八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)幾何添輔助線專題

全等三形題中常的助線的法(答案)

7.度為3度，可從角一總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相

殊直角三角形，等，構(gòu)造二個(gè)角之間的相等

等的二條邊或二【三角輔助線做法

8.算值圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系角三角形，或現(xiàn)。這樣可以得到在角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試造邊、角之間的看。常見輔助線的作線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試之間的相等，二驗(yàn)。1)遇到等腰三三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中維模式是全線。2)遇到三角形1.等腰三角形“三線合一法遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利三角形用“三線合一”的性質(zhì)解題3)遇到角平分2.長(zhǎng)線長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形向角的兩邊3.平線三添助所考知識(shí)點(diǎn)4.直分聯(lián)線兩線上的一點(diǎn)5.“長(zhǎng)”“短：到有二條線段長(zhǎng)之和等于第三條線段形）可的長(zhǎng)，二點(diǎn)，然后6.形全：一個(gè)角60度或120度的把角添線后構(gòu)成等邊三角角形。形4)過圖形上某全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5)截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法體做是在某條線段上截取一條線段與特定線段相

EG<BG+BE故：EF<BE+FC等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等

例3、如圖，△的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分

解：延長(zhǎng)AE至等類的題目．

顯然DG＝AC，6)已知某線段的垂直平分線么可在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的

由于DC=AC故兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對(duì)全等三角形。

在△ADB與A特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角

BD＝AC=DG，A形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答

∠ADB=∠ADC+∠一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等

故△ADB≌△AD例杯試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，則中線AD的取值范圍是________.

二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖，解：延長(zhǎng)至E使，連BE，由三角形性質(zhì)知

解長(zhǎng)法）AB-BE<2AD<AB+BE

故的取值范圍是1<AD<4

△ADB是腰三例、如圖，△ABC，分別在AB上，DE⊥DF是中點(diǎn)，試比

DF⊥AB，故∠A較BE+CF與大小解(倍中線,等腰三角“三線合一”法)延長(zhǎng)FDG使＝2EF，連BG，EG,

△ADF≌△ADC顯然BG＝FC，

A

∠ACD＝∠AFD＝在EFG中，注意到⊥DF，由等腰三角形的三線合一知E

2圖EG＝EF在BEG中，由三角形性質(zhì)知

B

D

FC

解E△A

AEFAEF∠ADE＝∠AFE，

求證：∠ADE+∠BCE＝180°

解短法）△BDF≌△BDCA

故∠DFB＝∠DC又＝CDB∠AFE+∠BFE故ECB∠EFB

＝180°

P

Q

故在等腰△∠DFB＝∠DAFeq\o\ac(△,≌)FBE△CBE）

故有∠故有BF＝BC從;AB＝AD+BC

C

5、如圖在eq\o\ac(△,AB)＞PB-PC3、如圖，已知eq\o\ac(△,在)ABC內(nèi)，

，40

，P，Q分別在BC，CA

解短法）上，并且，BQ別是BAC，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP解短法計(jì)算數(shù)值法）延長(zhǎng)ABD使BD＝BP連DP

△ABP≌△AFP故＝PF在等腰△中可得∠＝40°

由三角形性質(zhì)知從而∠＝∠ACP

PB－PC＝PFeq\o\ac(△,≌)ADP△ACP）

應(yīng)用：故＝AC

分析：此題又QBC＝40°＝∠QCB

故BQ＝QC

用已知條件和等BD＝BP

解：有

BC從而BQ+AQ=AB+BP

連接AC

，過4、如圖，在四邊形，BC＞BA,AD，BD平分

，

則可證為

即，

FCE，，∴

120

A

從而

P

=BE+CEB又∵

AD

，

例2圖，在∴120又∵DEC

B

E

F

C

證明：取BC中∴

AEDFEC在與中EADEFAED∴∴

FCEAD

∵BD=CE,∴

BCAE

∴DM=EM,∴△DMN≌E點(diǎn)評(píng)：此題的解法比較新穎，把梯形的問題轉(zhuǎn)成等邊三角形的問題，

∴DN=AE,同理BN=CA.然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。

延長(zhǎng)ND交AB相加得BN+BP+三、平移變換

各減去DP,B∴AB+AC>AD+例1AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN一點(diǎn)，△ABC

四、借助角平分周長(zhǎng)記為P，△EBC周記為.求證＞.AA

1圖知解面反射）延長(zhǎng)BAF，AF＝AC，連FE

求證：OE=ODAD為△角平分線,MN

證明(角平分線則∠BAC+∠BC知FAE∠CAE

AD,CE為角平則∠OAC+∠O故有

∠AOC=12eq\o\ac(△,≌)FAE△CAE）

E

O

在AC上又AO.故＝CE

∠AOF=∠AOE在BEF中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC

則∠COF=∠，，又CO=CO;∠OCD=故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),

FE與OD=OF;CD=CF.

（2）圖OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.

不變2如圖eq\o\ac(△,，)ABC中AD平分∠BACDG⊥BC且平BCDE⊥ABDF⊥AC

明；于

O解）F（1）明BE=CF理由如果

，AC=

，求AE、BE的長(zhǎng).

