人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)-挑戰(zhàn)三角形填空壓軸（二）

數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)——挑戰(zhàn)三角形填空壓軸（二）1．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)D到AB的距離DE＝3cm，則線段BC的長為．2．如圖，已知△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)D在CA的延長線上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝100°，則∠BCA的度數(shù)為．3．如圖，△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，等腰直角△CDF的直角頂點(diǎn)C在邊OA上，點(diǎn)D在邊OB上，點(diǎn)F在邊AB上，如果△CDF的面積是△AOB的面積的，OD＝2，則△AOB的面積為．4．如圖，在等腰△ABD中，∠A＝32°，取大于AB的長為半徑，分別以點(diǎn)A，B為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過此兩點(diǎn)的直線交AD邊于點(diǎn)E（作圖痕跡如圖所示），連接BE，BD，則∠EBD的度數(shù)為．5．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，D、E分別是AB和AC的中點(diǎn)．請(qǐng)完成下列探究：（1）如圖1，若點(diǎn)M是邊BC中點(diǎn)，則DM＝；（2）如圖2，點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn)，BM＝3，點(diǎn)N是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DN和ME，DN與ME相交于點(diǎn)O．若△OMN是直角三角形，則DO的長是．6．已知△ABC為等邊三角形，D為邊AC上一點(diǎn)，延長BC至E，使CE＝CD＝1，連接DE，則DE等于．7．已知一個(gè)三角形三邊的長分別為，，，則這個(gè)三角形的面積是．8．公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示．它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果大正方形的面積是40，tan∠1＝，則小正方形的面積是．9．如圖，邊長為4的等邊三角形ABC中，E是對(duì)稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EC，將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，DF的最小值是．10．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段DE上的一點(diǎn)．連接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，則EF的長是．11．如圖，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6，△DEB的周長為．12．如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，△ABC的周長為17，斜邊上中線BD長為．則Rt△ABC的面積為．13．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的邊長分別為3，4，1，2．則最大的正方形E的面積是．14．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，過點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，連接BD，若S△BCD＝，則BC的長為．15．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），且∠ADE＝45°，若△ABD是等腰三角形，則AE＝．16．如圖所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，G是AD上一點(diǎn)，且AG＝DG，連接BG并延長BG交AC于E，又過C作AD的垂線交AD于H，交AB為F，則下列說法：①D是BC的中點(diǎn)；②BE⊥AC；③∠CDA＞∠2；④△AFC為等腰三角形；⑤連接DF，若CF＝6，AD＝8，則四邊形ACDF的面積為24．其中正確的是（填序號(hào)）．17．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC邊上的中線，點(diǎn)D，E分別在邊AC和BC上，DB＝DE，DE與BM相交于點(diǎn)N，EF⊥AC于點(diǎn)F，以下結(jié)論：①∠DBM＝∠CDE；②S△BDE＝S四邊形BMFE；③AC＝2DF．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．18．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，連接AC，若AC＝10，則四邊形ABCD的面積為．19．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，連接AC，BD交于點(diǎn)E，∠CBD＝90°，若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，CD＝，則四邊形ABCD的面積為．20．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E為Rt△ABC外一點(diǎn)，且△ADE為等邊三角形，∠CBE＝60°，若BC＝7，BE＝4，則△ADE的邊長為．21．