廣東省深圳市布心中學中考復習壓軸題訓練

廣東省深圳市布心中學中考復習壓軸題訓練一．選擇題（共8小題）1．如圖，扇形AOD中，∠AOD＝90°，OA＝6，點P為弧AD上任意一點（不與點A和D重合），PQ⊥OD于Q，點I為△OPQ的內心，過O，I和D三點的圓的半徑為r．則當點P在弧AD上運動時，r的值滿足（）A．0＜r＜3 B．r＝3 C．3＜r＜3 D．r＝32．如圖，在⊙O中，弦AD等于半徑，B為優(yōu)弧AD上的一動點，等腰△ABC的底邊BC所在直線經過點D．若⊙O的半徑等于1，則OC的長不可能為（）A．2﹣ B． C．2 D．+13．如圖，直徑AB，CD的夾角為60°，P為⊙O上的一個動點（不與點A，B，C，D重合）．PM，PN分別垂直于CD，AB，垂足分別為M，N．若⊙O的半徑長為2，則MN的長（）A．隨P點運動而變化，最大值為 B．等于 C．隨P點運動而變化，最小值為 D．隨P點運動而變化，沒有最值4．如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，點E為⊙G上一動點，CF⊥AE于F．當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為（）A． B． C． D．5．如圖，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O與AB相切，分別交OA、OB于N、M，以PB為直角邊作等腰Rt△BPQ，點P在弧MN上由點M運動到點N，則點Q運動的路徑長為（）A． B． C． D．6．已知⊙O，AB是直徑，AB＝4，弦CD⊥AB且過OB的中點，P是劣弧BC上一動點，DF垂直AP于F，則P從C運動到B的過程中，F(xiàn)運動的路徑長度（）A．π B． C．π D．27．如圖，正方形OABC的邊長為2，以O為圓心，EF為直徑的半圓經過點A，連接AE，CF相交于點P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開始，繞著點O逆時針旋轉90°，交點P運動的路徑長是（）A．2π B．π C．3 D．48．正方形ABCD的邊長為4，P為BC邊上的動點，連接AP，作PQ⊥PA交CD邊于點Q．當點P從B運動到C時，線段AQ的中點M所經過的路徑長（）A．2 B．1 C．4 D．二．填空題（共13小題）9．如圖，已知線段AB＝8，O為AB的中點，P是平面內的一個動點，在運動過程中保持OP＝2不變，連接BP，將PB繞點P逆時針旋轉90°到PC，連接BC、AC，則線段AC長的最大值是．10．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB的長為2，以AB為直徑作⊙M，點C是優(yōu)弧上的一個動點，連接AC、BC，分別交⊙M于點D、E，則線段CD的最大值為．11．如圖，已知AB＝10，P是線段AB上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊△ACP和△PDB，連接CD，設CD的中點為G，當點P從點A運動到點B時，則點G移動路徑的長是．12．如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是．13．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經過的路線長為．14．已知線段AB＝8，C、D是AB上兩點，且AC＝2，BD＝4，P是線段CD上一動點，在AB同側分別作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M為線段EF的中點，若∠AEP＝∠BFP，則當點P由點C移動到點D時，點M移動的路徑長度為．15．已知線段AB＝12，C、D是AB上兩點，且AC＝DB＝2，P是線段CD上一動點，在AB同側分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點，點P由點C移動到點D時，G點移動的路徑長度為16．已知線段AB＝10，C．D是AB上兩點，且AC＝DB＝2，P是線段CD上一動點，在AB同側分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點，點P由點C移動到點D時，G點移動的路徑長度為．17．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E在邊AD上，且AE：ED＝1：3．動點P從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止．