第二章 運(yùn)動的守恒量和守恒定律

前言我們往往只關(guān)心過程中力的效果——力對時間和空間的積累效應(yīng)。力在時間上的積累效應(yīng)：平動沖量動量的改變轉(zhuǎn)動沖量矩角動量的改變力在空間上的積累效應(yīng)功改變能量牛頓定律是瞬時的規(guī)律。在有些問題中，如：碰撞（宏觀）、（微觀）…散射第二章運(yùn)動的守恒量和守恒定律§2-1質(zhì)點系的內(nèi)力和外力質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理§2-2動量定理動量守恒定律§2-3功能量動能定理§2-4保守力成對力的功勢能§2-5質(zhì)點系的功能原理機(jī)械能守恒定律§2-6碰撞§2-7質(zhì)點的角動量和角動量守恒定律§2-8對稱性和守恒定律§2-1質(zhì)點系的內(nèi)力和外力質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理一、質(zhì)點系的內(nèi)力與外力系統(tǒng)內(nèi)，內(nèi)力是成對出現(xiàn)的。質(zhì)點系內(nèi)各個質(zhì)點間的相互作用。內(nèi)力（internalforce）外力（externalforce）質(zhì)點系外物體對系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點所施加的力。§2-1質(zhì)點系的內(nèi)力和外力質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理二、質(zhì)心質(zhì)心（centerofmass）是與質(zhì)量分布有關(guān)的一個代表點，它的位置在平均意義上代表著質(zhì)量分布的中心。對于N個質(zhì)點組成的質(zhì)點系：直角坐標(biāo)系中的分量式：質(zhì)心的位矢：對于質(zhì)量連續(xù)分布的物體分量式：面分布體分布線分布質(zhì)心的位矢：質(zhì)心與重心（centerofgravity）是兩個不同的概念，重心是地球?qū)ξ矬w各部分引力的合力(即重力)的作用點，質(zhì)心與重心的位置不一定重合?！瘛靶【€度”物體的質(zhì)心和重心是重合的?！窬鶆驐U、圓盤、圓環(huán)、球，質(zhì)心為其幾何中心。例2-1求腰長為a的等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)心位置。取寬度為dx的面積元，設(shè)薄板每單位面積的質(zhì)量為，則此面積元的質(zhì)量為解：取坐標(biāo)軸如圖，根據(jù)對稱性分析可知三、質(zhì)心運(yùn)動定理由質(zhì)心位矢公式：質(zhì)心的速度為質(zhì)心的加速度為由牛頓第二定律得對于系統(tǒng)內(nèi)成對的內(nèi)力質(zhì)心的運(yùn)動等同于一個質(zhì)點的運(yùn)動，這個質(zhì)點具有質(zhì)點系的總質(zhì)量，它受到的外力為質(zhì)點系所受的所有外力的矢量和。質(zhì)心運(yùn)動定理：拉力紙·C×球往哪邊移動？思考系統(tǒng)內(nèi)力不會影響質(zhì)心的運(yùn)動，▲在光滑水平面上滑動的扳手，▲做跳馬落地動作的運(yùn)動員盡管在翻轉(zhuǎn)，但▲爆炸的焰火彈雖然碎片四散，但其質(zhì)心仍在做拋物線運(yùn)動其質(zhì)心仍做拋物線運(yùn)動例如：其質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動§2-2動量定理動量守恒定律一、動量定理由牛頓運(yùn)動定律：表示力對時間的累積量，叫做沖量（impulseofforce)。其中，質(zhì)點在運(yùn)動過程中，所受合外力的沖量等于質(zhì)點動量的增量。說明

(1)沖量的方向是所有元沖量的合矢量的方向。動量定理反映了力在時間上的累積作用對質(zhì)點產(chǎn)生的效果。動量定理（theoremofmomentum）：(2)動量定理中的動量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理，或以分量形式進(jìn)行計算：(3)

在

沖擊、

碰撞問題中估算平均沖力（implusiveforce）。(4)動量定理是牛頓第二定律的積分形式，只適用于慣性系。F(t)Ft(5)動量定理在處理變質(zhì)量問題時很方便。船行“八面風(fēng)”逆風(fēng)行舟帆v1v2v1v2Δv風(fēng)

F風(fēng)對帆

F橫

F進(jìn)

