初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第14章 共點(diǎn)線與共線點(diǎn)試題 新人教版

第14章

共線共點(diǎn)§14.1梅涅斯理14.1.1★★設(shè)等腰直角三角形90中D在BCAD證AEBCED.（用梅氏定理證明）BFAB解析如與BE交F梅氏定理，F(xiàn)ECE又，△∽△ECD，CEDAEB.FD

，14.1.2★設(shè)D銳角三角形ABC的BC的一點(diǎn)，

BD2，是的一點(diǎn)，，AD與DC3EC3相于點(diǎn)F，

BFFD

.解析

由梅涅勞斯定理

DBCEEACD23，得，，故FDACDBFD54FE27，.FD3所以

BF35.FDAEFBD14.1.3★證明：銳角三角形一條線的垂足在另兩邊及另兩條高線的身影在同一直線

F

Q

H

R

S

D

解析設(shè)的三條高線為、、CFD在、BECF、CA的身影分別為、、、欲證、Q、、S共線，先P、、R共線.1

，移項(xiàng)因式分解，得由梅氏逆定理，知該結(jié)論為真，即△BDH.，移項(xiàng)因式分解，得

HQBPADHDBDADHD，后一步是由于RHQBHDCDCDBD同理，Q、R共，故、、、S四點(diǎn)共.14.1.4★已知是△的，D在內(nèi)且BD，CD，作DE與AB直，DF與AC垂直，E、分是垂足，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，交延線于，.解析如，設(shè)，由梅氏定理AEFBDCG4AE.xEB又由身影定理，

CFDCAE14，，于是得x.FAEBBDx14.1.5★★如圖，已知銳角三角ABCAD是高，D在、AC上垂足分別是N、M，NM延長(zhǎng)后交BC長(zhǎng)線于，AD，cotCAD.ANMBDE解析由知，AB，故BDCD.cot

ADAD1.CDBDBD由梅氏定理及身影定理，有

BEAN，ECAM

CMANADBDBD，，，AMBD1111BDBD

1111于，BDBDBD是所求答案14.1.6★證明，△兩角平線分別交對(duì)邊于E、F而的角平分線交直線于D求證：D、E、共.解析如，既然外角平分線BC直相交，說(shuō)明ABAC，防設(shè)AB，D在延線上.2

F

C

D由角平分線性質(zhì)知BDABBCAC，DCABBC故由梅氏逆定理知D、、F共.14.1.7★★已知不等邊三角形，、、的分線分別交對(duì)邊于A

、

、

，A垂線與直線BC于

，同理得到B

、C

，證明：A

、

、

共線.A'A''解析如圖，不妨設(shè)AA

的中垂線

與延線相交，連結(jié)

，則

，于是

AA

AC

A，因此ACA

∽△BAA

，于是.ACBACBAAC同理，，是CCBA

，梅氏逆定理，知A

、

、C

共線.14.1.8★★已知：D△ABC邊BC一點(diǎn)，G是AD一點(diǎn)，、分別在、AB上，GB與DF于MDE與CG交N.證：若EF，∥.解析如，由梅氏定理，F(xiàn)

M

D

ADADDGBMFAGMBF.BMNC

.于是由于∥BC，

CEGN，于是，∥BC.14.1.9★已知的面積為1，、E在BC上且∶∶EC∶∶1，在上，且AG∶∶，、AE分與交點(diǎn)F、H，求四邊形DEHF的面.3

2形2形F

HDE解析這題目基本且典型，顯有

，而

eq\o\ac(△,)

1，于是下求S由梅氏定理，有

CBDFDFAF12，入已知數(shù)值得4，是，從而.BDGC515AD17CBEHAG43EH54S12416又由，即，，而，是eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)，故BEHA9171.5110214.1.10已不等邊銳角角形，BQ是，且位置如圖所，與位線交于點(diǎn)E，O、H分是△的心與垂心，求證：.M

O

NQHDF解析一熟知事實(shí)是BC延長(zhǎng)交線BC于點(diǎn)，則有OAH，延長(zhǎng)交點(diǎn)D，是只需證明△FED∽△即只需證DFAH.AO由于

