【優(yōu)化方案】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章5.3等比數(shù)列課件 文 北師大

§5.3等比數(shù)列

§5.3等比數(shù)列考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對(duì)高考雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．等比數(shù)列的相關(guān)概念及公式相關(guān)名詞等比數(shù)列{an}的相關(guān)概念及公式定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于__________，那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比．同一個(gè)常數(shù)相關(guān)名詞等比數(shù)列{an}的相關(guān)概念及公式通項(xiàng)公式an＝_______等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使得a，G，b成________，那么稱G為a、b的等比中項(xiàng)，且有G＝________.前n項(xiàng)和公式

Sn＝

_________________________a1qn－1等比數(shù)列思考感悟1．b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的什么條件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的必要不充分條件，因?yàn)楫?dāng)b＝0，a，c至少有一個(gè)為零時(shí)，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，則必有b2＝ac.2．等比數(shù)列的性質(zhì)(1)等比數(shù)列{an}滿足________________時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；滿足_________________時(shí)，{an}是遞減數(shù)列．(2)有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積____．特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，還等于______的平方．(3)對(duì)任意正整數(shù)m、n、p、q，若m＋n＝p＋q，則___________.特別地，若m＋n＝2p，則________.相等中間項(xiàng)am·an＝ap·aqa＝am·an思考感悟2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝aqn＋b(a，b∈R)，{an}是等比數(shù)列，則a，b滿足的條件是什么？課前熱身1．在等比數(shù)列{an}中，a5＝3，則a3·a7等于(

)A．3

B．6C．9 D．18答案：C2．(2011年南陽(yáng)調(diào)研)設(shè)a1＝2，數(shù)列{an＋1}是以3為公比的等比數(shù)列，則a4的值為(

)A．80 B．81C．54 D．53答案：A3．(2010年高考重慶卷)在等比數(shù)列{an}中，a2010＝8a2007，則公比q的值為(

)A．2 B．3C．4 D．8答案：A4．(教材習(xí)題改編)設(shè){an}是等比數(shù)列，a1＝2，a8＝256，則a2＋a3＝________.答案：125．若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，則Sn＝________.答案：2n－1考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一等比數(shù)列的判定及證明證明一個(gè)個(gè)數(shù)列是是等比數(shù)數(shù)列的方方法主要要有兩種種：一是是利用等等比數(shù)列列的定義義，即證證明＝q(q≠0，n∈N＋)；二是利利用等比比中項(xiàng)法法，即證證明a＝anan＋2≠0(n∈N＋)．在解題題中，要要注意根根據(jù)欲證證明的問問題，對(duì)對(duì)給出的的條件式式進(jìn)行合合理地變變形整理理，構(gòu)造造出符合合等比數(shù)數(shù)列定義義式的形形式，從從而證明明結(jié)論．．判斷一一個(gè)數(shù)列列不是等等比數(shù)列列只需舉舉出一個(gè)個(gè)反例即即可．例1(2009年高考全全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：：數(shù)列{bn}是等比數(shù)數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公公式．【思路點(diǎn)撥撥】本題第(1)問將an＋2＝Sn＋2－Sn＋1代入可以以得到an的遞推式式，再由由bn＝an＋1－2an代入即證證；第(2)問將bn的通項(xiàng)公公式代入入bn＝an＋1－2an，可得an的遞推式式，再依依照題型型模式求求解即可可．【解】(1)證明：由由已知有有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．．考點(diǎn)二等比數(shù)列中基本量的計(jì)算等比數(shù)列基本本量的計(jì)算是是等比數(shù)列中中的一類基本本問題，解決決此類問題的的關(guān)鍵是熟練練掌握等比數(shù)數(shù)列的有關(guān)公公式，并靈活活運(yùn)用，在運(yùn)運(yùn)算過程中，，還應(yīng)善于運(yùn)運(yùn)用整體代換換思想簡(jiǎn)化運(yùn)運(yùn)算的過程．．尤其要注意意的是，在使使用等比數(shù)列列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，，應(yīng)根據(jù)公比比q的情況進(jìn)行分分類討論．例2(1)(2A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1C．(－2)n D．－(－2)n(2)(2010年高考遼寧卷)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，則公比q＝(