F橫

F阻龍骨F帆對風(fēng)Δv研究錘對工件的作用過程，在豎直方向利用動量定理，取豎直向上為正。例2-2

質(zhì)量m=0.3t的重錘，從高度h=1.5m處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時間(1)=0.1s，(2)=0.01s。試求錘對工件的平均沖力。以重錘為研究對象，分析受力，作受力圖。解：解法一：解法二：研究錘從自由下落到靜止的整個過程，其動量變化為零。重力作用時間為支持力的作用時間為由動量定理：例2-3一繩跨過一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為m及m'的物體A和B，m'大于m。B靜止在地面上，當(dāng)A自由下落距離h后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時兩物體的速度，以及能上升的最大高度。作繩拉緊時的受力圖。繩子剛好拉緊前的瞬間，物體A的速度為解：經(jīng)過短暫的沖擊過程，兩物體速率相等，對兩物體分別應(yīng)用動量定理（取向上為正）：考慮到繩不可伸長，有：平均沖力FT1

、FT2>>重力，因而忽略重力。繩子拉緊后，A、B系統(tǒng)的加速度為即為繩子剛被拉緊時兩物體的速度。速度為零時，物體B達(dá)到最大高度H：*二、變質(zhì)量物體的運(yùn)動方程設(shè)t

時刻，某物體質(zhì)量為

m，速度為(<<c)，另有一質(zhì)元dm，速度為。t+dt

時刻合并后的共同速度為。把物體與質(zhì)元作為系統(tǒng)，由動量定理略去二階小量，變質(zhì)量物體運(yùn)動方程注意：dm可正可負(fù)，當(dāng)dm取負(fù)時，表明物體質(zhì)量減小。例2-4質(zhì)量為m的均質(zhì)鏈條，全長為L，手持其上端，使下端離地面的高度為h。然后放手讓它自由下落到地上。求鏈條落到地上的長度為l時，地面所受鏈條作用力的大小。解：用變質(zhì)量物體運(yùn)動方程求解。落在地面上鏈段ml速度為零，作用在未落地部分(m-ml)上的外力有重力和地面給它的沖力。取向下為正：

即自由下落：地面所受鏈條作用力為（已落地部分鏈條的重力）

例2-5礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B，其速度v1=4m/s，方向與豎直方向成30°角，而傳送帶B與水平成15°角，其速度v2=2m/s。如傳送帶的運(yùn)送量恒定，設(shè)為k=20kg/s，求落到傳送帶B上的礦砂在落上時所受到的力。解：設(shè)在某極短的時間t內(nèi)落在傳送帶上礦砂的質(zhì)量為m，即m=kt，這些礦砂動量的增量為其大小為設(shè)這些礦砂在時間t內(nèi)所受的平均作用力為，由動量定理方向由近似豎直向上=常矢量=常矢量根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定律：若三、動量守恒定律即如果系統(tǒng)所受的外力之和為零，則系統(tǒng)的總動量保持不變，這個結(jié)論叫做動量守恒定律（lawofconservationofmomentum）。則質(zhì)點系動量守恒和質(zhì)心勻速運(yùn)動等價！(2)當(dāng)外力作用遠(yuǎn)小于內(nèi)力作用時，可近似認(rèn)為系統(tǒng)的總動量守恒。（如：碰撞、打擊過程等）(1)動量守恒是指系統(tǒng)動量總和不變，但系統(tǒng)內(nèi)各個質(zhì)點的動量可以變化,通過內(nèi)力進(jìn)行傳遞和交換。說明(3)

分量式(4)

定律不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領(lǐng)域。*四、火箭飛行設(shè)t

時刻，火箭質(zhì)量為

m，速度為v(向上)，在

dt

內(nèi)，噴出氣體dm(<0)，噴氣相對火箭的速度(稱噴氣速度)為u(向下)，使火箭的速度增加了dv。若不計重力和其他外力，由動量守恒定律可得

略去二階小量，設(shè)u是一常量，設(shè)火箭開始飛行的速度為零，質(zhì)量為m0，燃料燒盡時，火箭剩下的質(zhì)量為m，此時火箭能達(dá)到的速度是火箭的質(zhì)量比多級火箭：第i級火箭噴氣速率第i級火箭質(zhì)量比最終速度：t+dt時刻：速度v-u，動量dm(v-u)由動量定理，dt內(nèi)噴出氣體所受沖量火箭所受的反推力研究對象：噴出氣體dmt時刻：速度v(和主體速度相同)，動量vdmF箭對氣dt=dm(v-u)-vdm=-F氣對箭dt由此得火箭所受燃?xì)獾姆赐屏槔?-6