過點E作EF⊥PE交射線BC于點F，設M是線段EF的中點，則在點P運動的整個過程中，點M運動路線的長為．18．如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝3，弧AC的度數(shù)是60°，P為弧BC上一動點，延長AP到點Q，使AP?AQ＝AB2．若點P由B運動到C，則點Q運動的路徑長為．19．如圖，已知點A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），動點P在線段AB上，點P、C、M按逆時針順序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，當點P從點A運動到點B時，則點M運動的路徑長為．20．如圖，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分別是AB，BC上的動點，且PQ＝AD，點M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，當P從點A運動到點B時，M運動的路徑長為．21．如圖，P為邊長為2的正方形ABCD的邊BC上一動點，將線段DP繞P逆時針旋轉90°得到線段PE（E為D的對應點），M為線段PE的中點，當點P從點C運動到點B的過程中，點M的運動路徑長為三．解答題（共4小題）22．在平面直角坐標系中，A（2，0）、B（0，3），過點B作直線∥x軸，點P（a，3）是直線上的動點，以AP為邊在AP右側作等腰Rt△APQ，∠APQ＝90°，直線AQ交y軸于點C（1）當a＝1時，①求點Q的坐標和直線AQ的解析式；②點m在直線AQ上，點N為平面直角坐標系內，x軸下方一點，當以O、C、M、N為頂點的四邊形是菱形時，求所有符合條件的點N的坐標，直接寫出答案．（2）當點P在直線l上運動時，點Q也隨之運動．①求點Q運動路線對應的解析式；②當AQ+BQ的值最小時求a的值，直接寫出答案．23．如圖①，直角三角形AOB中，∠AOB＝90°，AB平行于x軸，OA＝2OB，AB＝5，反比例函數(shù)y＝（x＞0）經過點A．（1）k＝；（2）如圖②，點P（x，y）中的反比例函數(shù)圖象上，其中1＜x＜8，連接OP，過點O作OQ⊥OP，且OP＝2OQ，連接PQ，設點Q坐標為（m，n），求n與m的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量m的取值范圍．（3）在（2）的條件下，若點Q坐標為（m，1），求△POQ的面積．24．如圖1，已知拋物線y＝x2+bx+c經過原點O，它的對稱軸是直線x＝2，動點P從拋物線的頂點A出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向上運動，設動點P運動的時間為t秒，連接OP并延長交拋物線于點B，連接OA，AB．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）當△AOB為直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，⊙M為△AOB的外接圓，在點P的運動過程中，點M也隨之運動變化，請你探究：在1≤t≤5時，求點M經過的路徑長度．25．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A'B'C．（1）如圖1，當AB∥CB'時，設A'B'與CB相交于點D，求證：△A'CD是等邊三角形．（2）若E為AC的中點，P為A'B'的中點，則EP的最大值是多少，這時旋轉角θ為多少度．

2021年廣東省深圳市布心中學中考復習壓軸題訓練參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．如圖，扇形AOD中，∠AOD＝90°，OA＝6，點P為弧AD上任意一點（不與點A和D重合），PQ⊥OD于Q，點I為△OPQ的內心，過O，I和D三點的圓的半徑為r．則當點P在弧AD上運動時，r的值滿足（）A．0＜r＜3 B．r＝3 C．3＜r＜3 D．