AHDFA，題結(jié)為，下面計(jì)算DF與EF.AO由梅氏定理知

于是ACDFDFABAAB2ENEQ因EQN，正弦定理有

.ENB，上式為.證畢sinCAB14.1.11★如已知、是的兩條切線，PQR為的一條割線交AB于，在上QF，QF交于，證：4

PQ

BE

SAF解析易P、、S為和點(diǎn)列，于是PRSR.見(jiàn)題12.3.13由梅氏定理，RAFEPRQS1EQSR

，因此QE.14.1.12★已AOB為O的直徑弦弦與交MOM求：DN平分BC.解析如，無(wú)非要證明S

△

eq\o\ac(△,)

，或證明CNNB，證明

CNBCNBCD設(shè)與交于K，與CD交J.由氏定理，

BACKKB，，AOKBCK2

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

，即AB得

CNBCBC，畢BNMKOD14.1.13★★證明牛頓定理：設(shè)△ABC中，D、E分在AB、，CD、BE交于F，則DE、AF、中點(diǎn)在一條直線上（牛頓線）.

D

F

Z

Y

解析設(shè)EF、CE、CF中點(diǎn)分別為、、Z，易由中位線知PX、共，Q、X、Y共線，Y、共.且XQCADFRZPXAECD5

（后者是AB截△ECF所）故梅氏逆定理，知、、共.評(píng)注此亦可由面積.14.1.14★★★設(shè)等腰直線三角形中90三角形內(nèi)一點(diǎn)CD并延長(zhǎng)至E使是中直CG分別與、AD于求：GMN的中點(diǎn).解析如圖，延長(zhǎng)AE、，別交直線于P、Q設(shè)PB，BQ，CQ，由梅氏定PCQDQDAEBQb理，有，而DADAEPABPBaba，或.bcMND

，故

aaaab，即，ccca

bC又由梅氏定理，

BC，此即NANQBQ

，所以NBAP，是

MGAG.NG14.1.15★★★設(shè)△ABC的的中點(diǎn)N，D是射線上點(diǎn)滿足BC，P是射線DN上點(diǎn)，且與A邊BC的同側(cè)，滿足，與AB交E，與交于，BC求.TC

T

DADCTBN解析設(shè)長(zhǎng)分別為bc梅氏定理，于ACBNNA，DCTBCD，TBADb，TCCDaaBC.TCa接下去處理

EAEB

BCaa.延長(zhǎng)BP與CA交于Q，，故，QD(a)，CAbAD，由梅氏定理，

QDANBP，得DANBPQ

DACQ

，故平，6

EDDGHDCDEDIDeq\o\ac(△,)AEACEDDGHDCDEDIDeq\o\ac(△,).故答案2EBBC14.1.16★★在△中為中點(diǎn)，以BC為徑的圓交AC、CF于一點(diǎn)D.分別過(guò)點(diǎn)C、作的線l和l證明：l、l和線共點(diǎn).解析如設(shè)l交線BD于點(diǎn)，l與線BD交于點(diǎn)HBA

F

E

ID

O

CH()由條件，ABC90OBC為徑，可知l∥AB，是CDDG.DA

①為證l、l與線共點(diǎn)，只需明與H重.我下證：

GB.GDHD利用GCD，知△BCG∽CDG，

BCCG，于是.同理可證CDDGCGCDBHEBBG.于是eq\o\ac(△,)，中I為與的點(diǎn)對(duì)ABD考割線，用梅涅勞斯定理，可知BG從而.CD

DIBI，合FA，可知CDIDCD

，再由①可知

CDDG，綜合上式，得.題獲證ACBGHDGD§14.2塞瓦理14.2.1★已知△，外外作長(zhǎng)方形ABDE、、BCHK又設(shè)直線與直線交P，直線DE與線KH交于Q，線KH與線交R，BQ點(diǎn).解析如，設(shè)PA延后交于

，同理定義

、C

（圖中未畫出）PE

GDBQK

AA'

FCHR7

連結(jié)PB、PC，

BASASS矩形

，SACCB同理，矩，BSSB矩、均△PQR內(nèi)，故平行不.