如圖所示,設(shè)炮車以仰角發(fā)射一炮彈，炮車和炮彈的質(zhì)量分別為m'

和m，炮彈的出口速度為v，求炮車的反沖速度v'。炮車與地面間的摩擦力不計。解：選取炮車和炮彈組成系統(tǒng)內(nèi)、外力分析。炮車與地面間的摩擦力不計，系統(tǒng)水平方向動量守恒。得炮車的反沖速度為思考：豎直方向動量守恒嗎？系統(tǒng)水平方向動量守恒：炸裂時爆炸力是物體內(nèi)力，它遠(yuǎn)大于重力，故在爆炸中，可認(rèn)為動量守恒。例2-7

一個靜止物體炸成三塊，其中兩塊質(zhì)量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飛開，第三塊的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和。試求第三塊的速度（大小和方向）。解：即和及都成，且三者都在同一平面內(nèi)

例2-8

質(zhì)量為m1

和m2的兩個小孩，在光滑水平冰面上用繩彼此拉對方。開始時靜止，相距為l。問他們將在何處相遇？把兩個小孩和繩看作一個系統(tǒng)，水平方向動量守恒。任取兩個小孩連線上一點為原點，向右為x軸為正向。解：設(shè)開始時小孩的坐標(biāo)分別為x10、x20，在任意時刻的速度分別v1為v2，坐標(biāo)為x1和x2。由運(yùn)動學(xué)關(guān)系：相遇時：x1=x2由動量守恒：（1）代入式（1）得結(jié)果表明，兩小孩在純內(nèi)力作用下，將在他們共同的質(zhì)心相遇。上述結(jié)果也可直接由質(zhì)心運(yùn)動定律求出。相遇時有一、功的概念物體在力的作用下發(fā)生一無限小的位移(元位移)時，此力對它做的功（work）定義為可以寫成兩個矢量的標(biāo)積（scalarproduct）：功是標(biāo)量，沒有方向，但有正負(fù)。單位：Nm=J(焦耳)功率（power）：單位：J/s(W)§2-3功能量動能定理（為力與位移的夾角）能量是反映各種運(yùn)動形式共性的物理量，各種運(yùn)動形式的相互轉(zhuǎn)化可以用能量來量度。各種運(yùn)動形式的相互轉(zhuǎn)化遵守能量守恒定律。與機(jī)械運(yùn)動直接相關(guān)的能量是機(jī)械能，它是物體機(jī)械運(yùn)動狀態(tài)（即位置和速度）的單值函數(shù)，包括動能和勢能。二、能量能量是物體狀態(tài)的單值函數(shù)。物體狀態(tài)發(fā)生變化，它的能量也隨之變化。三、動能定理設(shè)質(zhì)點在變力的作用下沿曲線從a點移動到b點，變力所做的功為：由牛頓第二定律：定義質(zhì)點的動能（kineticenergy）：則有動能定理（theoremofkineticenergy）：合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。

3.功是一個過程量，而動能是一個狀態(tài)量。1.

與參考系有關(guān)，動能定理只在慣性系中成立。2.4.微分形式：例2-9

裝有貨物的木箱，重量G=980N，要把它運(yùn)上汽車。現(xiàn)將長l=3m的木板擱在汽車后部，構(gòu)成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽車。斜面與地面成30°角，木箱與斜面間的滑動摩擦因數(shù)=0.20，繩的拉力與斜面成10°角，大小為700N。求：（1）木箱所受各力所做的功；（2）合外力對木箱所做的功；（3）如改用起重機(jī)把木箱直接吊上汽車能不能少做些功？木箱所受的力分析如圖所示。拉力F

所做的功重力所做的功解：（1）每個力所做的功：正壓力所做的功根據(jù)牛頓第二定律：摩擦力所做的功：（2）合力所做的功：（3）如改用起重機(jī)把木箱吊上汽車。所用拉力F'至少要等于重力。這時拉力所做的功為等于重力所做的功，而符號相反，這時合外力所做的功為零。與（1）中F做的功相比較，用了起重機(jī)能夠少做功。（1）中推力F

