【名師一號(hào)】高中數(shù)學(xué) 4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用課件 新人教A必修2

4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

11.掌握直線方程?圓的方程,進(jìn)一步提高知識(shí)運(yùn)用能力.2.掌握用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的基本思想及其解題過(guò)程.2在掌握直線方程與圓方程的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提高知識(shí)運(yùn)用能力,領(lǐng)會(huì)將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的過(guò)程,即由坐標(biāo)方法解決平面幾何問(wèn)題.一般來(lái)說(shuō)此類問(wèn)題分為如下三步:第一步:______________________,用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.第二步:通過(guò)__________,解決代數(shù)問(wèn)題.第三步:把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論. 注意:______________方法的靈活運(yùn)用.

建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系代數(shù)運(yùn)算數(shù)形結(jié)合思想31.用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的方法步驟:(俗稱“三步曲”)第一步:根據(jù)題目的特點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,一般坐標(biāo)原點(diǎn)選在線段的中點(diǎn),幾何圖形的對(duì)稱中心等.建立坐標(biāo)系適當(dāng),可使問(wèn)題簡(jiǎn)化.用坐標(biāo)和方程表示幾何問(wèn)題中的元素.將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.第二步:用代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問(wèn)題.第三步:把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.2.要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.對(duì)于一些代數(shù)問(wèn)題,根據(jù)其幾何意義,可用幾何方法解決.4題型一數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用例1:(1)方程表示的曲線是什么?(2)若方程有解,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解:(1)等價(jià)于x2+y2=9(y≥0),∴表示半圓,即以原點(diǎn)為圓心,3為半徑的圓在x軸上方的半圓(包括兩個(gè)端點(diǎn)).5

(2)方程有解,即半圓與直線y=x+b有交點(diǎn)(如下圖).易求出,當(dāng)-3≤b≤3時(shí),方程有解.6變式訓(xùn)練1:(2008·全國(guó)卷)若直線與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),則()A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥17答案:D8題型二用坐標(biāo)法求圓的方程例2:如下圖所示,點(diǎn)M是弓形弧的中點(diǎn),弦|OA|=8,弓形的高為2m,求此弧所在圓的方程.分析:只需要求圓心坐標(biāo)及半徑即可.9解:設(shè)圓心坐標(biāo)為(4,b),圓的半徑為r,那么圓的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2.由于原點(diǎn)O(0,0)和圓弧最高點(diǎn)M(4,2)也在圓上解得:b=-3,r2=25.所以圓的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.10規(guī)律技巧:本本題也可以選選取弦OA的的中點(diǎn)為坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)建立直直角坐標(biāo),可求得得此弧所在圓圓的方程為x2+(y+3)2=25.