2023屆遼寧省沈陽市和平區(qū)數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB，AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，，則=（），A． B． C． D．2．下列圖案中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，交對角線于點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．4．下列圖形中是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．已知現(xiàn)有的10瓶飲料中有2瓶已過了保質(zhì)期，從這10瓶飲料中任取1瓶，恰好取到已過了保質(zhì)期的飲料的概率是（）A． B． C． D．6．在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+1與二次函數(shù)y=x2+a的圖像可能是（）A． B． C． D．7．如圖，△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC上兩點(diǎn)，且EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC＝n，則（）A．若m＞1，n＞1，則2S△AEF＞S△ABD B．若m＞1，n＜1，則2S△AEF＜S△ABDC．若m＜1，n＜1，則2S△AEF＜S△ABD D．若m＜1，n＞1，則2S△AEF＜S△ABD8．已知圓內(nèi)接正六邊形的邊長是1，則該圓的內(nèi)接正三角形的面積為（）A． B． C． D．9．一元二次方程的解是（）A．5或0 B．或0 C． D．010．如圖，下列條件中，能判定的是（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，將邊長為4的正方形沿其對角線剪開，再把沿著方向平移，得到，當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積為3時(shí)，則的長為_________．12．某農(nóng)科所在相同條件下做玉米種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如下：某位顧客購進(jìn)這種玉米種子10千克，那么大約有_____千克種子能發(fā)芽．13．一個(gè)等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是_____．14．如圖，OA、OB是⊙O的半徑，CA、CB是⊙O的弦，∠ACB＝35°，OA＝2，則圖中陰影部分的面積為_____．（結(jié)果保留π）15．我軍偵察員在距敵方120m的地方發(fā)現(xiàn)敵方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物測量，機(jī)靈的偵察員將自己的食指豎直舉在右眼前，閉上左眼，并將食指前后移動(dòng)，使食指恰好將該建筑物遮住，如圖所示．若此時(shí)眼睛到食指的距離約為40cm，食指的長約為8cm，則敵方建筑物的高度約是_______m．16．若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是，側(cè)面展開圖是半圓，則該圓錐的底面圓半徑是______．17．三張完全相同的卡片，正面分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，先將三張卡片洗勻后反面朝上，隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的數(shù)字m，放置一邊，再從剩余的卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，記下卡片上的數(shù)字n，則滿足關(guān)于x的方程x2+mx+n＝0有實(shí)數(shù)根的概率為______．18．反比例函數(shù)y＝的圖象在第一、三象限，則m的取值范圍是_______．三、解答題(共66分)19．（10分）某校的學(xué)生除了體育課要進(jìn)行體育鍛煉外，寒暑假期間還要自己抽時(shí)間進(jìn)行體育鍛煉，為了了解同學(xué)們假期體育鍛煉的情況，開學(xué)時(shí)體育老師隨機(jī)抽取了部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，按鍛煉的時(shí)間x（分鐘）分為以下四類：A類（），B類（），C類（），D類（），對調(diào)查結(jié)果進(jìn)行整理并繪制了如圖所示的不完整的折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，請結(jié)合圖中的信息解答下列各題：（1）扇形統(tǒng)計(jì)圖中D類所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為，并補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖；（2）現(xiàn)從A類中選出兩名男同學(xué)和三名女同學(xué)，從以上五名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)進(jìn)行采訪，請利用畫樹狀圖或列表的方法求出抽到的學(xué)生恰好是一男一女的概率．20．（6分）如圖，直線與⊙相離，于點(diǎn)，與⊙相交于點(diǎn)，.是直線上一點(diǎn)，連結(jié)并延長交⊙于另一點(diǎn)，且.（1）求證：是⊙的切線；（2）若⊙的半徑為，求線段的長.21．（6分）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與軸交于點(diǎn)，連接，，求的面積．22．（8分）已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD．（1）求證：∠DAC=∠DBA；（2）連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長．23．（8分）已知如圖，⊙O的半徑為4，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠C＝2∠A．（1）求∠A的度數(shù)．（2）求BD的長．24．（8分）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE=0.4m，EF=0.2m，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求樹高．25．（10分）如圖，已知矩形的邊，，點(diǎn)、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn).（1）連接、，以為直徑的交于點(diǎn).①若點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是______；②若，求的長；（2）已知，，是以為弦的圓.①若圓心恰好在邊的延長線上，求的半徑：②若與矩形的一邊相切，求的半徑.26．（10分）一個(gè)四邊形被一條對角線分割成兩個(gè)三角形，如果被分割的兩個(gè)三角形相似，我們被稱為該對角線為相似對角線．（1）如圖1，正方形的邊長為4，E為的中點(diǎn)，，連結(jié).，求證：為四邊形的相似對角線．（2）在四邊形中，，，，平分，且是四邊形的相似對角線，求的長．（3）如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)E是線段（不取端點(diǎn)A．B）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若是四邊形的相似對角線，求的長．（直接寫出答案）