所多做的功：其中，435J的功用于克服摩擦力，轉(zhuǎn)變成熱量；余下165J的功將使木箱的動能增加。例2-10

柔軟均質(zhì)物體以初速v0

送上平臺，物體前端在平臺上滑行s距離后停止。設(shè)滑道上無摩擦，物體與臺面間的摩擦因數(shù)為，且s＞Ｌ，求初速度v0

。解：由動能定理：一、保守力根據(jù)各種力做功的特點，可將力分為保守力和非保守力。保守力（conservativeforce）：如：重力、萬有引力、彈性力以及靜電力等。非保守力（non-conservativeforce）：如：摩擦力、回旋力等。做功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。做功不僅與始末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)的力。§2-4保守力成對力的功勢能重力的功重力做功只與質(zhì)點的起始和終了位置有關(guān)，而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)，重力是保守力！設(shè)物體m從a點沿任一曲線移動到b點。在元位移中，重力所做的元功為如果物體沿閉合路徑abcda運(yùn)動一周，容易計算重力所做的功為：討論表明保守力沿任何閉合路徑做功等于零。（L為任意閉合路徑）或彈性力的功彈性力做功只與質(zhì)點的起始和終了位置有關(guān)，而與質(zhì)點運(yùn)動的路徑無關(guān)，彈性力是保守力！設(shè)光滑水平桌面一端固定的輕彈簧(k)，另一端連接質(zhì)點

m，當(dāng)質(zhì)點由a點運(yùn)動到b點的過程中：萬有引力的功設(shè)質(zhì)量為m'的質(zhì)點固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點在m'

的引力場中從a點運(yùn)動到b點。萬有引力的功僅由物體的始末位置決定，與路徑無關(guān)，萬有引力是保守力！摩擦力的功

摩擦力做功與路徑有關(guān)，摩擦力是非保守力！質(zhì)量為m的物體在桌面上沿曲線路徑從a點運(yùn)動到b點，設(shè)物體與桌面的摩擦因數(shù)為，其中sab為物體經(jīng)過的路程，與物體的運(yùn)動路徑有關(guān)。二、成對力的功設(shè)有兩個質(zhì)點m1和m2，存在一對相互作用力和。

在dt

時間內(nèi)分別經(jīng)過元位移和，這一對力所做的元功為相對元位移成對力的功：討論

(1)成對作用力和反作用力所做的總功只與作用力及相對位移有關(guān)，而與每個質(zhì)點各自的運(yùn)動無關(guān)。(2)質(zhì)點間的相對位移和作用力都是不隨參考系而變化的，因此，任何一對作用力和反作用力所做的總功具有與參考系選擇無關(guān)的不變性質(zhì)。(3)可以由相對位移來分析系統(tǒng)中成對內(nèi)力的功。三、勢能與物體的位置相聯(lián)系的系統(tǒng)能量稱為勢能（potentialenergy），常用Ep表示。保守力的功是勢能變化的量度：物體在保守力場中a、b兩點的勢能Epa、Epb

之差等于質(zhì)點由a點移動到b點過程中保守力做的功Aab：

成對保守內(nèi)力的功等于系統(tǒng)勢能的減少。保守力的功只與物體的始末位置有關(guān)，而與參照系無關(guān)。彈性勢能重力勢能引力勢能如：若選勢能零點勢能的大小只有相對的意義，相對于勢能零點而言。勢能零點可以任意選取。勢能差有絕對意義。勢能是相互作用有保守力的系統(tǒng)的屬性。說明已知勢能函數(shù)，可以計算保守力。由又保守力沿某坐標(biāo)軸的分量等于勢能對此坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。四、勢能曲線（1）根據(jù)勢能曲線的形狀可以討論物體的運(yùn)動。（2）利用勢能曲線，可以判斷物體在各個位置所受保守力的大小和方向。解：例2-11

已知雙原子分子的勢函數(shù)為，a、b為正常數(shù)，函數(shù)曲線如圖所示，如果分子的總能量為零。求：(1)雙原子之間的最小距離；(2)雙原子之間平衡位置的距離；(3)雙原子之間最大引力時的兩原子距離；(4)畫出與勢能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。(1)當(dāng)動能Ek=0時，Ep為最大，兩原子之間有最小距離：平衡位置的條件為F=0，最大引力的條件為(2)雙原子之間平衡位置的距離(3)雙原子之間最大引力時的兩原子距離在位置x1處，保守力F為零。在勢能曲線的拐點位置x2

