第三章 剛體力學(xué)

剛體：受力時(shí)不改變形狀和體積的物體，是理想模型。特點(diǎn)：(1)是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系(2)內(nèi)部任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變.第三章剛體力學(xué)物體運(yùn)動(dòng)問題的影響因素（物體的性質(zhì)）（1）大小（2）形狀（3）質(zhì)量(4)占有空間位置（5）變形一、剛體§3.1剛體的運(yùn)動(dòng)

二、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)

平動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，在剛體中任作一條直線，如果各個(gè)時(shí)刻該直線始終保持平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平動(dòng)。取參考點(diǎn)O

結(jié)論：剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)具有相同的速度、加速度及相同的軌跡。可用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代替剛體的運(yùn)動(dòng)。O轉(zhuǎn)軸的方位隨時(shí)間變化。剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸固定于參考系的轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)一般可分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。xOp規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述(1)角坐標(biāo)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(2)角位移

=(t+

t)-(t)

=

(t)三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

xOpz逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，Δ

>0順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，Δ<0(rad)(rad)(3)角速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)>0，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)<0.每分轉(zhuǎn)n轉(zhuǎn)

角速度(4)角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)平面減速加速O(rad/s)(rad/s2)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)

=常量與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式相對(duì)應(yīng).(5)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程勻速轉(zhuǎn)動(dòng)

=常量(6)角量與線量的關(guān)系線量——質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的v、a

角量——描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)整體運(yùn)動(dòng)的注:r：質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離.弧長線速度切向加速度法向加速度r

sOxy一、力對(duì)軸的力矩力的大小？力的作用點(diǎn)？表征力對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)作用,稱為力矩.§3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理

力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)大小:方向：由右手螺旋關(guān)系確定,垂直于和確定的平面.力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)不能改變剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)1）力的作用線通過轉(zhuǎn)軸2）力平行軸或與軸重合【例】有一大型水壩高110m、長1000m，水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示。求水作用在大壩上的力，以及這個(gè)力對(duì)通過大壩基點(diǎn)Q且與x軸平行的力矩。解設(shè)水深h，壩長L，在壩面上取面積元dA=Ldy作用在此面積元上的力dF=pdA=pLdyF=5.91×1010N

dF=pdA=pLdy

令大氣壓為p0

，則

p=p0

+ρg(h?y)dF=[p0

+ρg(h?y)]Ldy代入數(shù)據(jù)，得【例】有一圓盤質(zhì)量為m，均勻分布，圓盤半徑為R可繞過盤中心的光滑豎直軸在水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ，求圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)后受的摩擦力矩。解：摩擦力距在圓盤的不同R部位是不相同的，在圓盤上取一半徑r—r+dr的圓環(huán)圓環(huán)質(zhì)量：ordrRz二、剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理mi把剛體看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系可證明：結(jié)論：剛體角加速度與它受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量單位:kgm2轉(zhuǎn)動(dòng)定理說明:(1)

矢量式為(2)

為瞬時(shí)關(guān)系(3)與平動(dòng)中

地位相同(4)

為合外力矩=各個(gè)外力力矩的矢量和。三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(1)意義：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。剛體質(zhì)量分布(同m,J中空>J實(shí)).剛體的總質(zhì)量(同分布,M>m,JM>Jm).轉(zhuǎn)軸的位置(2)影響J的因素:連續(xù)分布(3)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：離散分布【例】如圖所示，在不計(jì)質(zhì)量的細(xì)桿組成的正三角形的頂角上，各固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球，三角形邊長為l。求：⑴系統(tǒng)對(duì)過C點(diǎn)，且與三角形平面垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；⑵系統(tǒng)對(duì)過A點(diǎn)，且與三角形平面垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；⑶若A處質(zhì)點(diǎn)也固定在B處，⑵的結(jié)果如何？討論：⑴J與質(zhì)量有關(guān)（見⑴、⑵、⑶結(jié)果）⑵J與軸的位置有關(guān)（比較⑴、⑵結(jié)果）⑶J與剛體質(zhì)量分布有關(guān)（比較⑵、⑶結(jié)果）（1）（2）（3）【例】求一質(zhì)量為m,長為l的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直.(2)軸通過棒的一端并與棒垂直.解:dm對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:在棒上取質(zhì)量元,長為dx,離軸O

