《金新學(xué)案》高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 9.7空間距離課件 文 大綱人教

第7課時(shí)空間距離1．點(diǎn)到直線、平面的距離(1)由點(diǎn)向直線作

，這點(diǎn)與垂足間的距離是點(diǎn)到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線段．(2)從平面外一點(diǎn)引這個(gè)平面的

，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．(3)(B)點(diǎn)面距離的向量公式平面α的法向量為n，點(diǎn)P是平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離d就是在向量n方向射影的絕對(duì)值，即d＝

.垂線垂線2．直線和平面、平面和平面的距離(1)一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上

到這個(gè)平面的距離叫做這條直線和平面的距離．作用：直線和平面的距離的定義將線面距轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距，也給出了求直線到平面的距離的方法．(2)兩個(gè)平行平面的公垂線和公垂線段：和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線叫做兩個(gè)平行平面的

，它夾在這兩個(gè)平行平面間的部分，叫做兩個(gè)平行平面的

．任一點(diǎn)公垂線公垂線段(3)兩個(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的

叫做兩個(gè)平行平面的距離．(4)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段

．(5)(B)線面、面面距離的向量公式平面α∥直線l，平面α的法向量為n，點(diǎn)M∈α、P∈l，平面α與直線l間的距離d就是在向量n方向上射影的絕對(duì)值，即d＝

.平面α∥平面β，平面α的法向量為n，點(diǎn)M∈α，P∈β，平面α與平面β間的距離d就是在向量n方向上射影的絕對(duì)值，即d＝

.長(zhǎng)度相等3．異面直線的距離(1)異面直線的公垂線和兩條異面直線都

的直線叫做兩條異面直線的公垂線．兩條直線互相垂直，它們可能相交，也可能是異面直線，因此和兩條異面直線都垂直的直線有無(wú)數(shù)條(它們彼此互相平行)，但是和兩條異面直線都垂直且相交的直線卻有且只有一條．(2)兩條異面直線的距離兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的

的長(zhǎng)度叫做兩條異面直線的距離．(B)異面直線的距離的向量公式設(shè)向量n與兩條異面直線a、b都垂直，M∈a、P∈b，則兩異面直線a、b間的距離d就是在向量n方向射影的絕對(duì)值，即d＝

.垂直且相交公垂線段1．已知平面α∥平面β，直線mα，直線nβ，點(diǎn)A∈m，點(diǎn)B∈n，記點(diǎn)A、B之間的距離為a，點(diǎn)A到直線n的距離為b，直線m和n的距離為c，則(

)A．c≤b≤a

B．c≤a≤bC．a(chǎn)≤c≤bD．b≤c≤a答案：

A2．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1.線段A1D1的中點(diǎn)M到AB的距離為(

)答案：C3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到BC的距離是(

)答案：

D4．在邊長(zhǎng)為a正方體ABCD－A1B1C1D1中，則異面直線，AB與A1D的距離為_(kāi)_______．答案：5．如圖，已知點(diǎn)E是棱長(zhǎng)為2的正方體AC1的棱長(zhǎng)AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面EBD的距離等于________．答案：求異面直線的距離，利用定義法，一般應(yīng)先找出兩異面直線的公垂線段，再通過(guò)解三角形求解．

