《金新學案》高考數(shù)學總復習 9.7空間距離課件 文 大綱人教

第7課時空間距離1．點到直線、平面的距離(1)由點向直線作

，這點與垂足間的距離是點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線段．(2)從平面外一點引這個平面的

，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離．(3)(B)點面距離的向量公式平面α的法向量為n，點P是平面α外一點，點M為平面α內任意一點，則點P到平面α的距離d就是在向量n方向射影的絕對值，即d＝

.垂線垂線2．直線和平面、平面和平面的距離(1)一條直線和一個平面平行，這條直線上

到這個平面的距離叫做這條直線和平面的距離．作用：直線和平面的距離的定義將線面距轉化為點面距，也給出了求直線到平面的距離的方法．(2)兩個平行平面的公垂線和公垂線段：和兩個平行平面同時垂直的直線叫做兩個平行平面的

，它夾在這兩個平行平面間的部分，叫做兩個平行平面的

．任一點公垂線公垂線段(3)兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線段的

叫做兩個平行平面的距離．(4)夾在兩個平行平面間的平行線段

．(5)(B)線面、面面距離的向量公式平面α∥直線l，平面α的法向量為n，點M∈α、P∈l，平面α與直線l間的距離d就是在向量n方向上射影的絕對值，即d＝

.平面α∥平面β，平面α的法向量為n，點M∈α，P∈β，平面α與平面β間的距離d就是在向量n方向上射影的絕對值，即d＝

.長度相等3．異面直線的距離(1)異面直線的公垂線和兩條異面直線都

的直線叫做兩條異面直線的公垂線．兩條直線互相垂直，它們可能相交，也可能是異面直線，因此和兩條異面直線都垂直的直線有無數(shù)條(它們彼此互相平行)，但是和兩條異面直線都垂直且相交的直線卻有且只有一條．(2)兩條異面直線的距離兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的

的長度叫做兩條異面直線的距離．(B)異面直線的距離的向量公式設向量n與兩條異面直線a、b都垂直，M∈a、P∈b，則兩異面直線a、b間的距離d就是在向量n方向射影的絕對值，即d＝

.垂直且相交公垂線段1．已知平面α∥平面β，直線mα，直線nβ，點A∈m，點B∈n，記點A、B之間的距離為a，點A到直線n的距離為b，直線m和n的距離為c，則(

)A．c≤b≤a

B．c≤a≤bC．a(chǎn)≤c≤bD．b≤c≤a答案：

A2．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為1.線段A1D1的中點M到AB的距離為(

)答案：C3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到BC的距離是(

)答案：

D4．在邊長為a正方體ABCD－A1B1C1D1中，則異面直線，AB與A1D的距離為________．答案：5．如圖，已知點E是棱長為2的正方體AC1的棱長AA1的中點，則點A到平面EBD的距離等于________．答案：求異面直線的距離，利用定義法，一般應先找出兩異面直線的公垂線段，再通過解三角形求解．