r＝3【解答】解：如圖，連OI，PI，DI，∵△OPH的內心為I，∴∠IOP＝∠IOD，∠IPO＝∠IPH，∴∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP＝180°﹣（∠HOP+∠OPH），而PH⊥OD，即∠PHO＝90°，∴∠PIO＝180°﹣（∠HOP+∠OPH）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，在△OPI和△ODI中，，∴△OPI≌△ODI（SAS），∴∠DIO＝∠PIO＝135°，所以點I在以OD為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；過D、I、O三點作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，在優(yōu)弧DO取點P′，連P′D，P′O，∵∠DIO＝135°，∴∠DP′O＝180°﹣135°＝45°，∴∠DO′O＝90°，而OD＝6，∴OO′＝DO′＝3，∴r的值為3．故選：D．2．如圖，在⊙O中，弦AD等于半徑，B為優(yōu)弧AD上的一動點，等腰△ABC的底邊BC所在直線經過點D．若⊙O的半徑等于1，則OC的長不可能為（）A．2﹣ B． C．2 D．+1【解答】解：如圖1，連接OA、OD，則△OAD為等邊三角形，邊長為1．作點O關于AD的對稱點O′，連接O′A、O′D，則△O′AD也是等邊三角形，邊長為半徑1，∴OO′＝×2＝．由題意可知，∠ACB＝∠ABC＝∠AOD＝30°，∴∠ACB＝∠AO′D，∴點C在半徑為1的⊙O′上運動．由圖可知，OC長度的取值范圍是：＜OC≤+1．故選：A．3．如圖，直徑AB，CD的夾角為60°，P為⊙O上的一個動點（不與點A，B，C，D重合）．PM，PN分別垂直于CD，AB，垂足分別為M，N．若⊙O的半徑長為2，則MN的長（）A．隨P點運動而變化，最大值為 B．等于 C．隨P點運動而變化，最小值為 D．隨P點運動而變化，沒有最值【解答】解：如圖，當PM⊥CD于圓心O時，延長PM交圓與點E，PN⊥AB，延長PN交圓于點F，連接EF，根據(jù)垂徑定理，MN＝EF，∵∠AOC＝120°，PM⊥CD，∴∠PMN＝30°，∠P＝60°，在Rt△PEF中，PE＝4，則EF＝2，∴MN＝，點P移動時，由題意，∠P＝60°，根據(jù)在同圓中，圓周角相等，所對的弧相等，弦也相等，即弦長為2，∴MN＝，故選：B．4．如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，點E為⊙G上一動點，CF⊥AE于F．當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為（）A． B． C． D．【解答】解：連接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O為AB的中點，即AO＝BO＝AB，∵G（0，1），即OG＝1，∴在Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理得：AO＝＝，∴AB＝2AO＝2，又CO＝CG+GO＝2+1＝3，∴在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC＝＝2，∵CF⊥AE，∴△ACF始終是直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半圓，當E位于點B時，CO⊥AE，此時F與O重合；當E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，∴當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∴度數(shù)為60°，∵直徑AC＝2，∴的長為＝π，則當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長π．故選：B．5．如圖，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O與AB相切，分別交OA、OB于N、M，以PB為直角邊作等腰Rt△BPQ，點P在弧MN上由點M運動到點N，則點Q運動的路徑長為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接OP，AQ，設⊙O與AB相切于C，連接OC，則OC⊥AB，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，∵△ABO和△QBP均為等腰直角三角形，∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，∴＝，∠ABQ＝∠OBP，∴△ABQ∽△OBP，∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，∴AQ＝，又∵點P在弧MN上由點M運動到點N，∴0°≤∠BOP≤90°，∴0°≤∠BAQ≤90°，∴點Q的運動軌跡為以A為圓心，AQ長為半徑，圓心角為90°的扇形的圓弧，∴點Q運動的路徑長為＝，故選：D．