《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 函數(shù)的奇偶性與周期性課件

第七講函數(shù)的奇偶性與周期性回歸課本1.函數(shù)的奇偶性(1)函數(shù)的奇偶性的定義奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù).關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù).關(guān)于原點(diǎn)對稱(2)對函數(shù)奇偶性的理解①函數(shù)奇偶性的判斷a.首先看函數(shù)的定義域,若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,則函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).b.若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,再看f(-x)與f(x)的關(guān)系.若f(-x)=-f(x),則函數(shù)是奇函數(shù);若f(-x)=f(x),則函數(shù)是偶函數(shù);若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),則f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).②在公共定義域內(nèi)a.兩奇函數(shù)的積與商(分母不為零時(shí))為偶函數(shù),兩奇函數(shù)的和是奇函數(shù).b.兩偶函數(shù)的和?積與商(分母不為零)為偶函數(shù).③奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性一致,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反.2.函數(shù)的周期性(1)對于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫f(x)的最小正周期.(2)周期函數(shù)不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,則kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期,周期函數(shù)的定義域無上?下界.考點(diǎn)陪練答案:B2.(2010·新課標(biāo)全國)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x≥0),則{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}解析:已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以當(dāng)x<0時(shí),解析式為f(x)=2-x-4(x<0),所以當(dāng)x-2<0時(shí),f(x-2)=2-(x-2)-4,要使f(x-2)>0,解得x<0;當(dāng)x-2≥0時(shí),f(x-2)=2x-2-4,要使f(x-2)=2x-2-4>0,解得x>4,綜上{x|f(x-2)>0}={x|x<0或x>4},故選B.答案:B3.(2010·山東)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=2x+2x+b(b為常數(shù)),則f(-1)=()A.-3 B.-1C.1 D.3解析:因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù),所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故選A.答案:A4.(2010·廣東)若函數(shù)f(x)=3x+3-x與g(x)=3x-3-x的定義域均均為R,則()A.f(x)與g(x)均為偶函數(shù)數(shù)B.f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)C.f(x)與g(x)均為奇函數(shù)數(shù)D.f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù)解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)為偶函數(shù),由g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x)可知g(x)為奇函數(shù).答案:B答案:2x+3類型一函函數(shù)奇偶性性的判斷解題準(zhǔn)備:判斷函數(shù)奇奇偶性的一一般方法(1)首先確定函函數(shù)的定義義域,看是否是關(guān)關(guān)于原點(diǎn)對對稱的.