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O、M分別是BD1、AA1的中點．(1)求證：MO是異面直線AA1和BD1的公垂線；(2)求異面直線AA1與BD1所成的角的余弦值；(3)若正方體的棱長為a，求異面直線AA1與BD1的距離．解析：(1)連結OA、OA1.O點是BD1的中點，所以O是正方體的中心，所以OA＝OA1.又M為AA1的中點，即OM是線段AA1的垂直平分線，故OM⊥AA1，連結MD1，BM，則可得MB＝MD1，同理由O點為BD1的中點知MO⊥BD1，即MO是異面直線AA1和BD1的公垂線．(2)由于AA1∥BB1，所以∠B1BD1就是異面直線線AA1與BD1所成的角．連結B1D1，在Rt△BB1D1中[變式訓練]1.設PA垂直于Rt△ABC所在的平面α，∠BAC＝90°，PB、PC分別與α成45°和30°角，PA＝2，則PA與BC的距離是________；點P到BC的距離是________．答案：一般找出(或作出)過此點與已知知平面垂直的的平面，利用用面面垂直的的性質，過該該點作出平面面的垂線，進進而計算；也也可以利用“三棱錐體積法法”直接求距離；；有時直接利利用已知點求求距離比較困困難時，可以以把點到平面面的距離轉化化為直線到平平面的距離，，從而“轉移”到另一點上去去求“點到平面的距距離”．(2009·江西卷)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩矩形形，，PA⊥平面面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中點O為球心，，AC為直徑的的球面交交PD于點M，交PC于點N.(1)求證：平平面ABM⊥平面PCD；(2)求直線CD與平面ACM所成的角角的大小?。?3)求點N到平面ACM的距離．．解析：方法一：：(1)證明：依依題設知知，AC是所作球球面的直直徑，則AM⊥MC.又因為PA⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥AM.所以AM⊥平面PCD.所以平面面ABM⊥平面PCD.(2)由(1)知，AM⊥PD，又PA＝AD，則M是PD的中點，，方法二：：(1)同方法一一．(2)如圖所示示，建立立空間直直角坐標標系，則A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)：設平面ACM的一個法向量量n＝(x，y，z)，[變式訓練]2.如圖，在直三三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，D、E分別為棱AB、BC的中點，M為棱AA1上的點，二面面角M－DE－A為30°.(1)證明：A1B1⊥C1D；(2)求MA的長，并求點點C到平面MDE的距離．解析：(1)證明：如圖，，連結CD.∵AC＝BC，D為AB的中點，∴AB⊥CD，又C1C⊥平面ABC，∴AB⊥C1D，又A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D.(2)過點A作CE的平行線，交交ED的延長線于F，連接MF.∵D、E分別是AB、BC的中點，∴DE∥AC，又AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE，∵MA⊥平面ABC，∴MF⊥DE，∴∠MFA為二面角M－DE－A的平面角，∠MFA＝30°，此兩類題目實實質是相同的的，都是轉化化成點到平面面的距離來求求解，求距離離的一般步驟驟是：“一作”：即先作出表表示距離的線線段；“二證”：即證明所作作的線段符合合題目的要求求，為所求線線段；“三計算”：即將所求線線段放置在三三角形中，通通過正、余弦弦定理解三角角形求取或利利用等積法求求?。鐖D，在直三三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝AC＝BC＝2，D、E、F分別是AB、AA1、CC1的中點，P是CD上的點．(1)求證：直線線PE∥平面A1BF；(2)求直線PE與平面A1BF的距離．解析：(1)證明：如圖圖，連結DE、CE，(2)由(1)可知，直線線PE與平平面面A1BF的距距離離等等于于兩兩平平行行平平面面EDC與A1BF的距距離離，，即即點點A1到平平面面EDC的距距離離，，亦亦點點A到平平面面EDC的距距離離，，設設點點A到平平面面EDC的距距離離為為h，又CD⊥AB，面面A1ABB1⊥面ABC，且平平面面A1ABB1∩面ABC＝AB.∴CD⊥面A1ABB1，∴CD⊥ED，即△CED為直角三角形形．由VA－EDC＝VE－CAD，[變式訓練]3.如圖所示，在在三棱錐ABC－A1B1C1中，AB＝，，BC＝CA＝AA1＝1，A1點在底面ABC上的射影為O點．(1)O點與B點能否重合？？試證明你的的結論．(2)若O在AC上，求BB1與側面AC1的距離．解析：(1)不能．∵若點O與點B重合，則△A1BA為直角三角形形，并且A1A為斜邊，而由由已知AB＝，，AA1＝1，即AA1<AB，這是不可能能的．(2)∵A1O⊥平面ABC，BC平面ABC，∴A1O⊥BC.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC，而A1O與AC是平面ACC1A1內兩相交直線線，∴BC⊥平面ACC1A1.又∵BB1∥平面ACC1A1，∴BB1與側面ACC1A1的距離即為BC＝1.1．點到平面的的距離是有關關距離問題的的重點，它主主要由兩種方方法求得：(1)用定義，直接接作出這段距距離，經(jīng)論證證再計算．(2)轉化為錐體的的高，用三棱棱錐體積公式式求點到平面面的距離．2．用向量方法法求點到面的的距離一般用用下列方法：：(1)找出點在平面面內的射影的的坐標，轉化化為兩點間的的距離；(2)找出平面的一一個單位法向向量，通過向向量在單位法法向量上的射射影的長度來來求．3．求距離的一一般步驟：“一作”：即先作出表表示距離的線線段(要符合作圖規(guī)規(guī)則，避免隨隨意性)；“二證”：即證明所作作的線段符合合題目的要求求，為所求線線段(證明要符合邏邏輯且推理正正確)；“三計算”：即將所求線線段放置在三三角形中，通通過正、余弦弦定理解三角角形求取或利利用等積法求求?。?．求解解距離離問題題要注注意運運用化化歸與與轉化化思想想：面面面距距離→線面距距離→點面距距離→點點距距離．．通過對對近三三年高高考試試題的的統(tǒng)計計分析析，有有以下下的命命題規(guī)規(guī)律：：1．考查查熱點點：點點面距距．2．考查查形式式：選選擇、、填空空、解解答題題均可可出現(xiàn)現(xiàn)，常常在解解答題題中的的第二二問出出現(xiàn)，，難度度中等等．3．考查查角度度：一是對對點面面距、、線面面距、、面面面距的的考查查，其其中點點面距距是核核心．．二是對對異面面直線線距離離的考考查，，此考考點日日益淡淡化，，只要要求給給出公公垂線線的情情況，，因此此不必必過深深的研研究．．4．命題題趨勢勢：通通過對對空間間距離離的計計算，，加強強轉化化思想想的考考查．．(12分)(2010·重慶卷卷)如圖，，四棱棱錐P－ABCD中，底底面ABCD為矩形形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，，點點E是棱PB的中點．．(1)求直線AD與平面PBC的距離；；(2)若AD＝，，求二面面角A－EC－D的平面角角的余弦弦值．規(guī)范解答答：方法一：：(1)如圖，在在矩形ABCD中，AD∥BC，從而AD∥平面PBC，故直線線AD與平面PBC的距離為為點A到平面PBC的距離.1分因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA＝AB知△PAB為等腰直直角三角角形，又點E是棱PB的中點，，故AE⊥PB.3分又在矩形形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD內的射影影，由三三垂線定定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE.4分從而AE⊥平面PBC，故AE之長即為為直線AD與平面PBC的距離.5分(2)過點D作DF⊥CE，交CE于F，過點F作FG⊥CE，交AC于G，則∠DFG為所求的的二面角角的平面面角.7分由(1)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，方法二：：(1)如右圖，以以A為坐標原點點，射線AB、AD