6．已知⊙O，AB是直徑，AB＝4，弦CD⊥AB且過OB的中點，P是劣弧BC上一動點，DF垂直AP于F，則P從C運動到B的過程中，F(xiàn)運動的路徑長度（）A．π B． C．π D．2【解答】解：作DQ⊥AC于Q，如圖，當P點在C點時，F(xiàn)點與Q重合；當P點在B點時，F(xiàn)點與E點重合，∵∠AFD＝90°，∴點F在以AD為直徑的圓上，∴點F運動的路徑為，∵弦CD⊥AB且過OB的中點，∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝CD＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴△ACD為等邊三角形，∴MQ和ME為中位線，∴MQ＝，∠QME＝60°，∴F運動的路徑長度＝＝π．故選：A．7．如圖，正方形OABC的邊長為2，以O為圓心，EF為直徑的半圓經過點A，連接AE，CF相交于點P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開始，繞著點O逆時針旋轉90°，交點P運動的路徑長是（）A．2π B．π C．3 D．4【解答】解：如圖，連接AC．∵AOCB是正方形，∴∠AOC＝90°，∴∠AFC＝∠AOC＝45°，∵EF是直徑，∴∠EAF＝90°，∴∠APF＝∠AFP＝45°，∴∠EPF＝135°，∴點P在與K為圓心的圓上，點P的運動軌跡是，在⊙K上取一點M，連接ME、MF、EK、FK，則∠M＝180°﹣∠EPF＝45°，∴∠EKF＝2∠M＝90°，∵EF＝4，∴KE＝KF＝2，∴P運動的路徑長＝＝π，故選：B．8．正方形ABCD的邊長為4，P為BC邊上的動點，連接AP，作PQ⊥PA交CD邊于點Q．當點P從B運動到C時，線段AQ的中點M所經過的路徑長（）A．2 B．1 C．4 D．【解答】解：如圖，連接AC，設AC的中點為O′．設BP的長為xcm，CQ的長為ycm．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°∠APB+∠BAP＝90°∴∠BAP＝∠QPC∴△ABP∽△PCQ∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4）；∴當x＝2時，y有最大值1cm．易知點M的運動軌跡是O→M→O，CQ最大時，MO＝CQ＝，∴點M的運動軌跡的路徑的長為2OM＝1，故選：B．二．填空題（共13小題）9．如圖，已知線段AB＝8，O為AB的中點，P是平面內的一個動點，在運動過程中保持OP＝2不變，連接BP，將PB繞點P逆時針旋轉90°到PC，連接BC、AC，則線段AC長的最大值是6．【解答】解：以BO為直角邊在BO上方作等腰直角三角形BOF，如圖，連接CF、AF．則＝，且∠OBP＝∠FBC，∴△OBP∽△FBC．∴＝，∵P點運動軌跡是以O為圓心，OP＝2為半徑的圓，∴C點運動的軌跡是以F為圓心，CF＝2為半徑的圓．∵AC≤AF+FC，AF＝4，F(xiàn)C＝2∴AC最大值為4+2＝6故答案為6．10．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB的長為2，以AB為直徑作⊙M，點C是優(yōu)弧上的一個動點，連接AC、BC，分別交⊙M于點D、E，則線段CD的最大值為2．【解答】解：如圖，連接OA、OB、AD．∵OA＝OB＝2，AM＝BM＝．，∴OM⊥AB，∠AOM＝∠BOM，∴sin∠AOM＝＝，∴∠AOM＝60°，∴∠AOB＝2∠AOM＝120°，∴∠C＝∠AOC＝60°，∵AB是⊙M的直徑，∴∠ADB＝90°，在Rt△ACD中，∵∠CDA＝90°，∠CAD＝30°，∴CD＝BC，∴欲求CD的最大值，只要求出⊙O的弦AC的最大值，∵⊙O的直徑為4，∴弦AC的最大值為4，∴CD的最大值為2．故答案為2．11．如圖，已知AB＝10，P是線段AB上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊△ACP和△PDB，連接CD，設CD的中點為G，當點P從點A運動到點B時，則點G移動路徑的長是5．【解答】解：如圖，分別延長AC、BD交于點H，過G作MN∥AB，分別交AH于M，BH于N，∵△APC和△BPD是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∴△AHB是等邊三角形，∵∠A＝∠DPB＝60°，∴AH∥PD，∵∠B＝∠CPA＝60°，∴BH∥PC，∴四邊形CPDH為平行四邊形，∴CD與HP互相平分．