為x.棒的線密度為:(1)解為:(2)解為:(原點(diǎn)O在棒的左端點(diǎn))【例】一質(zhì)量為m,半徑為R的均勻圓盤,求通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解：ordrR取圓環(huán)為質(zhì)量元質(zhì)量面密度：幾種典型形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓筒圓環(huán)ωRmO′

O圓柱ωR2R1細(xì)圓棒ωR圓球球殼ωR平行軸定理若剛體對(duì)過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc,則剛體對(duì)與該軸相距為d的平行軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz是:mRJzJc垂直于桿的軸通過桿的中心垂直于桿的軸通過桿的端點(diǎn)垂直于桿的軸通過桿的1/4處勻質(zhì)直桿對(duì)垂直于桿的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量掛鐘擺錘的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(桿長為l,質(zhì)量為m1,擺錘半徑為R,質(zhì)量為m2):掛在光滑釘子上的勻質(zhì)圓環(huán)擺動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(圓環(huán)質(zhì)量為m,半徑為R):三、轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用兩類問題：一類是已知力矩求轉(zhuǎn)動(dòng)；二類是已知轉(zhuǎn)動(dòng)求力矩。（1）選取研究對(duì)象，隔離之（2）分析隔離體受力和力矩（3）寫出微分方程（4）根據(jù)題意找出所選各隔離體之間的聯(lián)系（5）求解【例】一個(gè)質(zhì)量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián),繩子質(zhì)量可以忽略,它與定滑輪之間無滑動(dòng).假設(shè)定滑輪的質(zhì)量為m0,半徑為R,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為m0R2/2,滑輪軸光滑.試求該物體由靜止開始下落的過程中,下落速度與時(shí)間的關(guān)系.解:由牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律:對(duì)m:(1)對(duì)m0:(2)(3)聯(lián)立(1),(2),(3)解得:恒矢量,與時(shí)間無關(guān).由初始條件,得【例】一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端，繩繞在一滑輪的軸上。軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為r，整個(gè)裝置架在光滑的固定軸承上。當(dāng)物體從靜止釋放后，在時(shí)間t內(nèi)下降了一段距離S，試求整個(gè)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（用m，r，t和S表示）rmo【思考】組合輪可以繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=9mr2/2。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩下端各懸掛質(zhì)量為m的物體A和B，這一系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng),繩與盤無相對(duì)滑動(dòng)且長度不變。已知小圓盤的半徑為r，質(zhì)量為m；大圓盤的半徑r’=2r，質(zhì)量m’=2m

。求：組合輪的角加速度的大小。解：【例】輕繩經(jīng)過水平光滑桌面上的定滑輪C連接兩物體A和B，A、B質(zhì)量分別為mA、mB，滑輪視為圓盤，其質(zhì)量為mC半徑為R，AC水平并與軸垂直，繩與滑輪無相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)軸處摩擦，求B的加速度，AC、BC間繩的張力大小。C不計(jì)mc時(shí)，解:平行軸定理(1)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:OBAC質(zhì)心【例】一質(zhì)量為m,長為l的均質(zhì)細(xì)桿,轉(zhuǎn)軸在O點(diǎn),距A端l/3.今使棒從靜止開始由水平位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),求:(1)水平位置的角速度和角加速度.

(2)垂直位置時(shí)的角速度和角加速度.(3)棒在豎直位置時(shí),棒的兩端和中點(diǎn)的速度和加速度.

(2)垂直位置時(shí)的角速度和角加速度.