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O、M分別是BD1、AA1的中點(diǎn)．(1)求證：MO是異面直線AA1和BD1的公垂線；(2)求異面直線AA1與BD1所成的角的余弦值；(3)若正方體的棱長(zhǎng)為a，求異面直線AA1與BD1的距離．解析：(1)連結(jié)OA、OA1.O點(diǎn)是BD1的中點(diǎn)，所以O(shè)是正方體的中心，所以O(shè)A＝OA1.又M為AA1的中點(diǎn)，即OM是線段AA1的垂直平分線，故OM⊥AA1，連結(jié)MD1，BM，則可得MB＝MD1，同理由O點(diǎn)為BD1的中點(diǎn)知MO⊥BD1，即MO是異面直線AA1和BD1的公垂線．(2)由于AA1∥BB1，所以∠B1BD1就是異面直線線AA1與BD1所成的角．連結(jié)B1D1，在Rt△BB1D1中[變式訓(xùn)練]1.設(shè)PA垂直于Rt△ABC所在的平面α，∠BAC＝90°，PB、PC分別與α成45°和30°角，PA＝2，則PA與BC的距離是________；點(diǎn)P到BC的距離是________．答案：一般找出(或作出)過(guò)此點(diǎn)與已知知平面垂直的的平面，利用用面面垂直的的性質(zhì)，過(guò)該該點(diǎn)作出平面面的垂線，進(jìn)進(jìn)而計(jì)算；也也可以利用“三棱錐體積法法”直接求距離；；有時(shí)直接利利用已知點(diǎn)求求距離比較困困難時(shí)，可以以把點(diǎn)到平面面的距離轉(zhuǎn)化化為直線到平平面的距離，，從而“轉(zhuǎn)移”到另一點(diǎn)上去去求“點(diǎn)到平面的距距離”．(2009·江西卷)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩矩形形，，PA⊥平面面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中點(diǎn)O為球心，，AC為直徑的的球面交交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N.(1)求證：平平面ABM⊥平面PCD；(2)求直線CD與平面ACM所成的角角的大小小；(3)求點(diǎn)N到平面ACM的距離．．解析：方法一：：(1)證明：依依題設(shè)知知，AC是所作球球面的直直徑，則AM⊥MC.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥AM.所以AM⊥平面PCD.所以平面面ABM⊥平面PCD.(2)由(1)知，AM⊥PD，又PA＝AD，則M是PD的中點(diǎn)，，方法二：：(1)同方法一一．(2)如圖所示示，建立立空間直直角坐標(biāo)標(biāo)系，則A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)：設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量量n＝(x，y，z)，[變式訓(xùn)練]2.如圖，在直三三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，D、E分別為棱AB、BC的中點(diǎn)，M為棱AA1上的點(diǎn)，二面面角M－DE－A為30°.(1)證明：A1B1⊥C1D；(2)求MA的長(zhǎng)，并求點(diǎn)點(diǎn)C到平面MDE的距離．解析：(1)證明：如圖，，連結(jié)CD.∵AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)，∴AB⊥CD，又C1C⊥平面ABC，∴AB⊥C1D，又A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D.(2)過(guò)點(diǎn)A作CE的平行線，交交ED的延長(zhǎng)線于F，連接MF.∵D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，又AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE，∵M(jìn)A⊥平面ABC，∴MF⊥DE，∴∠MFA為二面角M－DE－A的平面角，∠MFA＝30°，此兩類題目實(shí)實(shí)質(zhì)是相同的的，都是轉(zhuǎn)化化成點(diǎn)到平面面的距離來(lái)求求解，求距離離的一般步驟驟是：“一作”：即先作出表表示距離的線線段；“二證”：即證明所作作的線段符合合題目的要求求，為所求線線段；“三計(jì)算”：即將所求線線段放置在三三角形中，通通過(guò)正、余弦弦定理解三角角形求取或利利用等積法求求?。鐖D，在直三三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝AC＝BC＝2，D、E、F分別是AB、AA1、CC1的中點(diǎn)，P是CD上的點(diǎn)．(1)求證：直線線PE∥平面A1BF；(2)求直線PE與平面A1BF的距離．解析：(1)證明：如圖圖，連結(jié)DE、CE，(2)由(1)可知，直線線PE與平平面面A1BF的距距離離等等于于兩兩平平行行平平面面EDC與A1BF的距距離離，，即即點(diǎn)點(diǎn)A1到平平面面EDC的距距離離，，亦亦點(diǎn)點(diǎn)A到平平面面EDC的距距離離，，設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)A到平平面面EDC的距距離離為為h，又CD⊥AB，面面A1ABB1⊥面ABC，且平平面面A1ABB1∩面ABC＝AB.