由此此看來(lái),建立的坐標(biāo)系不不同,所求得得的方程不同同.11變式訓(xùn)練2:如圖,圓O1和圓O2的半徑都等于于1,O1O2=4,過(guò)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)P分別作圓O1,圓O2的切線PM??PN(M,N分別為切切點(diǎn)),使得得,建立平面直直角坐標(biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程程.12解:以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為坐坐標(biāo)原點(diǎn),O1O2所在直線為x軸,建立直直角坐標(biāo)系如圖圖所示,則O1(-2,0),O2(2,0).13由已知得得PM2=2PN2,因?yàn)閳A的半徑徑為1,所以以:PO21-1=2(PO22-1),設(shè)P(x,y),則(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33.故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程程為(x-6)2+y2=33.14題型三與與圓有關(guān)的綜綜合問(wèn)題例3:已知△△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,點(diǎn)P是△△ABO內(nèi)切切圓上一點(diǎn),求以|PA|?|PB|?|PO|為直徑的的三個(gè)圓面積積之和的最大大值與最小值值.分析:三個(gè)圓圓面積之和的的最值問(wèn)題實(shí)實(shí)質(zhì)上是求|PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.由于P是△ABO內(nèi)切圓圓上的點(diǎn),若若想找到P點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo),必須須先從△ABO內(nèi)切圓的的方程入手.15解:如下圖,建立直角坐坐標(biāo)系,使A?B?O三三點(diǎn)的坐標(biāo)分分別為A(4,0)?B(0,3)?O(0,0).16易求得△ABO的內(nèi)切點(diǎn)點(diǎn)半徑r=1,圓心(1,1).故內(nèi)切圓的方方程是(x-1)2+(y-1)2=1.化簡(jiǎn)為x2+y2-2x-2y+1=0,①設(shè)P(x,y),則|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25.②②17由①可知x2+y2-2y=2x-1,將其代入②有有|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.∵x∈[0,2],故|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值為22,最小值值為18,三三個(gè)圓面積之之和為∴所求面積的的最大值為最最小值為18規(guī)律技巧:選選定原點(diǎn),建建立恰當(dāng)?shù)闹敝苯亲鴺?biāo)系,可以簡(jiǎn)化幾幾何問(wèn)題,將幾何問(wèn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代代數(shù)問(wèn)題.19變式訓(xùn)練3:一艘輪船沿沿直線返回港港口的途中,接到氣象臺(tái)臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào),臺(tái)臺(tái)風(fēng)中心位于于輪船正西70km處處,受影響的的范圍是半徑為30km的圓形形區(qū)域,已知知港口位于臺(tái)臺(tái)風(fēng)中心的正正北40km處,如果果這艘船不改改變航線,那那么它是否會(huì)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的的影響?20解:如圖所示示:21以臺(tái)風(fēng)中心為為坐標(biāo)原點(diǎn),以正東方向向?yàn)閤軸正方方向建立直角角坐標(biāo)系,其中取取10km為單位長(zhǎng)度度,則受臺(tái)風(fēng)風(fēng)影響的圓形形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的方程為為x2+y2=9,港口所所在位置的坐坐標(biāo)(0,4),輪船的的位置坐標(biāo)(7,0),則輪船船航線所在直直線方程為即4x+7y-28=0,圓心到直直線的距離而r=3,∴d>r,∴直直線與圓相離離,所以輪船船不會(huì)受到臺(tái)臺(tái)風(fēng)影響.22易錯(cuò)探究例4:已知圓圓x2+y2+2x+2y+1=0,x2+y2-6x+8y+9=0,求兩圓的位位置關(guān)系.得4x-3y-4=0,即代入x2+y2+2x+2y+1=0,并整理得25x2+10x+1=0.∵Δ=100-4×25=0,∴兩圓只有一一個(gè)公共點(diǎn),故兩圓相切切.23錯(cuò)因分析:兩兩圓方程聯(lián)立立,Δ=0說(shuō)說(shuō)明兩圓只有有一個(gè)公共點(diǎn)點(diǎn),此時(shí)兩圓圓有可能外切切,也有可能能內(nèi)切.