第9章 常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法《數(shù)值分析》

2023年2月1日1例如：時(shí)，第9章常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法9.1引言微分方程：包含自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的方程。例如：，求定解條件：求解微分方程時(shí)，所附加的條件——定解問(wèn)題。初始條件：給出積分曲線在初始時(shí)刻的值——初值問(wèn)題。例如：時(shí)，邊界條件：給出積分曲線在首末兩端的值——邊值問(wèn)題。常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)。偏微分方程：未知函數(shù)為多元函數(shù)。2023年2月1日2一階常微分方程的初值問(wèn)題：求解注意：——解函數(shù)、積分曲線；——微分函數(shù)。確定初值問(wèn)題的解存在而且唯一：李普希茲條件。，2023年2月1日3如果存在實(shí)數(shù)，使得稱關(guān)于滿足利普希茨條件，為的利普希茨常數(shù)。說(shuō)明：條件可理解為解函數(shù)無(wú)限接近時(shí)，微分函數(shù)也無(wú)限接近。定理1設(shè)在區(qū)域上連續(xù)，且關(guān)于滿足利普希茨條件，則對(duì)任意常微分方程初值問(wèn)題當(dāng)時(shí)存在唯一的連續(xù)可微解。2023年2月1日4關(guān)于方程的解對(duì)擾動(dòng)的敏感性，有結(jié)論：定理2設(shè)在區(qū)域上連續(xù)，且關(guān)于滿足利普希茨條件，設(shè)初值問(wèn)題，，其解為，則說(shuō)明：①定理表明解對(duì)初值的敏感性，即初值不同，解也有差異；②解得敏感性與微分函數(shù)有關(guān)：當(dāng)?shù)睦障４某?shù)較小時(shí)，解對(duì)初值相對(duì)不敏感；當(dāng)較大時(shí)，初值的擾動(dòng)會(huì)引起解劇烈變化—病態(tài)問(wèn)題；2023年2月1日5數(shù)值解法：在一系列離散點(diǎn)上，求解近似值?！安竭M(jìn)式”：順著節(jié)點(diǎn)排列順序，一步一步地向前推進(jìn)。步長(zhǎng)：常用等步長(zhǎng)，節(jié)點(diǎn)為單步法：計(jì)算時(shí)，只用到前一點(diǎn)的值步法：計(jì)算時(shí)，用到前面點(diǎn)的值2023年2月1日69.2簡(jiǎn)單的數(shù)值方法9.2.1歐拉法與后退歐拉法初值問(wèn)題：解的形式：是通過(guò)點(diǎn)的一條曲線——積分曲線。特點(diǎn)：積分曲線上每一點(diǎn)的切線斜率為2023年2月1日7尤拉方法：①將解區(qū)間離散化，選擇步長(zhǎng)，得到離散點(diǎn)：；②由切線，切線與交點(diǎn)：的近似值；③再由向前推進(jìn)到，得到折線，近似。2023年2月1日8任意折線：過(guò)點(diǎn)作直線，斜率，——?dú)W拉方法若初值已知，由此可逐次算出：2023年2月1日9P281例1求解初值問(wèn)題解：歐拉公式為，2023年2月1日10局部截?cái)嗾`差：設(shè)前一步值準(zhǔn)確，算下一步出現(xiàn)的誤差假設(shè)：泰勒展開函數(shù)：局部截?cái)嗾`差：2023年2月1日11后退的歐拉法：離散化：求解微分方程的關(guān)鍵，消除導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，

