《高考調(diào)研》高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第六章《平面向量和復(fù)數(shù)》課件63

1．?dāng)?shù)量積的有關(guān)概念①兩個(gè)非零向量a與b，過(guò)O點(diǎn)作＝a，＝b，則

.叫做向量a與b的夾角；范圍是

°.②a與b的夾角為

度時(shí)，叫a⊥b③若a與b的夾角為θ，則a·b＝|a|·|b|cosθ.④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝

.⑤a在b的方向上的投影為|a|cosθ.∠AOB＝θ0°≤θ≤180x1x2＋y1y23．注意①兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)．∴0·a＝0(實(shí)數(shù))而0·a＝0②數(shù)量積不滿足給合律(a·b)·c≠a·(b·c)③a·b中的“·”不能省略．1．(08·陜西卷)關(guān)于平面向量a，b，c，有下列三個(gè)命題：①若a·b＝a·c，則b＝c.②|a·b|＝|a|·|b|?a∥b.③a⊥b?|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|?|a·c|＝|b·c|.⑤非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°.其中真命題的序號(hào)為_(kāi)_____．(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))．答案

②解析

①由數(shù)量積定義a·b＝|a|·|b|·cosθ，若a·b＝a·c則|a|·|b|cosθ＝|a|·|c|cosφ，∴|b|·cosθ＝|c|cosφ即只要b和c在a上的投影相等，則a·b＝a·c②中∵a·b＝|a|·|b|·cosθ，∴由|a·b|＝|a|·|b|及a、b為非零向量可得|cosθ|＝1，∴θ＝0或π，∴a∥b且以上各步均可逆，故命題②是真命題．③中當(dāng)a⊥b時(shí)，將向量a、b的起點(diǎn)確定在同一點(diǎn)，則以向量a、b為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩對(duì)角線長(zhǎng)相等．即有|a＋b|＝|a－b|.反過(guò)來(lái)，若|a＋b|＝|a－b|，則以a、b為鄰邊的四邊形為矩形，所以有a⊥b，因此命題③是真命題．④中當(dāng)|a|＝|b|但a與c的夾角和b與c的夾角不等時(shí)，就有|a·c|≠|(zhì)b·c|，反過(guò)來(lái)由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故命題④是假命題．失分警警示解決向向量問(wèn)問(wèn)題常常常要要數(shù)形形結(jié)合合，a·b等于a乘以b在a方向上上的投投影，，或等等于b乘以a在b方向上上的投投影．．答案B3．若(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求非非零向向量a，b的夾角角的正正弦值值．4．(2010·江西卷卷)已知向向量a，b滿足|b|＝2，a與b的夾角角為60°°，則b在a上的投投影是是________．答案1解析b在a上的投投影是是|b|cos〈〈a，b〉＝2cos60°°＝1.5．(2010·湖南)若非零向量量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C題型一平面向量數(shù)數(shù)量積的運(yùn)運(yùn)算例1(1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a與b的夾角為30°，分別求a·b.【思路分析】根據(jù)非零向向量數(shù)量積積的定義直直接求解即即可，只需需確定其夾夾角θ.【解析】①當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則則它們的的夾角為為0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5××1＝10；若a與b反向，則則它們的的夾角為為180°°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②當(dāng)a⊥b時(shí)，它們們的夾角角為90°，∴a·b＝|a||b|cos90°°＝2×5×0＝0.探究1(1)求平面向向量數(shù)量量積的步步驟是：：①求a與b的夾角θ，θ∈[0°，180°°]；②分別求|a|和|b|；③求數(shù)量積積，即a·b＝|a||b|cosθ，若知道道向量的的坐標(biāo)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則求數(shù)數(shù)量積時(shí)時(shí)用公式式a·b＝x1x2＋y1y2計(jì)算．(2)注意共線時(shí)θ＝0°或180°，垂直時(shí)θ＝90°，三種特殊情情況．