圖①（）答：解：(垂直平線聯(lián)結(jié)線段兩端接BD，DC

A

證法一：如DG垂直平分BC，故BD＝DC由于AD平分∠BACEF，

B

E

F

故

∵∴

有

∴

ED＝DF

∵

60故eq\o\ac(△,RT)DBE≌RT△DFC（HL

∴

故有BE＝CF。

∴

＝2AE

∴

＝）/2

∵

及

∴

應(yīng)用：

∴

FG1、如圖①，OP是∠的分線，請(qǐng)你用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線

∴

FE為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解

證法二：如答下列問題：

∵

60）如圖②，△ABC中，∠是直角，∠=60°，、CE分別是

∴可得

∠BAC、∠BCA的平分線，、相交于點(diǎn)。請(qǐng)你判斷并寫出

∴

GEF又∵

HDF

∴2∴∠∴

GEF

即∠∴N∴可證

DHF

∵A∴∠∴

FEFD

有腰角時(shí)用輔線

又∵∠B∴∠∴∠⑴作頂?shù)钠椒志€，邊中線底邊高線

∴E例：已知，如圖，AB=AC，BD⊥AC于D，

∴E求證：∠BAC=2∠DBC

⑷常過腰上的證明方法一）作BAC的平

分線AE，交BC

例：已知，如圖1于E，則∠1=∠2=∠BAC2A

延長(zhǎng)線上，求證：DF=證明證法又∵AB=AC

∠NDE=∠∴AE⊥BC

∵A∴∠2＋∠ACB=90

o

∴∠∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB=90

o

F

∴∠B=∠∴BD=DN∴∠2=∠DBC∴∠BAC=2∠DBC

E

又∵BD=∴DN=EC（方法二）過A作AE⊥BC于E（過程略）

D

在△DNF和（方法三取中點(diǎn)E結(jié)（過程略）⑵有底中點(diǎn)時(shí)，常底邊中

1

F

2

M

∠1=∠2∠NDF=∠例：已知，如圖，△ABC，AB=AC，D中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

DN=EC∴△DNF≌求證：DE=DF

∴D證明：連結(jié)AD.

（證∵D為BC中點(diǎn)，

=∠B（過∴BD=CD

⑸常過腰上的又∵AB=AC

例：已知，如∴AD平分∠BAC

長(zhǎng)線上，∵DE⊥AB，DF⊥AC

求證：D∴DE=DF

證明證⑶將腰長(zhǎng)一倍，構(gòu)直角三形解題

∠例：已知，如圖，△ABC中，AB=，在BA延長(zhǎng)線和AC上各取一點(diǎn)、F，

∠使AE=AF，

∵求證：EF⊥BC

∴證明：延長(zhǎng)BE到N，AN=AB,連結(jié)CN,則AB=AN=AC

∴∴∠B=∠ACB,∠ACN=∠ANC

∵∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC=180o

∴o又∵∠＋∠＋∠ADE=180o∴2∠AEF＋2∠AED=90即∠FED=90o

A

＋∠

解法二：以AC為∴DE⊥FE又∵EF∥BC

B

P

C

解法三：以BC為EB=∴DE⊥BC

E

∵EB（證法二）過點(diǎn)D作DN∥BC交CA的延

∴E在長(zhǎng)線于N過程略）

同理A（證法三）過點(diǎn)A作AM∥BC交DEM過程略）

∴EA所⑹常將腰三角形轉(zhuǎn)成特殊等腰三角形------邊三角形

∴EA⊥例：已知，如圖，△ABC中，AB=AC，=80o,P為形內(nèi)一點(diǎn)，若∠PBC=10

o

=30

o

求∠PAB的度數(shù).

∠AEB解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)則∠BAE=∠ABE=60

o

由解法AE=AB=BE

∴∠A∵AB=AC

∵∠A∴AE=AC∠ABC=∠ACB

∴△A∴∠AEC=∠ACE

∴AB∵∠EAC=∠BAC－∠BAE

∵∠A=80

o

－60

o

=20

o11∴∠ACE=(180o－∠EAC)=∵∠ACB=(180o－∠BAC)=22

∴∠P70o50o∴∠BCE=∠ACE－∠ACB

1.圖，求=80o－50∵∠PCB=30o

o

=30

o

解：連結(jié)CD∴∠PCB=∠BCE∵∠ABC=∠ACB=50

o

,∠ABE=60

o

∵∠ECD＋∠∴∠EBC=∠ABE－∠ABC=60o－50o=10∵∠PBC=10o

o

=180°－∠∴∠PBC=∠EBC在△PBC和△EBC中

∴∠A∠PBC=∠EBCBC=BC

=∠A＋∠EC∠PCB=∠BCE∴△PBC≌△EBC

=∠A＋（∴BP=BE∵AB=BE

=∠A＋∠AC∴AB=BP∴∠BAP=∠BPA

=180°∵∠ABP=∠ABC－∠PBC=50

o

－10

o

=40

o

2.圖延長(zhǎng)BE交于F。求證：AF=EF。

∵BE平∠解：延長(zhǎng)至G，使DG=AD連結(jié)BG

∴CE=

CF∵BD=DC∠BDG=∠ADC

又∵AB=AC∴△BGD△CAD

∠ACF=∠AB∴BG=AC=BE，∠G=∠CAD

∴△ACF≌△∴∠G=∠BEG=∠AEF

∴CE=

∴∠AEF=∠CAD∴AF=EF3.知是正方形ABCD邊CD上的點(diǎn)，點(diǎn)FBC上，且∠DAE=∠