上海交大考研試題(高代)

上海交通大學(xué)研究生入學(xué)試題（高等代數(shù)）JDy97-1<3xl+4x2-5x3+7x4=0方程組是否有非零解？<2xl-3x2+3x3-2x4=0方程組是否有非零解？4x+11x-13x+16x=012 3 4^7x-2x+x+3x=01 2 3 4若有，求其通解，并寫出解空間維數(shù)。（14分）JDy97-2用正交線性變換把二次型x12+2x22+3x32-4x1x2-4x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出該變換。（14分）JDy97-3證明：矩陣A是正定或半正定實(shí)對(duì)稱的充要條件是：存在實(shí)矩陣S,使得A=STS,其中St表示S的轉(zhuǎn)置矩陣。（14分）JDy97-4設(shè)A,B為n階方陣，AB=BA，且Ak=O,對(duì)某一個(gè)k>1整數(shù)，證明IA+BI=IBI。（14分）JDy97-5設(shè)Rn[x]為次數(shù)<n的多項(xiàng)式線性空間，8為求導(dǎo)變換（即6f（x）=f'（x））,求證1-8為非退化線性變換（其中i為恒等變換），并求出8的所有不變子空間。（14分）JDy97-6已知線性無關(guān)向量組e1?e2，_,es和兩個(gè)非零向量的正交組\工2，...￡與g1?g2，^,gs使得fk和gk（k=1,2,...,s）可由e1，e2，.,ek線性表示，求證fk=akgk（k=1,2,...,s）,其中a^O。（14分）JDy97-7（1）設(shè)J（x）為方陣X的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，證明J（A+aE）=J（A）+aE，其中A是任一方矩陣，a是一個(gè)數(shù)。（8分）⑵求幕等方陣A（即滿足條件A2=A）的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。（8分）JDy98-1敘述下列概念：1）數(shù)域；2）對(duì)稱多項(xiàng)式；3）向量的線性相關(guān)；4）矩陣的秩；5）歐氏空間。（每小題4分，共20分）JDy98-2TOC\o"1-5"\h\z（a+p）x1+apx2 =0JX]+（a+卩）x2+a卩x3 =0求線性方程組的解： x2+（a+卩）x3+a卩x4 =0x+（a+B）x=0n-1 nJDy98-3求出一切僅與自己相似的n階復(fù)方陣。（10分）JDy98-4_001_若A=10-1,求證：A100為單位矩陣。（10分）-011-JDy98-5若Q,卩,丫為線性空間V的一組基，V上的線性變換A滿足:A(a)=3a-2p+3y,A(p)=2a-2p+6y,A(y)=-a+2p-y,求V—組基，使A在該基下的矩陣為對(duì)角矩陣。(10分)JDy98-6若A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，S為n階實(shí)反對(duì)稱矩陣，且AS=SA,A-S為可逆矩陣。求證：(A+S)(A-S)-1為正交陣。(10分)JDy98-7213-1若實(shí)n維向量空間V的子空間W={ V|A-0}，A=320-2，319-1試求：W的正交補(bǔ)的一組基。(10分)JDy98-8若f()為 的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，復(fù)方陣A的特征值都不是f()的根。求證：方陣f(A)可逆。且其逆為A的多項(xiàng)式。(10分)JDy98-9若A,C為同階正定矩陣，矩陣方程AX+XA=C有唯一解B。求證：B為正定矩陣。(10分)JDy99-1設(shè)P為數(shù)域。f(x),g(XP[x]令F(x)=(X+1)f(x)+(+x+1)g(x);G(x)二xf(x)+(x+1)g(證明：若f(x與g(x互素，^UF(x)與G(x)也必互素。(10分)JDy99-2設(shè)J為元素全為1的n階方陣。(1)求J的特征多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式；(2)設(shè)f(x為復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式。證明f(J)必相似于對(duì)角矩陣。(10分)JDy99-3設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A=(x.)，其中x.=a.a.+1，且a]+a2+???+a=0。求A的n個(gè)特征值。ij ijij 1 2 n設(shè)A為復(fù)數(shù)域上n階方陣，若A的特征根全為0,證明：|A+E|=1。此處E為n階單位矩陣。(10分)JDy99-4設(shè)f(x是數(shù)域F上的二次多項(xiàng)式，在F內(nèi)有互不相同的根x],%，設(shè)A是F上線性空間L的—個(gè)線性變換，且Axj,Ax2I(I是單位變換)且滿足fA)=0,證明x],x為A的特征值;且L可以分解為A的屬于x],x的特征子空間的直和。