∵G為CD的中點，∴G正好為PH中點，∵△ABH是等邊三角形，∴在P的運動過程中，G始終為PH的中點，所以G的運行軌跡為△HAB的中位線MN．∴MN＝AB＝5，即G的移動路徑長為5．故答案為：5．12．如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是．【解答】解：連接OA、OB，作△ABC的外接圓D，如圖1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的最大面積，則點C到AB的距離最大，∵∠ACB＝60°，點C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如圖2，當點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，且面積為AB2＝，∴△ABC的最大面積為．故答案為：．13．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經過的路線長為1．【解答】解：連接OC，OM、CM，如圖，∵M為PQ的中點，∴OM＝PQ，CM＝PQ，∴OM＝CM，∴點M在OC的垂直平分線上，∴點M運動的軌跡為△ABC的中位線，∴點M所經過的路線長＝AB＝1．故答案為1．14．已知線段AB＝8，C、D是AB上兩點，且AC＝2，BD＝4，P是線段CD上一動點，在AB同側分別作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M為線段EF的中點，若∠AEP＝∠BFP，則當點P由點C移動到點D時，點M移動的路徑長度為4﹣3．【解答】解：如圖，分別延長AE、BF交于點H．∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∠AEP＝∠BFP∵∠A＝∠FPB，∴AH∥PF，同理，BH∥PE，∴四邊形EPFH為平行四邊形，∴EF與HP互相平分．∵M為EF的中點，∴M為PH中點，即在P的運動過程中，M始終為PH的中點，所以M的運行軌跡為三角形HCD的中位線QN．∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，∴QN＝CD＝4﹣3，即M的移動路徑長為4﹣3．故答案是：4﹣3．15．已知線段AB＝12，C、D是AB上兩點，且AC＝DB＝2，P是線段CD上一動點，在AB同側分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點，點P由點C移動到點D時，G點移動的路徑長度為4【解答】解：如圖，分別延長AE、BF交于點M，∵∠A＝∠DPF＝60°，∴AM∥PF，∵∠B＝∠EPA＝60°，∴BM∥PE，∴四邊形PEMF為平行四邊形，∴EF與MP互相平分．∵G為EF的中點，∴G正好為PM的中點，即在P的運動過程中，G始終為PM的中點，∴G的運行軌跡為△MCD的中位線HI，∵HI＝CD＝×（12﹣2﹣2）＝4，∴G點移動的路徑長度為4．故答案為：416．已知線段AB＝10，C．D是AB上兩點，且AC＝DB＝2，P是線段CD上一動點，在AB同側分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點，點P由點C移動到點D時，G點移動的路徑長度為3．【解答】解：如圖，分別延長AE、BF交于點M，∵∠A＝∠DPF＝60°，∴AM∥PF，∵∠B＝∠EPA＝60°，∴BM∥PE，∴四邊形PEMF為平行四邊形，∴EF與MP互相平分．∵G為EF的中點，∴G正好為PM的中點，即在P的運動過程中，G始終為PM的中點，∴G的運行軌跡為△MCD的中位線HI，∵HI＝CD＝×（10﹣2﹣2）＝3，∴G點移動的路徑長度為3．故答案為：3．17．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E在邊AD上，且AE：ED＝1：3．動點P從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止．過點E作EF⊥PE交射線BC于點F，設M是線段EF的中點，則在點P運動的整個過程中，點M運動路線的長為9．【解答】解：如圖所示：過點M作GH⊥AD，交AD于G，交BC于H．∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC．在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM（AAS）．∴MG＝MH．∴點M的軌跡是一條平行于BC的線段．