如圖，∠BAC與∠CBE的平分線相交于點(diǎn)P，BE＝BC，PB與CE交于點(diǎn)H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列結(jié)論：①GA＝GP；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC；⑤∠APB＝∠ACB，其中正確的判斷有．22．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，△ABC的面積為60，AB＝16，BC＝14，則DE的長等于．23．如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是線段AC上一點(diǎn)，連接BE并延長至D，連接CD，若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝7，則線段CE長為．24．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，連接BD、CD、DA，∠ADB＝∠DBC＝120°，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，若CD＝10，則DE等于．25．如圖，△ABC中，AC的垂直平分線DE分別交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，連接BD，AB＝AD，∠CED＝45°+∠BAC，△ABD的面積為54，則線段BD的長為．26．如圖，螺旋形是由一系列等腰直角三角形組成的，其序號(hào)依次為①②③④⑤…，若第1個(gè)等腰直角三角形的直角邊為1，則第2020個(gè)等腰直角三角形的面積為．27．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E為BC的中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F，若BC＝4，∠CBD＝30°，則DF的長為．28．如圖，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝CD＝2，E為邊AD上中點(diǎn)，則BE＝．29．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞O點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)2021次得到正方形OA2021B2021C2021，則點(diǎn)A2021的坐標(biāo)為．30．如圖，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD，則S△BDC的最大值為．參考答案1．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠CAB＝30°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠DAC＝BAC＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，點(diǎn)D到AB的距離DE＝3cm，∴CD＝DE＝3cm，∵在Rt△DCA中，∠C＝90°，∠DAC＝30°，CD＝3cm，∴AD＝2CD＝6cm，∴BD＝AD＝6cm，∴BC＝CD+BD＝3cm+6cm＝9cm，故答案為：9cm．2．解：如圖所示：∵AO、BO、CO是△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線，∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO，在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO＝∠D，又∵∠BAC＝100°，∴∠CAO＝＝，又∵AD＝AO，∴∠D＝∠AOD，又∵∠CAO＝∠D+∠AOD，∴∠D＝＝＝25°，∴∠CBO＝25°，∴∠CBA＝50°，又∵∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180°，∴∠BCA＝180°﹣100°﹣50°＝30°，故答案為30°．3．解：過點(diǎn)F作FM⊥AO于點(diǎn)M，如圖：則有：∠O＝∠FMC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵等腰直角△CDF，∴CF＝CD，∠DCF＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，又∵∠O＝∠FMC＝90°，CF＝CD，∴△DOC≌△CMF（AAS），∴CM＝OD＝2，MF＝OC，∵∠AOB＝90°，OA＝OB，F(xiàn)M⊥AO，∴△AMF是等腰直角三角形，∴AM＝MF＝CO，設(shè)AM＝MF＝CO＝x，則OA＝OB＝2x+2，CD＝CF＝，由△CDF的面積是△AOB的面積的，得：（）2＝（2x+2）2，解得：x＝1.5，∴△AOB的面積＝（2x+2）2＝；故答案為：．4．解：∵AD＝AB，∠A＝32°，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°，由作圖可知，EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝32°，∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°，故答案為：42°．5．解：（1）∵∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，∴2AC2＝BC2＝202，∴AC＝10，∵D，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴DM＝AC＝5；（2）如圖作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于點(diǎn)O′，此時(shí)∠MN′O′＝90°，∵DE是△ABC中位線，∴DE∥BC，DE＝BC＝10，∵DN′∥EF，∴四邊形DEFN′是平行四邊形，∵∠EFN′＝90°，∴四邊形DEFN′是矩形，∴EF＝DN′，DE＝FN′＝10，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∴BN′＝DN′＝EF＝FC＝5，∴＝，∴＝，∴DO′＝；當(dāng)∠MON＝90°時(shí)，∵△DOE∽△EFM，∴＝，∵M(jìn)F＝BC﹣BM﹣FC＝20﹣3﹣5＝12，∴EM＝＝13，∴DO＝，故答案為：或．