OBAC質(zhì)心(3)棒在豎直位置時(shí),棒的兩端和中點(diǎn)的速度和加速度.OBAC質(zhì)心【例】

一半徑為R,質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上.若它的初始角速度為0,繞中心O旋轉(zhuǎn),問經(jīng)過多長時(shí)間圓盤才停止.(設(shè)摩擦系數(shù)為)oRdrr解：【例】設(shè)電風(fēng)扇的電機(jī)力矩恒定為M，風(fēng)葉所受空氣阻力矩的大小為Mf=Kω，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。求（1）通電后t時(shí)刻的角速度ω；(2)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度；（3）穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)斷開電源，風(fēng)葉還能繼續(xù)轉(zhuǎn)多少角度？§3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功與能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能動(dòng)能:剛體的總動(dòng)能:miz剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能等于質(zhì)量集中于質(zhì)心的重力勢(shì)能.質(zhì)心高度hc力矩的功和功率力矩:力矩的總功:P力矩的元功:說明：1）本質(zhì)上仍然是力的功2）當(dāng)力矩為常量時(shí)，力矩的功為剛體中P點(diǎn)在力的作用下位移,則力元功力矩功率:4）合外力矩的功:3）內(nèi)力矩的功=05）力矩的功是力矩對(duì)空間的累積效應(yīng)當(dāng)M與ω同向，P為正；當(dāng)M與ω反向，P為負(fù)類比：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理只有保守內(nèi)力做功剛體機(jī)械能守恒微分形式積分形式【例】

一質(zhì)量為M,半徑R的圓盤,盤上繞有細(xì)繩,一端掛有質(zhì)量為m的物體.問物體由靜止下落高度h時(shí),其速度為多大？mgTMm解1:解得：由動(dòng)能定理:將地球、圓盤、物體作為一個(gè)系統(tǒng).解2:機(jī)械能守恒mgTMm解得：【例】

滑塊質(zhì)量為m,滑輪半徑為R,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,彈簧勁度系數(shù)為k,斜面角度為.不計(jì)摩擦.當(dāng)彈簧無形變時(shí)將滑塊由靜止釋放.求(1)滑塊下滑x時(shí)的加速度;(2)下滑的最大距離.解:

對(duì)于滑塊：可得:對(duì)于滑輪:(1)根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理OxRmk沿斜面建立坐標(biāo),以A的初始位置為原點(diǎn).得OxRmk(2)下滑的最大距離.設(shè)滑塊由靜止釋放沿斜面下滑的最大距離為S,則設(shè)原點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn).以整體和地球?yàn)橄到y(tǒng),其機(jī)械能守恒.1.5m【例】一輕彈簧與一勻質(zhì)細(xì)桿l=1m相連，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)k=40N/m，細(xì)桿質(zhì)量為m=3kg。桿可繞c軸無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。若當(dāng)θ=0°時(shí)彈簧為原長，那么細(xì)桿在θ=0°的位置上至少具有多大的角速度才能轉(zhuǎn)到水平位置？Ep=0解：取彈簧、桿、地為系統(tǒng)，由題意知系統(tǒng)機(jī)械能守恒?！纠炕嗈D(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.01kgm2，半徑為7cm，物體質(zhì)量為5kg，由一繩與倔強(qiáng)系數(shù)k=200N/m的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)，求：（1）當(dāng)繩拉直，彈簧無伸長時(shí)，使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體速度達(dá)到最大值的位置及最大速率?！?.4角動(dòng)量

角動(dòng)量守恒定律設(shè):t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位矢質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于參考原點(diǎn)O的角動(dòng)量定義為:Kg·m2·s-1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量大?。篽方向：

矢經(jīng)和動(dòng)量的矢積方向垂直于和組成的平面，指向由右手螺旋法則確定角動(dòng)量與參考點(diǎn)O的位置有關(guān).注意:根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的定義兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

所以結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩，這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。注：是相對(duì)于同一參考點(diǎn)而言的!結(jié)論：相對(duì)于某一參考點(diǎn)，如果質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變，這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律。說明：2）質(zhì)點(diǎn)在有心力所用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，其對(duì)力心的角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒定律當(dāng)