當點P與A重合時，BF1＝AE＝2，當點P與點B重合時，∠F2+∠EBF1＝90°，∠BEF1+∠EBF1＝90°，∴∠F2＝∠EBF1．∵∠EF1B＝∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2．∴，即：，∴F1F2＝18，∵M1M2是△EF1F2的中位線，∴M1M2＝F1F2＝9．故答案為：9．18．如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝3，弧AC的度數(shù)是60°，P為弧BC上一動點，延長AP到點Q，使AP?AQ＝AB2．若點P由B運動到C，則點Q運動的路徑長為3．【解答】解：連接BQ，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠APB＝90°，∵AP?AQ＝AB2．即＝，而∠BAP＝∠QAB，∴△ABP∽△AQB，∴∠ABQ＝∠APB＝90°，∴BQ為⊙O的切線，點Q運動的路徑長為切線長，∵弧AC的度數(shù)是60°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAC＝60°，當點P在C點時，∠BAQ＝60°，∴BQ＝AB＝3，即點P由B運動到C，則點Q運動的路徑長為3．故答案為3．19．如圖，已知點A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），動點P在線段AB上，點P、C、M按逆時針順序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，當點P從點A運動到點B時，則點M運動的路徑長為6．【解答】解：∵點A（﹣3，0），B（0，3），∴AB＝，∵C（﹣1，4），動點P在線段AB上，∠CPM＝90°，CP＝MP，∴，P為主動點，M為從動點，C為定點，由“瓜豆原理”得P運動路徑（AB）與M運動路徑之比等于，∴點M運動的路徑長為÷＝6，故答案為：6．20．如圖，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分別是AB，BC上的動點，且PQ＝AD，點M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，當P從點A運動到點B時，M運動的路徑長為3﹣．【解答】解：如圖1中，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，連接BM．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠MEB＝∠MFB＝90°，∴∠EMF＝∠PMQ＝120°，∴∠PME＝∠QMF，∵MP＝MQ，∴△MEP≌△MFQ（AAS），∴ME＝MF，∴BM平分∠ABC，∴點M的在射線BM上運動．如圖2中，由題意，當PQ∥AC時，BM的值最大，最大值BM＝＝＝＝2，當P1Q1落在BC上時，得到BM1的值最小，最小值BM1＝＝＝1，設BM交AC于G，點M的運動路徑是G→M→M1∴點M的運動路徑的長＝MG+MM1＝BM﹣BG+BM﹣BM1＝2﹣+2﹣1＝3﹣．故答案為3﹣．21．如圖，P為邊長為2的正方形ABCD的邊BC上一動點，將線段DP繞P逆時針旋轉90°得到線段PE（E為D的對應點），M為線段PE的中點，當點P從點C運動到點B的過程中，點M的運動路徑長為【解答】解：如圖，當P與B重合時，點E在DA的延長線上，AE＝AD＝2，當點P與C重合時，點E與B重合，BE的中點M的運動軌跡為線段M1M2，易知M1M2＝EC＝?＝．理由：如下圖，作EH⊥CB交CB的延長線于H，作M2K⊥CH于K．易證△EPH≌△DPC，∴EH＝PC，PH＝CD＝BC，∵EM2＝M2P，M2K∥EH，∴KH＝PK＝CM1，∴KM1＝PC，∴M2K＝EH＝PC＝KM1，∵tan∠M2M1K＝，tan∠DE′C＝tan∠E′CH＝，∴tan∠M2M1K＝tan∠E′CH，∴∠M2M1H＝∠E′CH，∴M1M2∥CE′，∴點M的運動軌跡是線段M1M2．故答案為．三．解答題（共4小題）22．在平面直角坐標系中，A（2，0）、B（0，3），過點B作直線∥x軸，點P（a，3）是直線上的動點，以AP為邊在AP右側作等腰Rt△APQ，∠APQ＝90°，直線AQ交y軸于點C（1）當a＝1時，①求點Q的坐標和直線AQ的解析式；②點m在直線AQ上，點N為平面直角坐標系內，x軸下方一點，當以O、C、M、N為頂點的四邊形是菱形時，求所有符合條件的點N的坐標，直接寫出答案．（2）當點P在直線l上運動時，點Q也隨之運動．