，AP、、CR共點(diǎn)或平行，由于A、14.2.2★已知內(nèi)有一點(diǎn)P過(guò)作直線l與AP關(guān)于的平分線對(duì)稱樣點(diǎn)、分作直線l、l，證：l、l、l交一.解析

如圖，設(shè)l與直線BC交

，則CA

SS

ABABSsinAC

，同理，

SAC，S

SS

.APBA'C于是

BACBABC

，塞瓦逆定理，即知l、l、l共點(diǎn).這個(gè)公共點(diǎn)P

，稱為P的角共軛.14.2.3★已知，向外作相似的腰三角eq\o\ac(△,形)BCD、△ACE及△ABF，中、、頂角.求證：、BE、CF于一點(diǎn)解析如不妨設(shè)與交A

同定義

、C

.設(shè)AAF

E

B'B

A'

CDACSSSsin(BCACsin(Aeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)由塞瓦逆定理得BCACsin(sin(ABCB結(jié)論.14.2.4★★★已知：中，ADBE、CF是平分線，則僅DF.8

K

HF

D

解析當(dāng)BAC至一點(diǎn)KF至AK距等于F至AD距離；又CF分ACB，F(xiàn)至AK離等于F至BC離，因此可知DF分，同理平分ADC，DF.反之DEDFA∥DFDE延長(zhǎng)線分別交于GH由瓦定理知AGCD于是DAFDBADG即DF平于是過(guò)F作、AD、BC垂線，不難得出AF分，是BAC14.2.5★★已知中別在、上，DE∥，BE、交F，延后交于S，SD與BE交于G，與交H，AGAH延后分別交BC于M、P，∶∶PC.AD

EG

F

HBMS解析由瓦定理易知BSCS，由梅氏定理，BCPHAD，CPHABDSCSPEC

P

C兩式相除，注意

AD11，BC，得CP.易CP，理BM故BD3BM∶MP∶∶∶1.14.2.6★★如圖，AM是角△ABC的角平分線，于點(diǎn)E，MFAC于F，CE與交于點(diǎn)P，證：APBC.AD

EG

F

HBM

P

C解析作BC，知△∽BDA，△MCF△ACD，而有

BEBMCD，，于EDABMC是

BECDBM.BDCF9

又由，由塞瓦逆定理知AD、、CE點(diǎn)于是AP14.2.7★★銳角，外作△ABE和△，使得BE，ACCF，CAF，BF、交于點(diǎn)，證：.

M

N

F

D

C解析為明結(jié)論，我們干脆作△ABC的高，法證明AD、BF與CE共.由EACFAB及

AE知ABAC

.設(shè)與于點(diǎn)，與交點(diǎn)N則有AMBDBMCDABBeq\o\ac(△,)AC

eq\o\ac(△,)

ACCBCABCF.ACBE于是由塞瓦逆定理，結(jié)論成立，最后一步用到的仍是△ABE△ACF.14.2.8★△ABC，D、、F分在邊BC、、AB上且AD、BE、共點(diǎn)于P.D

也在上，且DD

與BC的點(diǎn)重合，同理定義E

、

.求證：AD

、BE

、CF

也共點(diǎn)BD解析由瓦定理和逆定理，注到等立得結(jié).D評(píng)注新點(diǎn)與點(diǎn)P互等邊共軛點(diǎn).14.2.9★★★設(shè)△的、上別有點(diǎn)、且AD共△的邊DE、EF、FD上別有點(diǎn)Z、、，DX、、也點(diǎn)，求證：AX、BY、CZ共.解析如，又設(shè)AX長(zhǎng)后與交

（為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，圖中未圖出），理定義

、Z

.于BXX

Seq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

ABAFACAE

S

eq\o\ac(△,)

ABAECY，理ACAF

BCYDCDEZ，ABBDFY

，由條件及塞瓦定理，得

BXXAY

，是、BY、CZ共.AF

X

E

ZB

D10

△△14.2.10★一三角形的一上的高第二邊上的中線與第三邊上的角平分線交于一點(diǎn)這個(gè)角形一定是正三角形嗎？△△解析不定不設(shè)△中AD、、CF別為高、中線與角平分線，于是CE，三線交于一點(diǎn)，則由塞瓦定理（此處設(shè)，BC，CA有

BDBFBCa.CDAC而由BDCD，

CD

AC

，知

aa

，于是有，

ab

.例如令a，，c.14.2.11★★如，AB、AC兩條切線，APQ與是意兩條割線求證：、MQ與交于一點(diǎn)AP

MBQ

CN解析本無(wú)疑是要運(yùn)用塞瓦逆理，比如在△，知只需證SS△S△△△由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)知，上式等價(jià)于