6．解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵CE＝CD＝1，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴EF＝CE＝，∴DE＝2EF＝．故答案為：．7．解：∵+＝5+10＝15，＝15，∴：+＝，∴該三角形為直角三角形，∴這個(gè)三角形的面積是：××＝．故答案為：．8．解：如圖所示：根據(jù)tan∠1＝，可設(shè)AB＝x，BC＝3x，由勾股定理得：，∵大正方形的面積是40，∴＝40，解得：x＝2或x＝﹣2（舍去），∴AB＝2，BC＝6，∴，∴四個(gè)三角形的面積之和＝4×6＝24，∴小正方形的面積＝40﹣24＝16．故答案為16．9．解：如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等邊△ABC的對(duì)稱軸，∴CD＝BC，∴CD＝CG，又∵CE旋轉(zhuǎn)到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根據(jù)垂線段最短，EG⊥AD時(shí)，EG最短，即DF最短，此時(shí)∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×4＝2，∴EG＝AG＝×2＝1，∴DF＝1．故答案為：1．10．解：∵點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∵BC＝16，∴DE＝BC＝8．∵∠AFB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，AB＝10，∴DF＝AB＝5，∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3．故答案為：3．11．解：△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AB＝6根據(jù)勾股定理得2CB2＝AB2，∴CB＝3，∵AD平分∠CAB∴∠CAD＝∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA＝90°＝∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）∴AC＝AE＝3，DE＝CD∴EB＝AB﹣AE＝6﹣3故△DEB的周長為：BE+DE+DB＝BE+CD+DB＝BE+CB＝6﹣3+3＝6．12．解：∵Rt△ABC斜邊上中線BD長為，∴AC＝2BD＝7，∵△ABC的周長為17∴AB+BC＝17﹣AC＝17﹣7＝10，∴（AB+BC）2＝100，即AB2+BC2+2AB?BC＝100，∵AB2+BC2＝AC2＝72＝49，∴2AB?BC＝51，∴S△ABC＝AB?BC＝，故答案為．13．解：由勾股定理得，正方形F的面積＝正方形A的面積+正方形B的面積＝32+42＝25，同理，正方形G的面積＝正方形C的面積+正方形D的面積＝22+12＝5，∴正方形E的面積＝正方形F的面積+正方形G的面積＝30，故答案為：30．14．解：過點(diǎn)D作DM⊥BC交BC延長線于點(diǎn)M，∵CD⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠MCD＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠MCD，∵CD＝AC，∴△ABC≌△CMD（AAS），∴BC＝DM，∴S△BCD＝×BC×DM＝BC2＝，∴BC＝3，故答案為3．15．解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝＝2，由題意點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，分兩種情況：①BD＝AD時(shí)，∠BAD＝∠B＝45°，如圖1所示：∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+45°＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝，∴AD＝BC＝CD，∵∠ADE＝45°，∴∠CDE＝90°﹣45°＝45°＝∠ADE，∴DE平分∠ADC，∴AE＝CE＝AC＝1；②BD＝AB＝2時(shí)，如圖2所示：∵∠B＝45°，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵∠ADE＝45°，∴∠CDE＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠CED＝180°﹣∠C﹣∠CDE＝67.5°，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD＝BC﹣BD＝2﹣2，∴AE＝AC﹣CE＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2；綜上所述，若△ABD是等腰三角形，則AE的長為1或4﹣2，故答案為：1或4﹣2．16．解：①假設(shè)結(jié)論成立，則△ABC是等腰三角形，顯然不可能，故①不符合題意；②只有∠ABE+∠BAE＝90°時(shí)，該結(jié)論才成立，故②不符合題意；③∵∠ADC＝∠1+∠ABD，∠1＝∠2，∴∠ADC＞∠2，故③符合題意；④∵∠1＝∠2，AD＝AD，∠AHF＝∠AHC＝90°，∴△AHF≌△AHC（ASA），∴AF＝AC，故④符合題意；⑤∵AD⊥CF，∴S四邊形ACDF＝?AD?CF＝×6×8＝24．故⑤符合題意；故答案為：③④⑤．17．解：①設(shè)∠EDC＝x，則∠DEF＝90°﹣x∴∠DBE＝∠DEB＝∠EDC+∠C＝x+45°，∵BD＝DE，∴∠DBM＝∠DBE﹣∠MBE＝45°+x﹣45°＝x．