否則,既不是奇函函數(shù)也不是是偶函數(shù).(2)若定義域關(guān)關(guān)于原點(diǎn)對對稱,則可用下述述方法進(jìn)行行判斷:①定義判斷:f(-x)=f(x)?f(x)為偶函數(shù),f(-x)=-f(x)?f(x)為奇函數(shù).②等價(jià)形式判判斷:f(-x)-f(x)=0?f(x)為偶函數(shù).f(-x)+f(x)=0?f(x)為奇函數(shù).(3)對于分段函函數(shù)的奇偶偶性的判斷斷應(yīng)分段進(jìn)進(jìn)行.[分析]判斷函數(shù)的的奇偶性,首先要檢驗(yàn)驗(yàn)其定義域域是否關(guān)于于原點(diǎn)對稱稱,若關(guān)于原點(diǎn)點(diǎn)對稱,再嚴(yán)格按照照奇偶性的的定義進(jìn)行行推理判斷斷.的定義域關(guān)關(guān)于原點(diǎn)對對稱,∵當(dāng)x>0時(shí),-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)(x>0).當(dāng)x<0時(shí),-x>0,∴f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x)(x<0).∴f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).類型二函函數(shù)的單調(diào)調(diào)性與奇偶偶性的綜合合問題解題準(zhǔn)備:1.討論函數(shù)的的單調(diào)性和和奇偶性時(shí)時(shí),應(yīng)先確定函函數(shù)的定義義域.2.奇函數(shù)在關(guān)關(guān)于原點(diǎn)對對稱的單調(diào)調(diào)區(qū)間內(nèi)有有相同的單單調(diào)性,偶函數(shù)在關(guān)關(guān)于原點(diǎn)對對稱的單調(diào)調(diào)區(qū)間內(nèi)有有相反的單單調(diào)性.3.將函數(shù)的奇奇偶性和單單調(diào)性綜合合運(yùn)用是考考查函數(shù)性性質(zhì)的重要要題型.又(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0,∵1-x2>0,1+x1>0,∴(1-x2)(1+x1)=1+x1-x2-x1x2>0.類型三函函數(shù)的周期期性解題準(zhǔn)備:三個(gè)結(jié)論:若a?b是非零常數(shù)數(shù),且a≠b,則有結(jié)論2:(對稱性與周周期關(guān)系結(jié)結(jié)論)(1)f(x)關(guān)于x=a及x=b對稱,則T=2|b-a|;(2)f(x)關(guān)于x=b及M(a,0)對稱,則T=4|b-a|;(3)f(x)關(guān)于M(a,0)和N(b,0)對稱,則T=2|b-a|.結(jié)論3:(奇偶性與周周期關(guān)系結(jié)結(jié)論)(1)f(x)是偶函數(shù)且且關(guān)于直線線x=a對稱,則T=2|a|;(2)f(x)是奇函數(shù)且且關(guān)于直線線x=a對稱,則T=4|a|.(上述結(jié)論中中的T為函數(shù)的周周期,但不一定是是最小正周周期).類型四函函數(shù)的奇偶偶性與周期期性的綜合合問題解題準(zhǔn)備:奇偶性和周周期性都是是函數(shù)的整整體性質(zhì).奇偶性是解解決函數(shù)圖圖象的對稱稱性問題,周期性是解解決函數(shù)圖圖象的平移移問題.函數(shù)的單調(diào)調(diào)性揭示函函數(shù)的局部部性質(zhì),靈活運(yùn)用函函數(shù)性質(zhì)可可解決與函函數(shù)相關(guān)的的方程?不等式等綜綜合問題.【典例4】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)數(shù),對任意的x,都有f(x+1)=-f(1-x),且方程f(x)=0在[-1,1]上只有一個(gè)個(gè)根,則方程f(x+1)=0的第2000個(gè)根是多少少.(從x軸右半軸開開始從左到到右數(shù)起).[解]由f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x)得:f(x)是周期函數(shù)數(shù),且周期為2.f(x+1)是把f(x)的圖象向左左移1個(gè)單位.由x∈R,f(x)是奇函數(shù),且f(x)=0在[-1,1]上只有一個(gè)個(gè)根,知f(0)=0,∴方程f(x)=0的第2000個(gè)根是4000,∴f(x+1)=0的第2000個(gè)根是3999.