①求點Q運動路線對應的解析式；②當AQ+BQ的值最小時求a的值，直接寫出答案．【解答】解：（1）①過點P作PE⊥OA，垂足為E，過點Q作QF⊥BP，垂足為F，如圖1．∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF＝∠PEO＝90°．∵∠APQ＝90°，∴∠EPA＝∠FPQ＝90°﹣∠APF．在△PEA和△PFQ中，，∴△PEA≌△PFQ（AAS），∴PE＝PF，EA＝QF，∵a＝1，∴P（1，3）．∴OE＝BP＝1，PE＝3．∵A（2，0），∴OA＝2，∴EA＝1．∴PF＝3，QF＝1．∴點Q的坐標為（4，4）．設AQ的解析式為：y＝kx+b，則，解得：．則AQ的解析式為；y＝2x﹣4；②（﹣1，﹣2），（，﹣），（，）．（2）若點P的坐標為（a，3），則PF＝PE＝3，QF＝AE＝|2﹣a|．∴點Q的坐標為（a+3，5﹣a）．∵無論a為何值，點Q的坐標（a+3，5﹣a）都滿足一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x+8，∴點Q始終在直線y＝﹣x+8上運動．設直線y＝﹣x+8與x軸、y軸分別交于點M、N，如圖2所示．當x＝0時y＝8，當y＝0時x＝8．∴OM＝ON＝8．∵∠AOB＝90°，∴∠OMN＝45°．過點A關于直線MN作對稱點A′，連A′Q、A′M，則A′Q＝AQ，A′M＝AM＝6，∠A′MN＝∠AMN＝45°．∴∠A′MA＝90°，AQ+BQ＝A′Q+BQ．根據(jù)兩點之間線段最短可知：當A′、Q、B三點共線時，AQ+BQ＝A′Q+BQ最短，最小值為A′B長．設直線BP與A′M相交于點H，則BH⊥A′M．在Rt△A′HB＝90°，BH＝OM＝8，A′H＝A′M﹣MH＝6﹣3＝3，∴A′B＝＝＝，當A′、Q、B三點共線時，∵BN∥A′M，∴△BQN∽△A′QM．根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比可得：＝＝，解得xQ＝，∴a+3＝，∴a＝，∴當a＝時，AQ+BQ的值最小為．故答案為：（4，4）、（，）．23．如圖①，直角三角形AOB中，∠AOB＝90°，AB平行于x軸，OA＝2OB，AB＝5，反比例函數(shù)y＝（x＞0）經過點A．（1）k＝8；（2）如圖②，點P（x，y）中的反比例函數(shù)圖象上，其中1＜x＜8，連接OP，過點O作OQ⊥OP，且OP＝2OQ，連接PQ，設點Q坐標為（m，n），求n與m的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量m的取值范圍．（3）在（2）的條件下，若點Q坐標為（m，1），求△POQ的面積．【解答】解：（1）設AB與y軸交于點C，如圖所示，在Rt△AOB中，OA＝2OB＝2x，OB＝x，AB＝5，根據(jù)勾股定理得：x2+（2x）2＝52，解得：x＝，∴OA＝2，OB＝，∵S△AOB＝OA?OB＝AB?OC，∴OC＝＝＝2，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC＝＝4，∴A（4，2），把A坐標代入反比例解析式得：k＝8；故答案為：8；（2）分別過P，Q作PN⊥x軸，QM⊥x軸，∵∠QOM+∠OQM＝90°，∠QOM+∠PON＝90°，∴∠OQM＝∠PON，∵∠QMO＝∠PNO＝90°，∴△OQM∽△PON，∴＝＝＝，∵Q（m，n），∴OM＝﹣m，QM＝n，∴PN＝﹣2m，ON＝2n，即P（2n，﹣2m），把P坐標代入反比例解析式得：﹣4mn＝8，即﹣mn＝2，則n與m的函數(shù)解析式為n＝﹣（﹣2＜m＜﹣）；（3）根據(jù)題意及（2）得：n＝1，m＝﹣2，即Q（﹣2，1），P（2，4），∴QM＝1，PN＝4，OM＝2，ON＝2，即MN﹣2+2＝4，∴S△POQ＝S梯形PQMN﹣S△QOM﹣S△PON＝×4×（1+4）﹣×1×2﹣×2×4＝10﹣1﹣4＝5．24．如圖1，已知拋物線y＝x2+bx+c經過原點O，它的對稱軸是直線x＝2，動點P從拋物線的頂點A出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向上運動，設動點P運動的時間為t秒，連接OP并延長交拋物線于點B，連接OA，AB．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）當△AOB為直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，⊙M為△AOB的外接圓，在點P的運動過程中，點M也隨之運動變化，請你探究：在1≤t≤5時，求點M經過的路徑長度．【