基本方法之一是用差商替代導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。例如：——向前的歐拉公式（顯式）2023年2月1日12同理：——后退的歐拉公式（隱式）注意：①顯式計(jì)算方便，隱式穩(wěn)定性較好；②上式隱含，采用迭代法求解。2023年2月1日13歐拉公式的另一種理解：將常微分方程改寫對(duì)微分方程從到積分由積分左矩形公式得再以代替，以代替——向前的歐拉公式2023年2月1日14對(duì)微分方程從到積分由積分右矩形公式得再以代替，以代替——后退的歐拉公式同理：2023年2月1日15迭代法求解：后退的歐拉公式——逐步顯示①先用尤拉格式，求出初值：②再將結(jié)果代入微分函數(shù)：③反復(fù)迭代，直到收斂：2023年2月1日16討論迭代的收斂性：因函數(shù)對(duì)滿足利普希茨條件比較歐拉的后退公式和其次迭代結(jié)果兩式相減得由此可知：只要迭代法就收斂到解。2023年2月1日17可以證明：局部截?cái)嗾`差后退的歐拉公式向前的歐拉公式因此：平均可減少誤差——梯形格式。（注意：誤差不可能消除，兩公式不同。）2023年2月1日189.2.2梯形方法向前歐拉方法：后退歐拉方法：梯形方法：兩者平均注意：梯形公式可有效減小誤差，計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)際值。（圖示表示梯形法計(jì)算結(jié)果）2023年2月1日19用迭代法求解：梯形法（用向前公式求初值）（即將上次結(jié)果代入）反復(fù)迭代，直到兩次迭代結(jié)果達(dá)到誤差要求。問(wèn)題：每個(gè)節(jié)點(diǎn)，都需迭代計(jì)算，計(jì)算量太大。2023年2月1日20分析迭代過(guò)程的收斂性：比較梯形公式和其迭代公式，并相減兩式由利普希茨條件，有若選取充分小，使得，則時(shí)有2023年2月1日219.2.3改進(jìn)歐拉公式①先用向前歐拉公式，求得一個(gè)初步的近似值預(yù)測(cè)：②再用梯形公式，將結(jié)果校正一次校正：平均化形式：2023年2月1日22P284例2用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問(wèn)題：解：2023年2月1日239.2.4單步法的局部截?cái)嗾`差與階初值問(wèn)題單步法求解的一般形式為（其中多元函數(shù)與有關(guān)）當(dāng)含有時(shí)，方法是隱式的，否則為顯式方法。顯式單步法可表示為稱為增量函數(shù)，例如對(duì)歐拉法有2023年2月1日24定義1設(shè)是初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解，稱為顯式單步法的局部截?cái)嗾`差。注意：上述中假設(shè)在前各步?jīng)]有誤差，故誤差是局部的。當(dāng)時(shí)，計(jì)算一步，則有局部截?cái)嗾`差：是計(jì)算一步的誤差，也是公式誤差。2023年2月1日25如果將函數(shù)在處泰勒展開歐拉法的局部截?cái)嗾`差為這里稱為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)。顯然2023年2月1日26定義2設(shè)是初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解，若存在最大整數(shù)使顯式單步法的局部截?cái)嗾`差滿足則稱該方法具有階精度。若將局部截?cái)嗾`差展開，寫成則稱為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)。2023年2月1日27以上定義對(duì)隱式單步法也適用。同樣將函數(shù)在處泰勒展開后退歐拉法的局部截?cái)嗾`差為這里是一階方法，局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為2023年2月1日28同樣對(duì)梯形公式局部截?cái)嗾`差為故梯形法是二階方法，局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為2023年2月1日299.3龍格-庫(kù)塔方法9.3.1顯式龍格-庫(kù)塔法的一般形式對(duì)歐拉法歐拉法為階，其增量函數(shù)為對(duì)改進(jìn)的歐拉法其增量函數(shù)為比起歐拉法，增加了計(jì)算一個(gè)右函數(shù)的值，有階精度。2023年2月1日30提高公式階數(shù)：增加增量函數(shù)中的值對(duì)于一階常微分方程，等價(jià)的積分形式提高公式階數(shù)：必須提高數(shù)值求積精度，需增加求積節(jié)點(diǎn)說(shuō)明：①求積節(jié)點(diǎn)越多，積分精度越高，求解公式階數(shù)越大②增量函數(shù)注意：——級(jí)數(shù)，——階數(shù)，兩者不同2023年2月1日31對(duì)于二級(jí)顯式龍格-庫(kù)塔法：考察區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)用、兩點(diǎn)的函數(shù)值、：構(gòu)造增量函數(shù)2023年2月1日32對(duì)于可用歐拉公式預(yù)測(cè)：因此有二級(jí)顯式龍格-庫(kù)塔法：2023年2月1日33同理，三級(jí)顯式龍格-庫(kù)塔法：注意：需用、的線性組合計(jì)算2023年2月1日34

級(jí)顯式龍格-庫(kù)塔法：R-K方法這里均為常數(shù)時(shí)為歐拉法，階數(shù)2023年2月1日359.3.2二階顯式

R-K法

時(shí)，R-K方法計(jì)算公式：這里均為待定常數(shù)期望：適當(dāng)選取系數(shù)，使公式階數(shù)盡量提高2023年2月1日36局部截?cái)嗾`差為這里將函數(shù)在處泰勒展開注意是二元函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)應(yīng)為全導(dǎo)數(shù)。2023年2月1日372023年2月1日38將結(jié)果代入局部截?cái)嗾`差：2023年2月1日39要使公式具有階，必有即非線性方程組的解不是唯一的?？闪?023年2月1日40若?。?，——改進(jìn)的歐拉法若?。?，，中點(diǎn)公式：相當(dāng)于數(shù)值積分的中矩形公式2023年2月1日419.3.3三階與四階顯式

R-K方法要得到三階顯式R-K

方法，必須取均為待定參數(shù)2023年2月1日42公式的局部截?cái)嗾`差為將按二元函數(shù)泰勒展開，使這是8個(gè)未知量、6個(gè)方程的非線性方程組，解不是唯一的。2023年2月1日43常見(jiàn)的公式之一：庫(kù)塔三階方法2023年2月1日44經(jīng)典公式之一：四階龍格-庫(kù)塔方法可以證明：四階龍格-庫(kù)塔方法的截?cái)嗾`差為2023年2月1日45P289例3設(shè)取步長(zhǎng)，從到用四階龍格-庫(kù)塔方法求解初值問(wèn)題：解：公式為2023年2月1日46計(jì)算結(jié)果：注意：這里步長(zhǎng)增大為，

計(jì)算精度比改進(jìn)的歐拉法要高。2023年2月1日479.3.4變步長(zhǎng)的龍格-庫(kù)塔方法步長(zhǎng)減小，局部截?cái)嗾`差減小，但：①求解范圍內(nèi)的計(jì)算步數(shù)增加，計(jì)算量增大；②步數(shù)增加會(huì)導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累。選擇步長(zhǎng)時(shí)，需要考慮的兩個(gè)問(wèn)題：①怎樣衡量和檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的精度？②如何依據(jù)所獲得的精度處理步長(zhǎng)？2023年2月1日48考察經(jīng)典的四階龍格-庫(kù)塔公式