正解:把兩圓圓的方程分別別配方,化為為標(biāo)準(zhǔn)方程為為(x+1)2+(y+1)2=1,(x-3)2+(y+4)2=16,∴兩圓心坐標(biāo)標(biāo)C1(-1,-1),C2(3,-4),半徑r1=1,r2=4.∴圓心距|C1C2|==5=r1+r2.∴兩圓相外外切.24技能演練練(學(xué)生用用書P95)25基礎(chǔ)強(qiáng)化1.已知直線線ax-by+c=0(abc≠0),與圓x2+y2=1相切,則則三條邊長(zhǎng)分分別為|a|,|b|,|c|的三三角形()A.是銳角三三角形B.是直角三三角形C.是鈍角三三角形D.不存在在解析:直線與與圓相切,則則∴a2+b2=c2.答案:B262.已知點(diǎn)A?B分別在在兩圓x2+(y-1)2=1與(x-2)2+(y-5)2=9上,則A?B兩點(diǎn)之之間的最短距距離為()解析:兩圓心心之間的距離離為∴兩圓相離,∴A、B兩兩點(diǎn)之間的最最短距離為答案:C273.方程x(x2+y2-1)=0和和x2-(x2+y2-1)2=0表示的圖圖形是()A.都是兩個(gè)個(gè)點(diǎn)B.一條直線線和一個(gè)圓C.前者是一一條直線和一一個(gè)圓,后者者是兩個(gè)圓D.前者為兩兩個(gè)點(diǎn),后者者是一條直線線和一個(gè)圓28解析:x(x2+y2-1)=0x=0或或x2+y2-1=0,則則它表示一條條直線x=0和一個(gè)圓x2+y2=1;x2-(x2+y2-1)2=0(x+x2+y2-1)(x-x2-y2+1)=0,∴x+x2+y2-1=0或x-x2-y2+1=0,即它表示兩個(gè)圓圓.因此,選選C.答案:C294.過(guò)原點(diǎn)的的直線與圓x2+y2+4x+3=0相切,若若切點(diǎn)在第三三象限,則該該直線的方程程是()解析:設(shè)切線線方程為y=kx,圓的的方程化為(x+2)2+y2=1,而圓心心(-2,0)到直線y=kx的距距離為1,∴又∵切點(diǎn)在第第三象限,∴∴答案:C305.(2007·重慶)若直線y=kx+1與與圓x2+y2=1相交于P?Q兩點(diǎn),且∠POQ=120°°(其中O為為原點(diǎn)),則則k的值為()解析:∵∠POQ=120°,∴點(diǎn)點(diǎn)O到直線y=kx+1的距離又答案:A316.(2007·湖南)圓心為(1,1)且與與直線x+y=4相切的的圓的方程是是___________________.解析:半徑則圓的方程為為(x-1)2+(y-1)2=2.(x-1)2+(y-1)2=2327.兩圓x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,則實(shí)數(shù)a的的值為_____________________.解析:當(dāng)兩圓圓內(nèi)切時(shí)有=4,∴a=0.當(dāng)兩圓外切時(shí)時(shí),有∴∴a=±±338.與圓x2+y2=4切于點(diǎn)的的切切線方程為__________.解析:圓心(0,0),∴切線的斜率率又又切點(diǎn)為為∴切線方程為為即34能力提升9.已知圓C:(x-2)2+y2=2.(1)求與圓圓C相切,且且在x軸?y軸上截距相相等的直線方方程;(2)從圓C外一點(diǎn)P作作圓C的一條條切線,切點(diǎn)點(diǎn)為M,O為為坐標(biāo)原點(diǎn),且|PM|=|PO|,求使|PM|最小時(shí)時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)標(biāo).35解:(1)設(shè)設(shè)橫?縱截距距相等的切線線方程為kx-y=0,與x+y+c=0,則與解解得得k=±1,c=-4或或c=0.故切線方程為為x+y=0,x-y=0,x+y-4=0.(2)設(shè)P(x,y),由|PM|=|PO|,得化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的的軌跡為直線線要要使|PM|最小,即要使|PO|最小,過(guò)O作直線線的的垂線.∴垂垂足是是所所要求的點(diǎn).3610.已知實(shí)實(shí)數(shù)x,y滿滿足方程x2+y2-4x+1=0,(1)求的的最值;(2)求y-x的最值;(3)求x2+y2的最值.解:(1)∵∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方方程為(x-2)2+y2=3,其圓心心為(2,0),半徑為為設(shè)設(shè)即即y=kx.當(dāng)直線y=kx與圓相切切時(shí),斜率k取最大值和和最小值.此此時(shí)解得k=±∴的的最大大值為最最小值為37(2)設(shè)y-x=b,即即y=x+b.當(dāng)y=x+b與圓相相切時(shí),縱截截距b取得最最大值和最小小值,此時(shí)即b=-2±±∴∴y-x的最最大值為最最小小值為-2-(3)x2+y2表示圓上一點(diǎn)點(diǎn)與原點(diǎn)距離離的平方,由由平面幾何知知識(shí)可知,它它在過(guò)原點(diǎn)的的連心線與圓圓的交點(diǎn)處取取得最大值和和最小值.又又圓心到原點(diǎn)點(diǎn)的距離為2,∴x2+y2的最大值為最最小小值為38品味高考考(學(xué)生用用書P95)3911.