思考題1(1)(2010··廣東卷，文)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝()A．6B．5C．4D．3【解析】由題意可得8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30?x＝4.【答案】C題型二向量的夾角思考題2已知|a|＝2，|b|＝1，a與b的夾角為60°，求向量a＋2b與a－b的夾角的余弦弦值．【解析】a·b＝|a||b|cos<a，b>＝1.|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝12；|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3；(a＋2b)·(a－b)＝a2－2b2＋a·b＝3.∴向量a＋2b與a－b的夾角的余弦值題型型三三向量量的的模模例3已知知向向量量a、b滿足足|a|＝6，|b|＝4，且且a與b的夾夾角角為為60°°，求求|a＋b|和|a－3b|.【分析析】本例例題題介介紹紹兩兩種種求求向向量量模模的的方方法法：：(1)利用用|a＋b|2＝(a＋b)··(a＋b)；(2)構(gòu)造造模模型型，，利利用用向向量量的的加加法法和和減減法法求求模模．．【答案案】B題型型四四垂直直問(wèn)問(wèn)題題例4(1)設(shè)向向量量a，b，c滿足足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b.若|a|＝1，則則|a|2＋|b|2＋|c|2的值值是是________．【分析析】由垂垂直直的的充充要要條條件件，，尋尋找找|a|，|b|，|c|之間間的的關(guān)關(guān)系系．．【解析】∵a⊥b，b＝－a－c，∴a·b＝a·(－a－c)＝－|a|2－a·c＝0，∴a·c＝－|a|2＝－1.又∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·c＝0，∴a·c＝b·c＝－1.∵a＝－b－c，∴|a|2＝|b|2＋|c|2＋2b·c，∴|b|2＋|c|2＝|a|2－2b·c＝3，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.探究4垂直問(wèn)題題是一個(gè)個(gè)重要的的知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)，在高高考題中中常常出出現(xiàn)，常常與向量量的模、、向量的的坐標(biāo)表表示等聯(lián)聯(lián)系在一一起，要要特別注注意垂直直與平行行的區(qū)別別．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a⊥b?a1a2＋b1b2＝0，a∥b?a1b2－a2b1＝0.(2)如圖，在在等腰直直角三角角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D為BC的中點(diǎn)，，E是AB上的一點(diǎn)點(diǎn)，且AE＝2EB，求證：：AD⊥CE.思考題4(2011·上海春季季高考)若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，則下列列結(jié)論正正確的是是()A．a(chǎn)·b＝1B．|a|＝|b|C．(a－b)⊥bD．a(chǎn)∥b1．記憶憶向量量的數(shù)數(shù)量積積公式式應(yīng)從從兩個(gè)個(gè)方面面：①定義，，②向量積積的坐坐標(biāo)公公式．．2．向量量的數(shù)數(shù)量積積應(yīng)用用廣泛泛，可可用于于求角角、求求長(zhǎng)度度、證證垂直直等問(wèn)問(wèn)題．．3．注意意數(shù)形形結(jié)合合思想想的應(yīng)應(yīng)用，，如加加、減減運(yùn)算算的幾幾何意意義，，數(shù)量量積的的幾何何意義義——投影．．1．已知知a，b是平面面內(nèi)兩兩個(gè)互互相垂垂直的的單位位向量量，若若向量量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大大值是是________．答案－2解析解法一一如圖所所示，，由題題易得得3．(08·浙江)已知a是平面面內(nèi)的的單位位向量量，若若b滿足b·(a－b)＝0，則|b|的取值值范圍圍是________．答案[0,1]課時(shí)作作業(yè)（（二十十九））1．(2010·山東卷卷，理理)定義平平面向向量之之間的的一種種運(yùn)算算“⊙”如下下：對(duì)對(duì)任意意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面說(shuō)法錯(cuò)錯(cuò)誤的是()A．若a與b共線，則a⊙b＝0B．a(chǎn)⊙b＝b⊙a(bǔ)C．對(duì)任意的的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2答案B解析根據(jù)題意可可知若a，b共線，可得得mq＝np，所以a⊙b＝mq－np＝0，所所以以A正確確．．因因?yàn)闉閍⊙b＝mq－np，則則b⊙a(bǔ)＝