處，保守力F有最小值。(4)畫出與勢能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。一、質(zhì)點系的動能定理設(shè)系統(tǒng)由兩個質(zhì)點m1

和m2組成，對質(zhì)點1和2分別應(yīng)用動能定理：相加，得系統(tǒng)外力的功Ae系統(tǒng)內(nèi)力的功Ai§2-5質(zhì)點系的功能原理機(jī)械能守恒定律質(zhì)點系的動能定理：系統(tǒng)的外力和內(nèi)力做功的總和等于系統(tǒng)動能的增量。二、質(zhì)點系的功能原理內(nèi)力的功可分為保守內(nèi)力的功和非保守內(nèi)力的功：質(zhì)點系的功能原理：當(dāng)系統(tǒng)從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2時，它的機(jī)械能的增量等于外力的功與非保守內(nèi)力的功的總和。與動能定理比較，運(yùn)用功能原理時由于保守力所做的功已為系統(tǒng)勢能的變化所代替，因此不必再計算保守內(nèi)的功。例2-12

一汽車的速度v0=36km/h，駛至一斜率為0.010的斜坡時，關(guān)閉油門。設(shè)車與路面間的摩擦阻力為車重G的0.05倍，問汽車能沖上斜坡多遠(yuǎn)？解法一：取汽車為研究對象。受力分析如圖所示。解：設(shè)汽車能沖上斜坡的距離為s，此時汽車的末速度為0。根據(jù)動能定理：解法二：取汽車和地球這一系統(tǒng)為研究對象，運(yùn)用系統(tǒng)的功能原理：以下同解法一。物體受力：重力的作用、摩擦力和正壓力。用功能原理進(jìn)行計算，把物體和地球作為系統(tǒng)。例2-13

如圖所示，一質(zhì)量m=2kg的物體從靜止開始，沿四分之一的圓周從A滑到B，已知圓的半徑R=4m，設(shè)物體在B處的速度v=6m/s，求在下滑過程中，摩擦力所作的功。解：摩擦力和正壓力都是變力。正壓力不做功。三、機(jī)械能守恒定律若由質(zhì)點系的功能原理：則機(jī)械能守恒定律（lawofconservationofmechanicalenergy）：如果系統(tǒng)內(nèi)非保守內(nèi)力與外力做的功都為零，則系統(tǒng)內(nèi)各物體的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總值保持不變。四、能量守恒定律

對孤立系統(tǒng)：能量守恒定律（lawofconservationofenergy）：一個孤立系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時，該系統(tǒng)的所有能量的總和是不變的，能量只能從一種形式變化為另外一種形式，或從系統(tǒng)內(nèi)一個物體傳給另一個物體。它是自然界最普遍的定律之一。則由質(zhì)點系的功能原理：例2-14

起重機(jī)用鋼絲繩吊運(yùn)一質(zhì)量為m的物體，以速度v0做勻速下降，如圖所示。當(dāng)起重機(jī)突然剎車時，物體因慣性進(jìn)行下降，問使鋼絲繩再有多少微小的伸長？(設(shè)鋼絲繩的勁度系數(shù)為k，鋼絲繩的重力忽略不計。)這樣突然剎車后，鋼絲繩所受的最大拉力將有多大？研究物體、地球和鋼絲繩所組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。解：首先討論起重機(jī)突然停止的瞬時位置處的機(jī)械能，設(shè)物體因慣性繼續(xù)下降的微小距離為h，并以這最低位置作為重力勢能的零點，則有設(shè)這時鋼絲繩的伸長量為x0，則有再討論物體下降到最低位置時的機(jī)械能：機(jī)械能守恒：物體做勻速運(yùn)動時，鋼絲繩的伸長量x0滿足最低位置時相應(yīng)的伸長量x=x0+h是鋼絲繩的最大伸長量，所以鋼絲繩所受的最大拉力1.第一宇宙速度已知：地球半徑為R，質(zhì)量為mE，人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m。要使衛(wèi)星在距地面h高度繞地球做勻速圓周運(yùn)動，求其發(fā)射速度。設(shè)發(fā)射速度為v1，繞地球的運(yùn)動速度為v。機(jī)械能守恒：萬有引力提供向心力：例2-15