)A．3 B．4C．5 D．6【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，建建立關(guān)于首項(xiàng)項(xiàng)a1和公比q的方程組求解解．【答案】(1)A(2)B(3)B【名師點(diǎn)評(píng)】等比數(shù)列中有有五個(gè)量a1、n、q、an、Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程程(組)求解．變式訓(xùn)練1數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，數(shù)列{an·an＋1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列列．(1)求使anan＋1＋an＋1an＋2>an＋2an＋3(n∈N＋)成立的q的取值范圍圍；(2)若bn＝a2n－1＋a2n(n∈N＋)，求{bn}的通項(xiàng)公式式．考點(diǎn)三等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及其性質(zhì)等比數(shù)列的的性質(zhì)可以以分為三類類：一是通通項(xiàng)公式的的變形，二二是等比中中項(xiàng)的變形形，三是前前n項(xiàng)和公式的的變形，根根據(jù)題目條條件，認(rèn)真真分析，發(fā)發(fā)現(xiàn)具體的的變化特征征即可找出出解決問題題的突破口口．例3(2011年南陽(yáng)調(diào)研研)在等比數(shù)列列{an}中，a1最小，且a1＋an＝66，a2·an－1＝128，前n項(xiàng)和Sn＝126，(1)求公公比比q；(2)求n.【思路路點(diǎn)點(diǎn)撥撥】根據(jù)據(jù)等等比比數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì)，，a2·an－1＝a1·an，由由此此可可得得關(guān)關(guān)于于a1、an的方方程程，，結(jié)結(jié)合合Sn＝126可求求得得q和n.考點(diǎn)四等比數(shù)列的綜合問題在解解決決等等差差、、等等比比數(shù)數(shù)列列的的綜綜合合題題時(shí)時(shí)，，重重點(diǎn)點(diǎn)在在于于讀讀懂懂題題意意，，而而正正確確利利用用等等差差、、等等比比數(shù)數(shù)列列的的定定義義、、通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式及及前前n項(xiàng)和和公公式式是是解解決決問問題題的的關(guān)關(guān)鍵鍵．．例4【思路路點(diǎn)點(diǎn)撥撥】對(duì)于于(1)，根根據(jù)據(jù)an與Sn的關(guān)關(guān)系系可可求求得得k的值值，，從從而而得得到到{an}的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式；；對(duì)對(duì)于于(2)，可可先先求求出出{bn}的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式，，然然后后用用錯(cuò)錯(cuò)位位相相減減法法求求出出Tn，再再結(jié)結(jié)合合Tn的單單調(diào)調(diào)性性證證明明不不等等式式．．【失誤誤點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)】本題題易易弄弄不不清清“錯(cuò)位位相相減減”的項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)而而致致使使解解答答錯(cuò)錯(cuò)誤誤．．解：：(1)因?yàn)闉閷?duì)對(duì)任任意意的的n∈N＋，點(diǎn)點(diǎn)(n，Sn)均在在函函數(shù)數(shù)y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均為為常常數(shù)數(shù))的圖圖像像上上．．所所以以得得Sn＝bn＋r，當(dāng)n＝1時(shí)，，a1＝S1＝b＋r，當(dāng)n≥2時(shí)，，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1，又因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，，所以r＝－1，公比為b，所以an＝(b－1)bn－1，方法感悟方法技巧2．方程觀點(diǎn)以以及基本量(首項(xiàng)和公比a1，q)思想仍然是求求解等比數(shù)列列問題的基本本方法：在a1，q，n，an，Sn五個(gè)量中，知知三求二．(如例2)3．等比數(shù)列的的性質(zhì)是等比比數(shù)列的定義義、通項(xiàng)公式式以及前n項(xiàng)和公式等基基礎(chǔ)知識(shí)的推推廣與變形，，熟練掌握和和靈活應(yīng)用這這些性質(zhì)可以以有效、方便便、快捷地解解決許多等比比數(shù)列問題．．(如例3)4．解決等比數(shù)數(shù)列的綜合問問題時(shí)，首先先要深刻理解解等比數(shù)列的的定義，能夠夠用定義法或或等比中項(xiàng)法法判斷或證明明一個(gè)數(shù)列是是等比數(shù)列；；其次要熟練練掌握等比數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)公公式與前n項(xiàng)和公式，能能夠用基本量量方法和等比比數(shù)列的性質(zhì)質(zhì)解決有關(guān)問問題．(如例4)5．Sn＋m＝Sn＋qnSm.失誤防范1．把等比數(shù)列列與等差數(shù)列列的概念和性性質(zhì)進(jìn)行類比比，可以加深深理解，提高高記憶效率．．注意三點(diǎn)：：(1)等比數(shù)列的任任何一項(xiàng)都不不能為0，公比也不為為0；(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式在q＝1和q≠1的情況下是不不同的；(3)等比數(shù)列可看看作是比等差差數(shù)列高一級(jí)級(jí)的運(yùn)算，一般等差數(shù)列列中的“和”、“差”、“積”形式類比到等等比數(shù)列中就就變成“積”、“商”、“冪”的形式．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即即斷言{an}為等比數(shù)列，，還要驗(yàn)證a1≠0.考情分析考向瞭望?把脈高考等比數(shù)列是每每年高考必考考的知識(shí)點(diǎn)之之一，考查重重點(diǎn)是等比數(shù)數(shù)列的定義、、通項(xiàng)公式、、性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式，題題型既有選擇擇題、填空題題，也有解答答題，難度中中等偏高．客客觀題主要考考查對(duì)基本運(yùn)運(yùn)算，基本概概念的掌握程度；；主觀題考查查較為全面，，在考查基本本運(yùn)算，基本本概念的基礎(chǔ)礎(chǔ)上，又注重重考查函數(shù)與與方程、等價(jià)價(jià)轉(zhuǎn)化等思想想方法．預(yù)測(cè)2012年高考，等比比數(shù)列的定義義、性質(zhì)、通通項(xiàng)公式、前前n項(xiàng)和公式仍是是考查重點(diǎn)，，應(yīng)特別重視視等比數(shù)列性性質(zhì)的應(yīng)用．．規(guī)范解答例(本題滿滿分12分)(2010年高考考四川川卷)已知等等差數(shù)數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為為6，前8項(xiàng)和為