(10分)JDy99-5用正交線性變換將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并給出所施行的正交變換：X]2-2%2-2養(yǎng)2—4淬2+4X1X3+8X1X4 (10分)JDy99-6(t+1)1x+x2+x3=t2+2tTOC\o"1-5"\h\z對(duì)t的不同的取值，討論下面方程組的可解性并求解：x1+(t+1)x+X3=t3+2t2 (10分)x1+x2+(t+1)3x=t4+2t3JDy99-7假設(shè)A為mn實(shí)矩陣，B為n1實(shí)矩陣。AT表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，證明：(1)AB=0的充要條件是ATAB=0;(2)矩陣ATA與矩陣A有相同的秩。 (10分)JDy99-8設(shè)A],A2,…,An均為n階矩陣且A1A2???A訂0。證明這p個(gè)矩陣的秩之和小于等于(p-1)n并舉例說明等式可以達(dá)到。 (10分)JDy99-9證明任—可逆實(shí)矩陣可分解為—個(gè)正定矩陣和—個(gè)正交矩陣之積。(10分)JDy99-10設(shè)W是歐氏空間V的一個(gè)子空間。beV,awW。證明若對(duì)任意cwW,Ib-aKIb-cl,則（b-a）丄則（b-a）丄W。JDy00-1計(jì)算行列式Dn=n（10分）x a a... a ab x a... a ab b x. a a（10分）bbb.bxJDy00-2設(shè)A和D為n階正定矩陣。已知矩陣B是方程AX+XA=D的唯一解。求證：（1）B是實(shí)對(duì)稱矩陣；（2）B是正定矩陣。（12分）JDy00-3設(shè)R[x]為次數(shù)小于等于2的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體，令f1=1；f2=x-1；f3=（x-2）（x-1）。試證f1,f2,f3是R[x]的一組基。（10分）JDy00-4設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，特征值為1,2,3。對(duì)應(yīng)于1,2的特征向量分別為叫=（-1,-1,1）T,冬=（1,-2,-1）丁。求：（1）對(duì)應(yīng)于3的特征向量?3；（2）矩陣A。（12分）JDy00-5[X]+2x2-3x3+2x4=2已知線性方程組]x2-x3-x4=1 ，其中九為常數(shù)。問：（1）九取何值時(shí)，該方程組無解？&1+x2-X3+3x4=X（2）九取何值時(shí)，該方程組有解？求出其通解。（12分）JDy00-6已知二次型f（x1,x2,x3）=2x12+3x22+3x32+2ax2x3（a>0）。通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型f=y12=2y22+5y320求參數(shù)a及所用的正交變換矩陣。（12分）JDy00-7AAA,B,C均為n階方陣，M=|_c-Bc」。（1）試證M可逆的充要條件是AB可逆；（2）如果M可逆，試求逆矩陣。（12分）JDy00-81-303-2-60 13設(shè)矩陣A=0：；3。求A的不變因子，初等因子及Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。（10分）-1-408JDy00-9設(shè)V是n維歐氏空間，a1,a2,.,an是V的一組基。證明：對(duì)于任意n個(gè)實(shí)數(shù)b1?b2,.,bn，恰恰有一個(gè)向量aeV；使得心,％）=4,i=1,2,...,n。（10分）JDy00-10JDy01-1在數(shù)域Z/5Z上將多項(xiàng)式x4+x2+1分解為不可約多項(xiàng)式的乘積。（10分）JDy01-2

~1-12023.~1-12023.(10分)L002」求解如下矩陣方程：P201L-iio」JDy01-3x+x+...+x=21 2 nx+c1x+.+c1x=21 2 2 nn解線性方程組： x1+c32x2+.+cn+12xn=2 (10分)x+cn-1x+.+cn-1x=21n2 2n-2nJDy01-4求向量組｛（x1，x2，.,x64）lxi=1或-1｝的極大正交向量子組所含向量的個(gè)數(shù)，并說明理由。10分）JDy01-5設(shè)a,b,c是三維線性空間的一組基，A是這個(gè)空間的線性變換，它使 Aa=3a-2b+3c；Ab=2a-2b+6c；Ac=-a+2b-c；。（1）求A在基a,b,c下的矩陣；⑵求A的特征值和線性無關(guān)的特征向量；（3）給出可逆矩陣T和對(duì)稱矩陣D,使得T-1AT=D。（10分）JDy01-6用正交變換化二次型f（x1，x2，x3，x4）=2x1x2+2X]X3-2X]X4-2x2x3+2x2x4+2x3x4為標(biāo)準(zhǔn)形，并給出所施行的正交變換。（10分）JDy01-7用初等變換將九矩陣九用初等變換將九矩陣九3-九-九2+5九2^23九」化為標(biāo)準(zhǔn)形。