∴CD⊥面A1ABB1，∴CD⊥ED，即△CED為直角三角形形．由VA－EDC＝VE－CAD，[變式訓(xùn)練]3.如圖所示，在在三棱錐ABC－A1B1C1中，AB＝，，BC＝CA＝AA1＝1，A1點(diǎn)在底面ABC上的射影為O點(diǎn)．(1)O點(diǎn)與B點(diǎn)能否重合？？試證明你的的結(jié)論．(2)若O在AC上，求BB1與側(cè)面AC1的距離．解析：(1)不能．∵若點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，則△A1BA為直角三角形形，并且A1A為斜邊，而由由已知AB＝，，AA1＝1，即AA1<AB，這是不可能能的．(2)∵A1O⊥平面ABC，BC平面ABC，∴A1O⊥BC.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC，而A1O與AC是平面ACC1A1內(nèi)兩相交直線線，∴BC⊥平面ACC1A1.又∵BB1∥平面ACC1A1，∴BB1與側(cè)面ACC1A1的距離即為BC＝1.1．點(diǎn)到平面的的距離是有關(guān)關(guān)距離問(wèn)題的的重點(diǎn)，它主主要由兩種方方法求得：(1)用定義，直接接作出這段距距離，經(jīng)論證證再計(jì)算．(2)轉(zhuǎn)化為錐體的的高，用三棱棱錐體積公式式求點(diǎn)到平面面的距離．2．用向量方法法求點(diǎn)到面的的距離一般用用下列方法：：(1)找出點(diǎn)在平面面內(nèi)的射影的的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化化為兩點(diǎn)間的的距離；(2)找出平面的一一個(gè)單位法向向量，通過(guò)向向量在單位法法向量上的射射影的長(zhǎng)度來(lái)來(lái)求．3．求距離的一一般步驟：“一作”：即先作出表表示距離的線線段(要符合作圖規(guī)規(guī)則，避免隨隨意性)；“二證”：即證明所作作的線段符合合題目的要求求，為所求線線段(證明要符合邏邏輯且推理正正確)；“三計(jì)算”：即將所求線線段放置在三三角形中，通通過(guò)正、余弦弦定理解三角角形求取或利利用等積法求求?。?．求解解距離離問(wèn)題題要注注意運(yùn)運(yùn)用化化歸與與轉(zhuǎn)化化思想想：面面面距距離→線面距距離→點(diǎn)面距距離→點(diǎn)點(diǎn)距距離．．通過(guò)對(duì)對(duì)近三三年高高考試試題的的統(tǒng)計(jì)計(jì)分析析，有有以下下的命命題規(guī)規(guī)律：：1．考查查熱點(diǎn)點(diǎn)：點(diǎn)點(diǎn)面距距．2．考查查形式式：選選擇、、填空空、解解答題題均可可出現(xiàn)現(xiàn)，常常在解解答題題中的的第二二問(wèn)出出現(xiàn)，，難度度中等等．3．考查查角度度：一是對(duì)對(duì)點(diǎn)面面距、、線面面距、、面面面距的的考查查，其其中點(diǎn)點(diǎn)面距距是核核心．．二是對(duì)對(duì)異面面直線線距離離的考考查，，此考考點(diǎn)日日益淡淡化，，只要要求給給出公公垂線線的情情況，，因此此不必必過(guò)深深的研研究．．4．命題題趨勢(shì)勢(shì)：通通過(guò)對(duì)對(duì)空間間距離離的計(jì)計(jì)算，，加強(qiáng)強(qiáng)轉(zhuǎn)化化思想想的考考查．．(12分)(2010·重慶卷卷)如圖，，四棱棱錐P－ABCD中，底底面ABCD為矩形形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，，點(diǎn)點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．．(1)求直線AD與平面PBC的距離；；(2)若AD＝，，求二面面角A－EC－D的平面角角的余弦弦值．規(guī)范解答答：方法一：：(1)如圖，在在矩形ABCD中，AD∥BC，從而AD∥平面PBC，故直線線AD與平面PBC的距離為為點(diǎn)A到平面PBC的距離.1分因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA＝AB知△PAB為等腰直直角三角角形，又點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，，故AE⊥PB.3分又在矩形形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD內(nèi)的射影影，由三三垂線定定理得BC⊥PB，從而B(niǎo)C⊥平面PAB，故BC⊥AE.4分從而AE⊥平面PBC，故AE之長(zhǎng)即為為直線AD與平面PBC的距離.5分(2)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CE，交CE于F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CE，交AC于G，則∠DFG為所求的的二面角角的平面面角.7分由(1)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，方法二：：(1)如右圖，以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)，射線AB、AD