討論宇宙速度得第一宇宙速度：2.第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度。(1)脫離地球引力時，飛船的動能必須大于或等于零。(2)脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。由機(jī)械能守恒：得3.第三宇宙速度物體相對太陽的速度為物體脫離太陽引力所需的最小速度應(yīng)滿足地球相對太陽的速度：物體相對于地球的發(fā)射速度：從地面發(fā)射物體要飛出太陽系，既要克服地球引力，又要克服太陽引力，所以發(fā)射時物體的動能必須滿足第三宇宙速度：*五、黑洞任何物體都被它的引力所約束，不管用多大的速度都無法脫離，連光都跑不出來，稱為黑洞。對于質(zhì)量為mC的天體，若物體的逃逸速度為質(zhì)量為mC的黑洞的半徑：（史瓦西半徑）第一個黑洞的侯選者：X射線雙星天鵝座X-1太陽質(zhì)量RS=3km如果兩個或幾個物體在相遇中，物體之間的相互作用僅持續(xù)一個極為短暫的時間，這些現(xiàn)象就是碰撞（collision）。如：撞擊、打樁、鍛鐵等，以及微觀粒子間的非接觸相互作用過程即散射（scattering）等。討論兩球的對心碰撞或稱正碰撞（directimpact）：即碰撞前后兩球的速度在兩球的中心連線上。1.碰撞過程系統(tǒng)動量守恒：§2-6碰撞2.牛頓的碰撞定律：碰撞后兩球的分離速度(v2-v1)，與碰撞前兩球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由兩球的材料性質(zhì)決定。即恢復(fù)系數(shù)（coefficientofrestitution）：完全非彈性碰撞（perfectinelasticcollision）：

e=0v2=v1非彈性碰撞（inelasticcollision）：

0<e<1

完全彈性碰撞（perfectelasticcollision）：

e=1

v2-v1

=

v10-v20

完全彈性碰撞：機(jī)械能損失：完全彈性碰撞過程，系統(tǒng)的機(jī)械能（動能）也守恒。1.當(dāng)m1=m2時，則

質(zhì)量相等的兩個質(zhì)點在碰撞中交換彼此的速度。2.若v20=0，且m2>>m1，則

質(zhì)量很小的質(zhì)點與質(zhì)量很大的靜止質(zhì)點碰撞后，調(diào)轉(zhuǎn)運(yùn)動方向，而質(zhì)量很大的質(zhì)點幾乎保持不動。3.若v20=0，且m2<<m1，則

質(zhì)量很大的質(zhì)點與質(zhì)量很小的靜止質(zhì)點碰撞后速度幾乎不變，但質(zhì)量很小的質(zhì)點卻以近兩倍的速度運(yùn)動起來。討論非彈性碰撞：碰后兩球的速度為機(jī)械能損失：完全非彈性碰撞：損失的機(jī)械能：如打樁、打鐵時m1/m2越大，機(jī)械能損失越小。打鐵m1/m2越小，機(jī)械能損失越大；打樁例2-16

光滑桌面上，質(zhì)量為m1的小球以速度u

碰在質(zhì)量為m2的靜止小球上，u

與兩球的連心線成θ

角(稱為斜碰obliqueimpact)。設(shè)兩球表面光滑，它們相互撞擊力的方向沿著兩球的連心線，已知恢復(fù)系數(shù)為e，求碰撞后兩球的速度。x、y方向動量分別守恒：解：設(shè)碰后兩球速度分別為v1、v2

，方向如圖所示?；謴?fù)系數(shù)：兩個質(zhì)量相等的小球發(fā)生彈性斜碰：

m1=m2,e=1時，有聯(lián)立三個方程后求解，得討論例一質(zhì)量為m的小球從內(nèi)壁為半球形的容器邊緣無摩擦地滑下，容器質(zhì)量為M，內(nèi)壁半徑為R，放在光滑的水平面上，如圖所示。開始小球與容器都處于靜止?fàn)顟B(tài)，有人為了求出小球自容器邊緣B滑至底部A處時，容器對小球的作用力，列出了如下方程:

式中和分別為小球到達(dá)A處時小球和容器對地的速度。試指出上述方程中哪個是錯的，錯在何處？說明原因并改正之?！?/p>

第一式錯。因為小球沿球形內(nèi)壁滑下時，它相對于容器作圓周運(yùn)動，由于小球下滑，容器同時在桌面上滑動，小球相對桌面作曲線運(yùn)動，軌跡不是圓周。此人列的第一式中的R應(yīng)是小球的軌跡在A點時的曲率半徑，而不是圓的半徑R，此式錯了?！?/p>

正確解法是：選容器為參照系，小球相對容器作圓周運(yùn)動，在小球落至A處這一時刻，容器無豎直方向（法向）加速度，豎直方向慣性力等于零。因此引入質(zhì)點對參考點O的角動量（angularmomentum）：大?。悍较颍河沂致菪▌t確定一、角動量（動量矩）由于動量不能描述轉(zhuǎn)動問題。§2-7質(zhì)點的角動量和角動量守恒定律特例：做圓周運(yùn)動時，由于，質(zhì)點對圓心的角動量大小為，大小不變，方向不變。質(zhì)點對圓心O的角動量為常量。二、角動量守恒定律定義合力對參考點O的力矩：上式又寫為于是有質(zhì)點角動量定理或積分質(zhì)點角動量定理稱沖量矩——力矩對時間的積累作用。（積分形式）（微分形式）力矩的計算★

集中力（力集中在一點）方法一：大?。悍较颍号c相同元力矩總力矩方法二：★

分散力（力分散在一區(qū)域內(nèi)）例唱機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞著通過盤心的固定豎直軸轉(zhuǎn)動，唱片放上去后將受轉(zhuǎn)盤的摩擦力作用而隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動。設(shè)唱片可以看成是半徑為R的均勻圓盤，質(zhì)量為，唱片和轉(zhuǎn)盤之間的滑動摩擦系數(shù)為。問唱片受到的摩擦力矩有多大？解：★

注意摩擦力分布在整個圓盤上，因此第一步：方向：第二步：方向：沿軸——質(zhì)點角動量守恒定律角動量守恒定律

（lawofconservationofangularmomentum）OmvF·L（中心力）r（1）mvrsin=const.，（2）軌道在同一平面內(nèi)。1020

是普遍規(guī)律，宏觀、微觀都適用。30

有心力：運(yùn)動質(zhì)點所受的力總是通過一個固定點。力心特征：質(zhì)點對力心的角動量永遠(yuǎn)守恒！40質(zhì)點對某點的角動量守恒，對另一點不一定守恒。50

角動量守恒，不見得動量守恒。討論比較動量定理角動量定理

形式上完全相同，所以記憶上就可簡化。從動量定理變換到角動量定理，只需將相應(yīng)的量變換一下，名稱上改變一下。

表明小球?qū)A心的角動量保持不變。實驗：質(zhì)量為m的小球系在輕繩的一端，繩穿過一豎直的管子，一手握管，另一手執(zhí)繩。實驗發(fā)現(xiàn)：則解釋：作用在小球上的有心力對力心的力矩為零，故小球的角動量守恒。

角動量守恒定律可導(dǎo)出行星運(yùn)動的開普勒第二定律：rLvSm行星繞太陽的運(yùn)動：作用在行星上的萬有引力（有心力）對太陽（力心）的力矩為零，因此，行星在運(yùn)動過程中，對太陽的角動量保持不變。例錐擺的角動量對O點：合力矩不為零，角動量變化。對O點：合力矩為零，角動量大小、方向都不變。（合力不為零，動量改變！）OlO錐擺m▲

星云具有盤形結(jié)構(gòu)：pc—秒差距，1pc=3.0861016m旋轉(zhuǎn)的星云解：例2-17

發(fā)射宇宙飛船去考察一質(zhì)量m1半徑R的行星，當(dāng)飛船靜止于距行星中心4R處時，以速度發(fā)射一質(zhì)量為m2(m2遠(yuǎn)小于飛船質(zhì)量)的儀器,要使儀器恰好掠著行星的表面著陸，q角應(yīng)是多少?著陸滑行初速度v多大?有心力場中，運(yùn)用角動量守恒和(m1,m2)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律：例2-18當(dāng)質(zhì)子以初速v0通過質(zhì)量較大的原子核時，原子核可看作不動，質(zhì)子受到原子核斥力的作用引起了散射，它運(yùn)行的軌跡將是一雙