錯(cuò)源一忽忽略定義域域出錯(cuò)[剖析]判斷函數(shù)奇奇偶性,首先要看函函數(shù)的定義義域,若定義域是是關(guān)于原點(diǎn)點(diǎn)的對稱區(qū)區(qū)間,則函數(shù)可能能具有奇偶偶性;否則,函數(shù)一定不不具有奇偶偶性.其次,要看f(x)與f(-x)之間的關(guān)系系.[正解]函數(shù)的定義義域?yàn)閧x|x≠1},定義域不關(guān)關(guān)于原點(diǎn)對對稱,因此該函數(shù)數(shù)為非奇非非偶函數(shù).錯(cuò)源二忽忽視對參數(shù)數(shù)的討論【典例2】判斷函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1(a∈R)的奇偶性.[錯(cuò)解]顯然函數(shù)定定義域?yàn)镽.因?yàn)閒(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,所以f(-a)≠f(a),且f(-a)≠-f(a),所以f(x)既不是奇函函數(shù),也不是偶函函數(shù).[剖析]此解法錯(cuò)在在于沒有對對參數(shù)進(jìn)行行討論,未考慮到a=0這種特殊殊情形,以致解題題出錯(cuò).[正解]當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),此時(shí)f(x)為偶函數(shù)數(shù);當(dāng)a≠0時(shí),f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a),此時(shí)f(x)既不是奇奇函數(shù),也不是偶偶函數(shù).技法一快快速解解題(數(shù)形結(jié)合合法)【典例1】已知定義義在R上的函數(shù)數(shù)f(x)不恒為零零,且滿足f(x+3)=-f(3-x)?f(x+4)=f(4-x),則f(x)是()A.奇函數(shù)也也是周期期函數(shù)B.偶函數(shù)也也是周期期函數(shù)C.奇函數(shù)但但非周期期函數(shù)D.偶函數(shù)但但非周期期函數(shù)[快解]由于本題題為選擇擇題,故可用數(shù)數(shù)形結(jié)合合法,畫出符合合題意的的圖象即即可選對對答案.函數(shù)f(x)以點(diǎn)(3,0)為對稱中中心,以直線x=4為對稱軸軸,如下圖所所示,點(diǎn)(2k-1,0)都是對稱稱中心,直線x=2k都是對稱稱軸,這里的k∈Z,故選B.[另解切入入點(diǎn)]因?yàn)閒(x+3)=-f(3-x)、f(x+4)=f(4-x),所以函數(shù)數(shù)f(x)以點(diǎn)(3,0)為對稱中中心,以直線x=4為對稱軸軸.[分析思維維過程]要利用兩兩個(gè)條件件式,推證出f(x)是奇函數(shù)數(shù)或偶函函數(shù),需找到兩兩式的聯(lián)聯(lián)系.x+4=(x+1)+3,有3-(x+1)=2-x出現(xiàn),如此推演演,有望得到到結(jié)果.[解析]∵f(x+3)=-f(3-x)①f(x+4)=f(4-x)②∴f(x+4)=f[(x+1)+3]=-f[-(x+1)+3]=-f(2-x)=-f[4-(x+2)]=-f[4+(x+2)]=-f[3+(x+3)]=f[3-(x+3)]=f(-x).則f(4-x)=f[(-x)+4]=f(x).∴f(-x)=f(x),且f(x+4)=f(x).故函數(shù)f(x)是偶函數(shù)數(shù),也是周期期函數(shù),選B.[答案]B[方法與技技巧]解是由函函數(shù)滿足足的關(guān)系系一步一一步推證證,步驟較多多,不易掌握握.而數(shù)形結(jié)結(jié)合法簡簡單?直觀,好掌握,易理解,對于解選選擇題非非常適宜宜.[得分主要要步驟]運(yùn)用好已已知的兩兩個(gè)條件件式是很很重要的的.首先由②②式入手手,使之出現(xiàn)現(xiàn)①式的的形式,再由②到到①,每步都需需認(rèn)真思思考,是否滿足足條件,是否可以以得到需需要的結(jié)結(jié)果.[易丟分原原因]各步變換換時(shí),注意符號號,稍有不慎慎將會(huì)出出錯(cuò).如由f(x+4)得到f(-x),故f(4-x)=f[(-x)+4]=f(x).技法二探探尋判判斷奇偶偶性的途途徑[解]解法一:對于比較較復(fù)雜的的函數(shù)解解析式,除了用定定義法進(jìn)進(jìn)行判斷斷外,還可以考考慮用f(-x)=±±f(x)變形式:f(-x)±±f(x)=0進(jìn)行判斷斷,應(yīng)注意的的是在利利用這兩兩個(gè)式子子進(jìn)行判判斷之前前,應(yīng)先探求求是用f(-x)+f(x)=0還是用f(-x)-f(x)=0來進(jìn)行判判斷.[方法與技技巧]本題是用用驗(yàn)證法法判斷函函數(shù)的奇奇偶性.關(guān)系式f(-x)±f(x)=0實(shí)質(zhì)是函函數(shù)奇偶偶性的定定義f(-x)=±±f(x)的一個(gè)變變形式,使用這個(gè)