《奇偶性的應用》設計

第2課時奇偶性的應用【教學目標】1.會根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)值或解析式．2．能利用函數(shù)的奇偶性與單調性分析、解決較簡單的問題.3.利用奇偶性求函數(shù)的解析式，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．4．借助奇偶性與單調性的應用提升邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng).【教學重點】會根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)值或解析式．【教學難點】能利用函數(shù)的奇偶性與單調性分析、解決較簡單的問題.【教學過程】例題講解【例1】(1)函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；(2)設f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式．[思路點撥](1)eq\x(設x<0，則－x>0)eq\o(→,\s\up15(當x>0),\s\do15(fx＝－x＋1))eq\x(求f－x)eq\o(→,\s\up15(奇函數(shù)))eq\x(得x<0時fx的解析式)eq\o(→,\s\up15(奇函數(shù)),\s\do15(的性質))eq\x(f0＝0)eq\o(→,\s\up15(分段函數(shù)))eq\x(fx的解析式)(2)eq\x(fx＋gx＝\f(1,x－1))eq\o(→,\s\up15(用－x代式中x))eq\x(得f－x＋g－x＝\f(1,－x－1))eq\o(→,\s\up15(奇偶性))eq\x(得fx－gx＝－\f(1,x＋1))eq\o(→,\s\up15(解方程組))eq\x(\a\al(得fx，gx,的解析式))[解](1)設x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴當x<0時，f(x)＝－x－1.又x＝0時，f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1，x<0，,0，x＝0，,－x＋1，x>0.))(2)∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．由f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，∴f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1)，②(①＋②)÷2，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)；(①－②)÷2，得g(x)＝eq\f(x,x2－1).把本例(2)的條件“f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)”改為“f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)”，再求f(x)，g(x)的解析式．[解]∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，即f(x)－g(x)＝eq\f(1,x＋1).②聯(lián)立①②得f(x)＝eq\f(x,x2－1)，g(x)＝eq\f(1,x2－1).方法總結利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法1“求誰設誰”，既在哪個區(qū)間上求解析式，x就應在哪個區(qū)間上設.2要利用已知區(qū)間的解析式進行代入.3利用fx的奇偶性寫出－fx或f－x，從而解出fx.提醒：若函數(shù)fx的定義域內含0且為奇函數(shù)，則必有f0＝0，但若為偶函數(shù)，未必有f0＝0.函數(shù)單調性和奇偶性的綜合問題[探究問題]1．如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調遞增，那么f(x)在(－b，－a)上的單調性如何？如果偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調遞減，那么f(x)在(－b，－a)上的單調性如何？提示：如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調遞增，那么f(x)在(－b，－a)上單調遞增；如果偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調遞減，那么f(x)在(－b，－a)上單調遞增．2．你能否把上述問題所得出的結論用一句話概括出來？提示：奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反．3．若偶函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調遞增，那么f(3)和f(－2)的大小關系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么結論？提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，則|a|<|b|.角度一比較大小問題【例2】函數(shù)y＝f(x)在[0,2]上單調遞增，且函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，則下列結論成立的是()A．f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2))) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))[思路點撥]eq\x(y＝fx＋2是偶函數(shù))→eq\x(fx的圖象關于x＝2對稱)eq\o(→,\s\up15([0，2]上),\s\do15(遞增))eq\x(比較大小)B[∵函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，∴函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，又f(x)在[0,2]上單調遞增，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))).]方法總結比較大小的求解策略,看自變量是否在同一單調區(qū)間上.1在同一單調區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調性比較大??；2不在同一單調區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉化到同一單調區(qū)間上，然后利用單調性比較大小.課堂練習1．設偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是()A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)A[由偶函數(shù)與單調性的關系知，若x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，則x∈(－∞，0)時，f(x)是減函數(shù)，故其圖象的幾何特征是自變量的絕對值越小，則其函數(shù)值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故選A.]角度二解不等式問題【例3】已知定義在[－2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù)，若f(1－m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍．[解]因為f(x)在區(qū)間[－2,2]上為奇函數(shù)，且在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù)，所以f(x)在[－2,2]上為減函數(shù)．又f(1－m)<f(m)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,1－m>m，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m<\f(1,2).))解得－1≤m<eq\f(1,2).故實數(shù)m的取值范圍是－1≤m<eq\f(1,2).方法總結解有關奇函數(shù)fx的不等式fa＋fb<0，先將fa＋fb<0變形為fa<－fb＝f－b，再利用fx的單調性去掉“f”，化為關于a，b的不等式.另外，要特別注意函數(shù)的定義域.,由于偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性相反，所以我們要利用偶函數(shù)的性質fx＝f|x|＝f－|x|將fgx中的gx全部化到同一個單調區(qū)間內，再利用單調性去掉符號f，使不等式得解.課堂練習2．函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，f(3)<f(2a＋1)，則aA．a>1 B．a<－2C．a>1或a<－2 D．－1<a<2C[因為函數(shù)f(x)在實數(shù)集上是偶函數(shù)，且f(3)<f(2a＋1)，所以f(3)<f(|2a＋1|)，又函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以3<|2a＋1|，解之得a>1或a<－2.故選課堂小結1．具有奇偶性的函數(shù)的單調性的特點(1)奇函數(shù)在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的單調性．(2)偶