（10分）JDy01-8設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，證明對(duì)充分小的正數(shù)a,矩陣E+aA是正定矩陣，其中E是n階單位矩陣。（10分）JDy01-9設(shè)A為n階方陣，矩陣E-A的特征值的實(shí)數(shù)的絕對(duì)值均小于1,其中E是n階單位矩陣。試證：矩陣A的行列式的值嚴(yán)格地介于0和2n之間。（10分）JDy01-10設(shè)V],V2是線性空間V的子空間，且dim(V1+V2)=dim(V1HV2)+1o證明只有兩種可能：V1+V2=V1且v1nV2=V2，或V]+V2=V2且v1nv2=v1且。(10分)JDy02-1設(shè)f](x)=af(x)+bg(x),g1(x)=cf(x)+dg(x)且ad-bc豐0,證明：(f(x),g(x))=(f1(x),g1(x))o(12分)JDy02-2x+a1a2a3…aJDy02-2x+a1a2a3…anxaa?…aax+aa?…a-axa?…a123naax+a…a，-a-ax?…a123n計(jì)算行列式(14分)F列方程組AX=p：（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多解，這時(shí)求它的通x+ana1a2a3-a-a-a…xJDy02-3問k取何值時(shí),"1k1"T解，其中A=1-111-k 12」-1」(15分)JDy02-4A設(shè)A為數(shù)域P上n階可逆矩陣，任意將A分為兩個(gè)子塊A=_a1」，證明n維線性空間Pn是

齊次線性方程組A]X=O的解空間V]與A2X=0的解空間V2的直和。(12分)JDy02-5設(shè)f(x)是方陣A的特征多項(xiàng)式,(x)為任一多項(xiàng)式且(f(x),g(x))=d(x)。證明:秩(g(A))=秩(d(A))。(10分)JDy02-6求正交變換化二次型f=2x12-5x22+5x32+4x1x2-4x1x3-8x2x3為標(biāo)準(zhǔn)型。(12分)JDy02-7設(shè)Q為線性空間V的一個(gè)線性變換，L=6證明：(1)Q的特征值只能為1或0；(2)若用V1與V0分別表示對(duì)應(yīng)于特征值1和0的特征子空間，則V]=6V,V0=6--1(0)；⑶V=6V十6--1(0)o(15分)JDy02-8設(shè)A,B為n階可對(duì)角化矩陣，且AB=BA,證明：A,B可同時(shí)對(duì)角化。(10分)JDy03-1求A求A100。(15分)設(shè)A=2-10-121-JDy03-2等于零。1a1a等于零。1a1a1a1a1La2a/」，A2=-a22a4」，A3=-a23a4」，A4=4-a2 a4」以P2x2表示數(shù)域P上的2階矩陣的集合。假設(shè)a1?a2，a3，a4為兩兩互異的數(shù)，而且它們的和不試證明A1=是P上線性空間P4x4的一組基。(15分)JDy03-3證明：n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為r(r<n)當(dāng)且僅當(dāng)A可以寫成A=CBCT，其中B為nxr階滿秩矩陣，C為r階可逆實(shí)對(duì)稱矩陣。(15分)JDy03-4假設(shè) f0(x5)+x f1(x10)+ x2f2(x15)+ x3f3(x20)+ x4f4(x25) 被 x4+x3+ x2+x+1整除，證明： fi(x)(i=0,1,2,3,4)被x-1整除。(15分)JDy03-5設(shè)A為n階反對(duì)稱實(shí)矩陣，B=diag{a1?a2，_,an}，其中％>0。證明IA+B卜0。(15分)JDy03-6n階方陣A滿足等式A=A2，當(dāng)且僅當(dāng)n=r(A)+r(E-A)。(15分)JDy03-7設(shè)A,B都是n階實(shí)方陣，并設(shè)九為BA的非零特征值，以VJA表示BA關(guān)于九的特征子空間;(1)證明：九也是AB的特征值；(2)證明：維數(shù)(VJA)=維數(shù)(V嚴(yán))。(20分)JDy03-8設(shè)A,B都是n階正定方陣，試證明：AB的特征值為實(shí)數(shù)。(20分)JDy03-9記V=Pnxn，P為數(shù)域，假設(shè)AeV有特征值九衛(wèi)=1,2...小)，但-X.(i=1,2_,n)均不是A的特征值，試證明：V的變換屮：XtXA+ATX'為同構(gòu)。(20分)1JDy04-1假設(shè)f1(x)與f2(x)為次數(shù)不超過3的首系數(shù)為1的互素多項(xiàng)式，假設(shè)x4+x2+1整除f^xSI+x^X)。試求f](x)與f2(x)的最大公因式。(15分)

JDy04-2011011，求所有與A可交2」以P3x3表示數(shù)域P上所有3x3矩陣組成的線性空間。對(duì)于A=0Lo換（即滿足AB=BA）的矩陣B組成的線性子空間的維數(shù)及一組基。（25分）JDy04-3對(duì)于階數(shù)分別為n,m的實(shí)對(duì)稱方陣A與B,假設(shè)m階矩陣B是正定矩陣，試證明：存在非零矩陣H,使得B=HAHT成為正定矩陣。（HT表