：若m//α，m⊥n，則n⊥α是假命題，例如np2：若m//α，n⊥αp3：若m//α，α⊥β，則mp4：若m//α，m//β所以p1∧p2，?p故答案為：C

【分析】p1：m與n相交、平行或異面；p2：由線面垂直的性質定理得m⊥n；p3精例2已知a，b為不同直線，α，β為不同平面，則下列結論正確的是（

）

若a⊥α，b⊥a，則b//

B.

若a，b?α，a//β，b//β，則α//β

C.

若a//

D.

若α∩β=b，a?α，a⊥b【答案】C【考點】直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定【解析】【解答】A選項，若a⊥α，b⊥a，則b//α或B選項，若a，b?α，a//β，b//β，當a//C選項，若a//b，b⊥β，根據線面垂直的性質，可得a⊥β，又a//D選項，若α∩β=b，a?α，a⊥b，垂直于交線，并不能推出垂直于另一平面，因此不能得出a⊥β，即不能推出故答案為：C.【分析】利用已知條件結合線面平行的判定定理、，面面平行判定定理、面面垂直的判定定理，從而找出正確結論的選項。精例3如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=5（Ⅰ）求證：BC⊥AM；（Ⅱ）若N是AB上的點，且CN//平面AB1M【答案】解：（Ⅰ）證明：∵CC1⊥平面ABC，BC?平面平面ABC，∴又AB=5，AC=3，BC=4，∴AC2+B又AC∩CC1=C，∴BC⊥平面AA1C1C，又（Ⅱ）過點N作NE//BB1交AB由三棱柱ABC-A1B1C1可得BB又CN//平面AB1M，CN?平面NEMC，且平面NEMC∩平面∴CN//ME，∴四邊形∴NE=CM，且NE//又點M為CC1中點，∴CM=12BB1，且CM∴BN=1【考點】直線與平面平行的性質，直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質【解析】【分析】（Ⅰ）首先由線面垂直的性質定理即可得出線線垂直，再由勾股定理即可計算出線線垂直，結合線面垂直的判定定理以及性質定理即可得證出結論。

（Ⅱ）根據題意作出輔助線結合三棱柱的性質以及線面平行的性質定理即可得出線線平行，再由平行四邊形的定義即可得出線線平行，結合中位線的性質以及平行的傳遞性即可求出結果。

8課堂反饋課堂反饋練習1.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB（Ⅰ）證明：DE⊥平面BB（Ⅱ）求三棱錐D-EBC的體積與三棱柱ABC-A練習2.如圖所示，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD⊥平面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F.求證：BD⊥平面AEF.練習3.已知m，n為兩條不同的直線，α和β是兩個不同的平面，下列為真命題的是（

）

m⊥n,m//α?n⊥α

B.

n//β,β⊥α?n⊥αC.

m//n,m⊥β?n⊥β

D.

m//α,n?α?m//n練習4.如圖所示，平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB與兩平面α,β所成的角分別為45°、30°，過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A',B

2:1

B.

3:1

C.

3:2

D.

4:38參考答案.參考答案練習1.【答案】解：（Ⅰ）取BC的中點為F，連結AF、EF，∵BB1⊥平面ABC，AF?∴BB∵AB=AC=5，∴AF⊥BC，∵BB∴AF⊥平面BB∵AD//BB1,AD=∴四邊形DEFA為平行四邊形，∴DE//∴DE⊥平面BB（Ⅱ）由題可得DE=AF=4，三棱錐D-EBC的體積為13VD-EBC直三棱柱的體積為底面積乘以高，所以VABC-所以三棱錐D-EBC的體積與三棱柱ABC-A1B【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面垂直的判定【解析】【分析】（Ⅰ）首先作出輔助線再由中點的性質即可得出線線平行，再由平行性質的傳遞性結合已知條件即可得出結論。

（Ⅱ）根據題意由三棱錐的體積公式代入數據計算出即可得出結論。練習2.【答案】證明：AB為⊙O的直徑，C為⊙O上點，所以BC⊥AC因為DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以DA⊥BC又DA∩AC=A,所以BC⊥面DAC又AF?平面DAC，則BC⊥AF又AF⊥DC，DC∩BC=C，所以AF⊥平面BCD又BD?平面BCD，所以AF⊥BD又因為AE⊥BD，AE∩AF=A所以BD⊥平面AEF【考點】直線與平面垂直的判定【解析】【分析】運用線面垂直的判定定理和性質定理即可得證。練習3.【答案】C【考點】空間中直線與直線之間的位置關系，直線與平面垂直的判定【解析】【解答】A.m⊥n,m//α，則n也可在平面α內，故答案為：項A不正確.B.n//β,β⊥α，則n也可在平面α內，故答案為：項B不正確.C.m//n,m⊥β?n⊥β成立兩平行線m,n，m⊥平面β，m必垂直于β內的兩條相交直線，則n必定垂直于β內那兩條相交直線，故n⊥β，C符合題意.D.m//α,n?α，則m,n也可是異面直線的關系.

故答案為：項D不正確.故答案為：C

【分析】利用已知條件結合線面垂直的判定定理、線線平行的