時(shí)，有，有兩種情況：1）合力

，外力矩

，角動(dòng)量守恒；m太陽行星角動(dòng)量守恒注意：動(dòng)量守恒與角動(dòng)量守恒是相互獨(dú)立的定律如行星運(yùn)動(dòng)動(dòng)量不守恒角動(dòng)量守恒在近日點(diǎn)轉(zhuǎn)得快，在遠(yuǎn)日點(diǎn)轉(zhuǎn)得慢?！纠枯p繩一端系著質(zhì)量為

m

的質(zhì)點(diǎn)，另一端穿過光滑水平桌面上的小孔

O用力

拉著，如圖所示。質(zhì)點(diǎn)原來以速率

v

作半徑為

r

的圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

拉動(dòng)繩子向正下方移動(dòng)r/2時(shí)，（1）質(zhì)點(diǎn)的速度v=?（2）此過程中所作的功。（1）轉(zhuǎn)動(dòng)中，

解：有得（2）質(zhì)點(diǎn)的速度增加了，動(dòng)能也增加了。動(dòng)能的增加，是由于力做了功。剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量miz結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量，等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。注意：當(dāng)表述剛體的角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對(duì)哪一軸的角動(dòng)量。由轉(zhuǎn)動(dòng)定律:稱為dt時(shí)間內(nèi)剛體所受合外力矩的沖量矩.微分形式剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理結(jié)論：剛體在某段時(shí)間內(nèi)所受合外力矩的沖量矩等于該段時(shí)間內(nèi)剛體角動(dòng)量的增量.積分形式注意：角動(dòng)量和合外力矩都是相對(duì)于同一軸而言的。剛體的角動(dòng)量守恒定律

結(jié)論:對(duì)某一轉(zhuǎn)軸而言，剛體所受合外力矩為零,則剛體的角動(dòng)量保持不變.說明：1）角動(dòng)量守恒既適用于剛體也適用于非剛體。對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體來說，對(duì)于非剛體來說，角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則Jw變大，乘積保持不變，Jw變大則Jw變小。收臂大小Jw

用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩張臂J大小w花樣滑冰中常見的例子角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則Jw變大，乘積保持不變，Jw變大則Jw變小。收臂大小Iw

用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩張臂I大小w花樣滑冰收臂大小Iw張臂Jw大小先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來收臂大小Jw2）角動(dòng)量守恒既適用于宏觀、低速領(lǐng)域也適用于微觀、高速領(lǐng)域。3）當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)物體由幾個(gè)剛體組成時(shí)，若整個(gè)系統(tǒng)所受合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，即有4）對(duì)由剛體和質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng),若整個(gè)系統(tǒng)所受對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零,則整個(gè)物體系對(duì)該轉(zhuǎn)軸的總角動(dòng)量守恒.共軸系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒共軸系統(tǒng)若0JMwS外則LSi恒矢量Sii輪、轉(zhuǎn)臺(tái)與人系統(tǒng)J輪J人臺(tái)初態(tài)全靜人沿某一轉(zhuǎn)向撥動(dòng)輪子w輪w人臺(tái)末態(tài)人臺(tái)反向轉(zhuǎn)動(dòng)直升飛機(jī)防旋措施直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施用兩個(gè)對(duì)轉(zhuǎn)的頂漿（支奴干CH47)165用尾漿（美洲豹SA300）（海豚Ⅱ）守恒例題一wA已知例BJA、B兩輪共軸A以wA、B以ωB同向轉(zhuǎn)動(dòng)求兩輪嚙合后wAB一起轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度解：wBAJ討論：假若兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，則ω=？假設(shè)為ωA正，則有：【例】已知圓盤的質(zhì)量M、半徑R、及初角速度ω0。子彈m,以v0射入盤邊緣，求此后盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。對(duì)M和m組成的系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒，有：解：【例】一半徑為R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的圓柱體可以繞水平固定的中心軸o無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。起初圓柱體靜止，一質(zhì)量為M的木塊以速度v1在光滑平面上向右滑動(dòng)，并擦過圓柱體上表面躍上另一同高度的光滑平面。設(shè)它和圓柱體脫離接觸以前，它們之間無相對(duì)滑動(dòng)，試求木塊的最后速率v2。

【例】長