PQQC化簡(jiǎn)，得.PCBQ由∽△eq\o\ac(△,、)eq\o\ac(△,)∽ANQ及∽得

MCAC，，，PMAP于是

QNAC.PM14.2.14★設(shè)的切圓分別與BC、AB切點(diǎn)D、E，EF于M，BM與FD交于點(diǎn)，CM與DE交點(diǎn)，求證：MD、FQ與共點(diǎn).F

M

D

解析易DQPD11

eq\o\ac(△,)

MDCFM，由塞瓦逆定理，知三線共.BDMDBCEME評(píng)注此MDEF這條件多余，但可用來(lái)證明平分BMC明如下：設(shè)△中角為、C于易知

1FMC，故22ME

sin

BF又由BCE1A，∽EMC于是命題得.214.2.13★★已知凸四邊形ABCDBAC是上一點(diǎn)長(zhǎng)DP別交CD、CB于R，證：RAC解析如，分別作∥，CN∥AD，M、R、A共，N、、共線，設(shè)BD與AC交于.

M

J

CQ

ND由塞瓦定理及角平分線性質(zhì)定理，有

ADBRCQ.CM，CNQD

DQ

，是CN.又ACM，，故ACM≌，于是RAC14.2.14★設(shè)、B別是△ABC的BC和上點(diǎn)，D、分是AA與、AB與的交點(diǎn).證明：若90、B、A、E共，則AABA.解析如延AE交BC于F為證AABA只證明AB.而、BA、共，故AEF，AABBEA，是只需證明EA為平分線D

F對(duì)的線BDB及內(nèi)一點(diǎn)E分利用梅涅勞斯定理和塞瓦定理，得CBADAB，12

CBADA.FCF所以，.B在射線CB上一點(diǎn)B

①，使得，由EC知EC的角平分線，于是，利用內(nèi)、外角平分線定理，可知B.FEFAFAB從而，.CFCBA對(duì)比式①得CB

A，B與CB

重合，因此，AE為BEF的角平分線14.2.15★★★給△，M為內(nèi)點(diǎn)，使得，MACMBA；為△內(nèi)點(diǎn)，使得NCB，NBC為△ACB內(nèi)點(diǎn)，使得PBC，.證明：AM、BN和三共點(diǎn)，且該公共點(diǎn)在△MNP的接圓上.M

解析

延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)A，則BMAMACMCACMA，即MA為BMC的分線是，ACMC

AMAB.而條件易知△ABM∽故ACcb

（這里、c△的邊長(zhǎng)而

BMAM，MCBA.AC同理可證：

，B中為BN與AC的點(diǎn)為與AB的圖N、未出從而CBAC.ACBC于是，由塞瓦定理的逆定理可知、BN、三共點(diǎn).設(shè)上述公共點(diǎn)為KO為△ABC外心，則BMCBACBOC，B、、O、四共于是設(shè)MA交個(gè)圓于另一點(diǎn)，則為BC的點(diǎn)結(jié)合OB，知為、MO、C所共圓的直徑因，OMAOMK似證，ONK90以，M、、在為徑的圓.13

§14.3

其問(wèn)14.3.1★求證：已eq\o\ac(△,知)eq\o\ac(△,)ABC，點(diǎn)PBC上一點(diǎn)，則有

sinsinBACACAB

；反之，若上式成立，且BAPCAPBAC（AP不“反方向”的點(diǎn)、P、C共線解析如

1ABsinBAPsinABsin，21兩邊同時(shí)除以，得論2ABC為證三點(diǎn)共線，只需將上述過(guò)程反過(guò)來(lái)，得

，于是點(diǎn)B、P、C共.14.3.2★★已知及線l，在l上身影為

，A

在上身影為

類似地定義

，B和C

、

，求證：A

、

和

共點(diǎn).解析如，只需證明A

、

未畫出）.