∴∠DBM＝∠CDE，故①正確；③在△BDM和△DEF中，，∴△BDM≌△DEF（AAS），∴BM＝DF，∵∠ABC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM＝AC，∴DF＝AC，即AC＝2DF；故③正確．②由③知△BDM≌△DEF（AAS）∴S△BDM＝S△DEF，∴S△BDM﹣S△DMN＝S△DEF﹣S△DMN，即S△DBN＝S四邊形MNEF．∴S△DBN+S△BNE＝S四邊形MNEF+S△BNE，∴S△BDE＝S四邊形BMFE，故②正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③．故答案是：①②③．18．解：如圖，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)N，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴四邊形AMCN為矩形，∠MAN＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM與△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝AN；∴△ABM與△ADN的面積相等；∴四邊形ABCD的面積＝正方形AMCN的面積；設(shè)AM＝a，由勾股定理得：AC2＝AM2+MC2，而AC＝10；∴2a2＝100，a2＝50，所以四邊形ABCD的面積為50．故答案為50．19．解：過A作AF⊥BD于F，如圖所示：∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴CE＝AE，∵AB＝AD，∴AF⊥BD，∵∠CBD＝90°，∴BC∥AF，∠CBE＝∠AFE＝90°，在△CBE和△AFE中，，∴△CBE≌△AFE（AAS），∴BC＝AF，∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴BD＝2AF＝2BC，∵∠CBD＝90°，CD＝，∴BC2+BD2＝CD2，∴BC2+（2BC）2＝15，∴BC＝（負(fù)值舍去），∴AF＝BC＝，BD＝2BC＝2，∴四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△CBD＝2+＝6，故答案為：6．20．解：在BC的延長線上取點(diǎn)F，使得∠AFD＝60°，∵△ADE是等邊三角形，∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，∵∠ADB＝∠AFD+∠DAF＝∠ADE+∠EDB，∴∠DAF＝∠EDB，在△AFD和△DBE中，，∴△AFD≌△DBE（AAS），∴FD＝BE＝4，AF＝BD，設(shè)CF＝x，則CD＝4﹣x，BD＝7﹣（4﹣x）＝3+x，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°，∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，∴AF＝2CF＝2x，∴2x＝x+3，解得：x＝3，∴CF＝3，AC＝3，∴CD＝1，∴AD＝＝＝2，故答案為：2．21．解：①∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG＝∠CAP，∴∠APG＝∠BAP，∴GA＝GP；②∵AP平分∠BAC，∴P到AC，AB的距離相等，∴S△PAC：S△PAB＝AC：AB，③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三線合一），④∵∠BAC與∠CBE的平分線相交于點(diǎn)P，可得點(diǎn)P也位于∠BCD的平分線上，∴∠DCP＝∠BCP，又∵PG∥AD，∴∠FPC＝∠DCP，∴FP＝FC，⑤無法得出∠APB＝∠ACB，故⑤錯(cuò)誤；故①②③④都正確．故答案為：①②③④．22．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案為：4．23．解：作BM⊥AC，垂足為M，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠ACB＝30°，AM＝CM，∴BM＝AB，∵AB＝2CD，∴BM＝CD．∵∠DCB＝120°，∴∠DCE＝∠DCB﹣∠ACB＝120°﹣30°＝90°，∴∠BMC＝∠DCE＝90°．在△EMB和△ECD中，，∴△MEB≌△CED（AAS），∴ME＝CE．設(shè)CE＝x，則ME＝x，AM＝AE﹣ME＝7﹣x．∵AM＝CM，∴7﹣x＝2x，∴x＝，∴線段CE長為．故答案為．24．解：延長AD、CB交于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AH∥BD交BC的延長線于點(diǎn)H，延長DE交AH于N，∵∠ADB＝∠DBC＝120°，∴∠GDB＝∠GBD＝60°，∴△BDG是等邊三角形，∴BG＝DG＝BD，∠G＝60°，∵AH∥BD，∴∠H＝∠GBD＝60°，∴△AGH是等邊三角形，∴AH＝AG＝GH，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABG＝∠ACH，∴△ABG≌△ACH（AAS），∴BG＝CH，∴DG＝CH，∴AG﹣DG＝GH﹣CH，即GC＝AD，∵AN∥BD，∴∠NAE＝∠DBE，∠ENA＝∠EDB，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∴△NAE≌△DBE（AAS），∴BD＝AN，DE＝EN＝DN，在△GDC與△AND中，，∴△GDC≌△AND（SAS），∴ND＝DC＝10，∴DE＝DN＝5．故答案為：5．25．解：如圖，作AH⊥BD于H交BC于M，作AK⊥CB交CB的延長線于K，作MP⊥AC于P．∵AB＝AD，AH⊥BD，∴∠DAH＝∠ABC，設(shè)∠DAH＝α，則∠CED＝45°+α，∵ED⊥AC，∴∠EDC＝90°，∴∠C＝45°﹣α，∴∠AMB＝∠MAC+∠C＝45°，∵AM垂直平分線段BD，∴MB＝MD，∵M(jìn)H⊥BD，∴∠BMH＝∠DMH＝45°，∴BH＝MH＝DH，設(shè)BH＝MH＝DH＝a，則DM＝a，∵AK⊥C