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】根據(jù)DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再結(jié)合相似比是AD：AB=1：3，因而面積的比是1：1．【詳解】解：如圖：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴S△ADE：S△ABC=1：1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．2、C【解析】根據(jù)中心對稱圖形的概念即可得出答案.【詳解】A選項(xiàng)中，不是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中，是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)中，不是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查中心對稱圖形，掌握中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵.3、A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)解答即可.【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴AD∥BC，AD=BC=3ED，∴∠EDB=∠CBD，∠DEF=∠BCF，∴△DFE∽△BFC，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于常考題型，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4、A【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的性質(zhì)對各項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的性質(zhì)，只有下圖符合故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形，掌握中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5、C【分析】直接利用概率公式求解．【詳解】∵10瓶飲料中有2瓶已過了保質(zhì)期，∴從這10瓶飲料中任取1瓶，恰好取到已過了保質(zhì)期的飲料的概率是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．6、A【分析】本題可先由一次函數(shù)y=ax+1圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=x2+a的圖象相比較看是否一致．【詳解】解：A、由拋物線y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知，a＜0，由直線可知，a＜0，正確；B、由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上可知，a＞0，二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，與二次函數(shù)y=x2+a矛盾，錯(cuò)誤；C、由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知，a＜0，由直線可知，a＞0，錯(cuò)誤；D、由直線可知，直線經(jīng)過（0，1），錯(cuò)誤，故選A．【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：一次函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì).7、D【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，得出，，從而建立等式關(guān)系，得出，然后再逐一分析四個(gè)選項(xiàng)，即可得出正確答案.【詳解】解：∵EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC=n，?∴△AEF∽△ABC，∴，∴，∴，∴∴當(dāng)m=1，n=1，即當(dāng)E為AB中點(diǎn)，D為BC中點(diǎn)時(shí)，，A.當(dāng)m＞1，n＞1時(shí)，S△AEF與S△ABD同時(shí)增大，則或，即2或2＞，故A錯(cuò)誤；B.當(dāng)m＞1，n＜1，S△AEF增大而S△ABD減小，則，即2，故B錯(cuò)誤；C.m＜1，n＜1，S△AEF與S△ABD同時(shí)減小，則或，即2或2＜，故C錯(cuò)誤；D.m＜1，n＞1，S△AEF減小而S△ABD增大，則，即2＜，故D正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.8、C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的邊長是1可得出圓的半徑為1，利用勾股定理可求出該內(nèi)接正三角形的邊長為，高為，從而可得出面積．【詳解】解：由題意可得出圓的半徑為1，∵△ABC為正三角形，AO=1，，BD=CD，AO=BO，∴，，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是正多邊形的性質(zhì)以及解直角三角形，根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的邊長求出圓的半徑是解此題的關(guān)鍵．9、B【解析】根據(jù)因式分解法即可求出答案．【詳解】∵5x2=x，∴x(5x﹣1)=0，∴x=0或x．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．10、D【分析】根據(jù)相似三角形的各個(gè)判定定理逐一分析即可．