A''

C'

l由于AA

B

A，便知結(jié)論成.14.3.3.★★銳角三角形中、CF是條高，H為△ABC的垂心，M、K分別是BCAH的點(diǎn)證：MK、和OH共，這里O為△ABC的.解析如，由條件45知△AEB和△是等腰直角三角形，而O為、中垂線上的點(diǎn)故，F(xiàn)O于是EO∥，∥BE從而四邊形EOFH為行四邊形.故EF與的交點(diǎn)為EF中.CEH

MA

K

OF

B另一方面，M、K為BC、AH的點(diǎn)，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知EMMF

1BCEKKFAH.即邊形EKFM為形以EF與KM的交點(diǎn)亦是EF的點(diǎn)214

從而命題獲.14.3.4★★四邊形與是正方形，且點(diǎn)、、共，點(diǎn)N、P、F共線，連結(jié)、SE點(diǎn)MT上射影是點(diǎn)，在上射影是點(diǎn)B，證：點(diǎn)、P、共線.解析設(shè)與ST交于點(diǎn)P

MNATSFE，又設(shè)ATS于是由ASBATB180ASeq\o\ac(△,)tanPATMS，TEPT

即點(diǎn)P與P14.3.5★★在矩形的邊AB上分別取異于頂點(diǎn)的KMN知∥.證明與的交點(diǎn)O在形的對(duì)角線BD上D

M

LKB解析連、OD因?yàn)椤蜯N，KM與LN交于O，以△∽△MNO，得

LO

，MNO.又因BC∥，所以DNO，則DNM；因此BLK∽eq\o\ac(△,Rt)DNM.綜上，

LKDNNM

，BLO，以△∽△DNO，得DON，B、O、D共.14.3.6★★證明：如果一個(gè)梯形的（）點(diǎn)到梯形四邊距離之和相等，那么這n個(gè)共線解析如圖，延長(zhǎng)梯形的腰BA、交點(diǎn).設(shè)P為n個(gè)中的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)P作直線，交EB、于、H，得為腰三角形（EGEH）.

D

H設(shè)Q是個(gè)中另一個(gè)點(diǎn)，我們證明Q直線GH上

15

由條件到、EH的距離和等于到、的離.Q在邊形AGHD內(nèi)則

△

S

△

△

，從而EG(EG)EH(Q,)(PEG)PEH)，這里d(X)表點(diǎn)X到線Z的距離.結(jié)合EH，得d(∥(,EH)(,EG)(P,)，盾類似地，若在邊形BGHC，則Q,)(Q,EH)P),)亦矛盾故Q在段GH上14.3.7★★★設(shè)四邊形僅有一個(gè)內(nèi)角是直角，且兩對(duì)角線相等，則對(duì)邊中垂線交點(diǎn)與直角頂點(diǎn)共解析如設(shè)邊形ABCD中90形則BEACBD又設(shè)BC的垂線與AD之垂線FP于，易知PE，于是B、P在DE中垂線上同、CD中線之交點(diǎn)也在DE中線上，故而結(jié)論成立DF

C14.3.8★★等腰梯形ABCD中ABCD.將△繞旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，得一個(gè)新的△線段ABC中共線.解析如AB中分別為Z為CA

的中點(diǎn)并ACA，則ZW∥

WX∥CDZW

111AB為腰三角形且222等于1A

與所成的角

.Z

W

D注意到，所以，XWZ，從而1XZW)90是22CZX.2另一方面，YZ∥BB

，而1，故90.22綜上，CZY.X、Y、共線.14.3.9★★直角三角形，AB是邊為斜邊上的高為心半徑作⊙.過(guò)B作⊙割線，交⊙于D和E，交CH于（D在B與F之）A上一點(diǎn)G，使得，與D不同一.證明：、H、G三共.16

ECF

D解析延EH交⊙A于G

AH，我們證明與G

BG'重合，即證.由BC為的線，故

.再Rt△中為，從而由身影定理可知BC

BH所BH故、、H、A共圓因EDAEHABHG

.注意到EADA故DHB（這里再次用到E、D、H、A共前面的結(jié)果，可知BHG

.由圓的對(duì)稱性，即得.14.3.10★設(shè)銳角三角形，AD、BE、CF為，H是心，M分在、上且NHE求證：BM、CN的垂線之交點(diǎn)在BC上解析如，若設(shè)、CN中線分別交BC于K、BKCK，知結(jié)論成立.

（K、

在圖中未畫出），要證明M

F

HD

由于

BMCKBC只需證明C2cosC22cosMF或即.cosCcos由條件知△MFHNEH，

MFFHAHBADNEAHsinCADC

.結(jié)論證畢14.3.11★★的切圓切邊、于M、，線l與內(nèi)切圓切于劣弧分別交NC、于、.為AP與BQ的點(diǎn)證明：在線段上l

內(nèi)一點(diǎn)，Q

lM

TY解析設(shè)

AP