【詳解】解：∵∠A=∠A若，不是對應(yīng)角，不能判定，故A選項(xiàng)不符合題意；若，不是對應(yīng)角，不能判定，故B選項(xiàng)不符合題意；若，但∠A不是兩組對應(yīng)邊的夾角，不能判定，故C選項(xiàng)不符合題意；若，根據(jù)有兩組對應(yīng)邊成比例且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得，故D選項(xiàng)符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是使兩個(gè)三角形相似所添加的條件，掌握相似三角形的各個(gè)判定定理是解決此題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1或1【分析】設(shè)AC、交于點(diǎn)E，DC、交于點(diǎn)F，且設(shè)，則，，列出方程即可解決問題．【詳解】設(shè)AC、交于點(diǎn)E，DC、交于點(diǎn)F，且設(shè)，則，，重疊部分的面積為，由，解得或1．即或1．故答案是1或1．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)、菱形的判定和正方形的性質(zhì)綜合，準(zhǔn)確分析題意是解題的關(guān)鍵．12、1.1【分析】觀察圖中的頻率穩(wěn)定在哪個(gè)數(shù)值附近，由此即可求出作物種子的概率.【詳解】解：∵大量重復(fù)試驗(yàn)發(fā)芽率逐漸穩(wěn)定在0.11左右，∴10kg種子中能發(fā)芽的種子的質(zhì)量是：10×0.11=1.1（kg）故答案為：1.1．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確．13、1【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三邊關(guān)系得出各邊長，進(jìn)而得出答案.【詳解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，故等腰三角形的腰長只能為5，5，底邊長為2，則其周長為：5+5+2＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三邊的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì).14、【分析】利用扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】∵∠AOB＝2∠ACB＝70°，∴S扇形OAB＝＝，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積公式，求出扇形的圓心角是解題的關(guān)鍵.15、1【分析】如圖（見解析），過點(diǎn)A作，交BC于點(diǎn)F，利用平行線分線段成比例定理推論求解即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作，交BC于點(diǎn)F由題意得則（平行線分線段成比例定理推論）即解得故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理推論，讀懂題意，將所求問題轉(zhuǎn)化為利用平行線分線段成比例定理推論的問題是解題關(guān)鍵．16、1．【解析】試題解析：設(shè)圓錐的母線長為R，解得：R=6，∴圓錐側(cè)面展開圖的弧長為：6π，∴圓錐的底面圓半徑是6π÷2π=1．故答案為1.17、【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與滿足關(guān)于x的方程x2+mx+n＝0有實(shí)數(shù)根的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，滿足關(guān)于x的方程x2+mx+n＝0有實(shí)數(shù)根的有3種情況，∴滿足關(guān)于x的方程x2+mx+n＝0有實(shí)數(shù)根的概率為：＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式與概率，掌握畫樹狀圖求得等可能的結(jié)果數(shù)以及概率公式，是解題的關(guān)鍵．18、m>1【分析】由于反比例函數(shù)y＝的圖象在一、三象限內(nèi)，則m-1＞0，解得m的取值范圍即可．【詳解】解：由題意得,反比例函數(shù)y＝的圖象在一、三象限內(nèi)，則m-1＞0，解得m＞1.故答案為m＞1.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握反比例函數(shù)的性質(zhì).三、解答題(共66分)19、（1）；（2）畫圖見解析，．【分析】（1）先由A類型的人數(shù)及其所占百分比求出總?cè)藬?shù)，再用360乘以D類型人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的比例可得其對應(yīng)圓心角度數(shù)，利用各類型人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出B類型人數(shù)，從而補(bǔ)全折線圖；（2）用A表示女生，B表示男生，畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解可得．【詳解】（1）∵被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為48÷40%＝120（人），∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中D類所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為360×＝，B類型人數(shù)為120?（48＋24＋6）＝42（人），補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖如下：故答案為：；（2）用A表示女生，B表示男生，畫樹狀圖共有20種情況，其中一男一女有12種情況，故抽到學(xué)生恰好是一男一女的概率【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹狀圖法、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．20、（1）詳見解析；（2）【解析】（1）連結(jié)，則，，已知AB=AC，故，由可得，則，證得，即AB是⊙O的切線.（2）在直角三角形AOB中，OA=5,OB=3，可求得AB=AC=4.在直角三角形ACP中，由勾股定理可求得，過點(diǎn)O做OD⊥BC于點(diǎn)D，可得△ODP∽△CAP，則有，代入線段長度即可求得PD，進(jìn)而利用垂徑定理求得BP.【詳解】(1)證明：如圖，連結(jié)，則，，∵，即，即故是⊙的切線；(2)由(1)知：而，由勾股定理，得：，過作于，則在和中，∽【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)及判斷，垂徑定理，圓與直線的位置關(guān)系，解本題的關(guān)鍵是掌握常見求線段的方法，將知識點(diǎn)結(jié)合起來解題.21、見解析【分析】（1）二次函數(shù)圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，-6）兩點(diǎn)，兩點(diǎn)代入y=-x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式；（2）先求出對稱軸方程，寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出AC，然后由面積公式計(jì)算值．【詳解】（1）把，代入得，解得.∴這個(gè)二次函數(shù)解析式為.（2）∵拋物線對稱軸為直線，∴的坐標(biāo)為，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，要會求二次函數(shù)的對稱軸，會運(yùn)用面積公式．22、（1）見解析；（2）⊙O的半徑為2.5；DE=2.1．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠CBD=∠DBA，根據(jù)圓周角定理得到∠DAC=∠CBD，∠ADB=∠AED=90°，等量代換即可得到結(jié)論；（2）連接CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CD=AD，根據(jù)勾股定理得到AB=5，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC與∠CBD都是所對的圓周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，（2）解：連接CD，∵∠CBD=∠DBA，∴CD=AD=3，∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°在Rt△ADB中，AB=故⊙O的半徑為2.5∵∴；【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的外接圓與外心及圓周角定理和勾股定理以及三角形面積等知識，熟練利用圓周角定理得出各等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．23、（1）60°；（2）．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連接OB，OD，作OH⊥BD于H根據(jù)已知條件得到∠BOD＝120°；求得∠OBD＝∠ODB＝30°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C+∠A＝180°，∵∠C＝2∠A，∴∠A＝60°；（2）連接OB，OD，作OH⊥BD于H∵∠A＝60°，∠BOD＝2∠A，∴∠BOD＝120°；又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，∵OH⊥BD于H，在Rt△DOH中，，即，∴，∵OH⊥BD于H，∴.【點(diǎn)睛】此題考查圓的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，在圓中求弦長、半徑、弦心距三個(gè)量中的一個(gè)時(shí)，通常利用勾股定理與垂徑定理進(jìn)行計(jì)算.24、樹高為5.5米【解析】根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似，可得△DEF∽△DCB，利用相似三角形的對邊成比例，可得，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即得BC的長，由AB＝AC+BC，即可求出樹高.【詳解】∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB∴，∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，∴，∴CB＝4（m），∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）答：樹高為5.5米.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出相似三角形的模型．25、（1）①；②1.5；（2）①5；②、，、5.【解析】（1）①根據(jù)直徑所對的圓周角是直角判斷△APQ為等腰三角形，結(jié)合等腰三角形的兩底角相等和圓周角定理證明；②證明△PBQ∽△QBA，由對應(yīng)邊成比例求解；（2）①畫出圖形，由勾股定理列方程求解；②分與矩形的四邊分別相切，畫出圖形，利用切線性質(zhì)，由勾股定理列方程求解.【詳解】解：（1）①如圖，PQ是直徑，E在圓上，∴∠PEQ=90°，∴PE⊥AQ,∵AE=EQ,∴PA=PQ,∴∠PAQ=∠PQA,∴∠QPB=∠PAQ+∠PQA=2∠AQP,∵∠QPB=2∠AQP.\②解：如圖，∵BE=BQ=3，∴∠BEQ=∠BQE,∵∠BEQ=∠BPQ,∵∠PBQ=∠QBA,∴△PBQ∽△QBA,∴,∴,∴BP=1.5;（2）①如圖，BP=3，BQ=1，設(shè)半徑OP=r,在Rt△OPB中，根據(jù)勾股定理得，PB2+OB2=OP2∴32+(r-1)2=r2，∴r=5,∴的半徑是5.②如圖，與矩形的一邊相切有4種情況，如圖1，當(dāng)與矩形ABCD邊BC相切于點(diǎn)Q，過O作OK⊥AB于K,則四邊形OKBQ為矩形，設(shè)OP=OQ=r,則PK=3x,由勾股定理得，r2=12+(3-r)2,解得，r=,∴半徑為.如圖2，當(dāng)與矩形ABCD邊AD相切于點(diǎn)N，延長NO交BC于L,則OL⊥BC,過P作PS⊥NL于S，設(shè)OS=x，則ON=OP=OQ=3+x，設(shè)PS=BL=y,由勾股定理得，，解得（舍去），，∴ON=,∴半徑為.如圖3，當(dāng)與矩形ABCD邊CD相切于點(diǎn)M，延長MO交AB于R,則OR⊥AB,過O作OH⊥BC于H，設(shè)OH=BR=x，設(shè)HQ=y,則OM=OP=OQ=4-1-y=3-y，由勾股定理得，，解得（舍去），，∴OM=,∴半徑為.如圖4，當(dāng)與矩形ABCD邊AB相切于點(diǎn)P，過O作OG⊥BC于G,則四邊形AFCG為矩形，設(shè)OF=CG=x，，則OP=OQ=x+4,由勾股定理得(x+4)2=32+(x+3)2,解得，x=1,∴OP=5,∴半徑為5.綜上所述，若與矩形的一邊相切，為的半徑，，，5.【點(diǎn)睛】本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)，涉及圓周角定理，垂徑定理，切線的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，利用分類思想畫出對應(yīng)圖形，化繁為簡是解答此題的關(guān)鍵.26、（1）見解析（2）或；（1）或或1【分析】（1）根據(jù)已知中相似對角線的定義，只要證明△AEF∽△ECF即可；

（2）AC是四邊形ABCD的相似對角線，分兩種情形：△ACB△ACD或△ACB△ADC，分別求解即可；

（1）分