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文檔簡介
導(dǎo)數(shù)常用一些技巧和論(年國新課標(biāo)··)已知f
2x
x
.()論f
的單調(diào)性;()若
有兩個零點(diǎn),求a的值范圍解析)'若0
,則
恒成立,所以f
在上遞減;若,令
,
ln
.當(dāng)x
時,f'
,所以
在
上遞減;當(dāng)x
時,f'
,所以
1在,a
上遞增綜上,當(dāng)0
時,f
在R上遞減;當(dāng)0
時,f
在
1上遞減,在,a
上遞增()f
有兩個零點(diǎn),必須滿足
fmin
,即且f
x
min
f
10a
.構(gòu)造函數(shù)
gx.易g
x
,以
單調(diào)遞減又因?yàn)?/p>
g
,所以
100aa
.下面只要證明當(dāng)
0時f
有兩個零點(diǎn)即可,為此我們先證明當(dāng)x時,
.事實(shí)上,構(gòu)造函數(shù)
h易'
x
,∴
hmin
.當(dāng)
時,
f
e2e
2
,3flnalnlna
,其中
ln
,lna
,所以
在
13和a
上各有一個零點(diǎn)故a
的取值范圍是注意:點(diǎn)過程用到了常用放縮技巧。一方面:
ae2xaexaex
ln
;另一方面:0
時,
(目測的)xx,xxxxx,xxxxx2第一組:對數(shù)放縮(放縮成一次函數(shù))lnxx
,
,ln(放縮成雙撇函數(shù))lnx
11
,1lnx,lnxxx
,(放縮成二次函數(shù))xx
,ln
1x,ln22(放縮成類反比例函數(shù))ln
x
2,xx,ln0xx
,
,ln1第二組:指數(shù)放縮(放縮成一次函數(shù))e
x
e
x
e
x
,(放縮成類反比例函數(shù))
x,ex
,(放縮成二次函數(shù))
1x2x,exx6
3
,第三組:指對放縮
ln
第四組:三角函數(shù)放縮xxtanxx
1x2,xcos2
2
x
.第五組:以直線y
為切線的函數(shù)yln,
x
,
2
,y
x
,y
.221feaaa223221feaaa223經(jīng)模型一
lnx或.xlnx【例1】討論函數(shù)f
的零點(diǎn)個數(shù)()
時,無零點(diǎn)f'
x
,f
ln
.()
時,個點(diǎn).f
x
,f
.()0
時,個零點(diǎn).f
(目測
f
1
a1011f.
,其中
.(縮)f
1ln
,其中
2
.(到了ln
)()時,個點(diǎn)f'
x
,單調(diào)遞增
f
,1
a
1a
11aae
.【變式過元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例:f
討論f
的零點(diǎn)個數(shù)(令x
,
m2
a討論f
的零點(diǎn)個數(shù)(令
1m
a討論
xmx的零點(diǎn)個數(shù)(考慮g
fx
討論f
ln
mx
的零點(diǎn)個數(shù)考慮g
,令
32,m2討論f
2
的零點(diǎn)個數(shù)令
tx
,2
討論f
x
的零點(diǎn)個數(shù)(令
e
)經(jīng)模型二
exex或y【例2】討論函數(shù)f()a0時,個點(diǎn).
x
的零點(diǎn)個數(shù)f
,f
單調(diào)遞增.且
f
1
,所以在
上有一個零點(diǎn);()a時無零點(diǎn)f
恒成立;()
時,無零點(diǎn)f
f
;()a時2個零.f
1a
,
,fa
.【變式過元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題:f
x
討論
2
的零點(diǎn)個數(shù)(令2x
,
m2
a討論f
x
的零點(diǎn)個數(shù)去分母后與1等討論
的零點(diǎn)個數(shù)(移項(xiàng)平方后與1等討論
2
的零點(diǎn)個數(shù)(移項(xiàng)開方后換元與1等價(jià)討論f
的零點(diǎn)個數(shù)(乘以系數(shù)e,令a討論
x
lnx
的點(diǎn)個數(shù)(令
t
,轉(zhuǎn)化成2)討論f
x
mx
的零點(diǎn)個數(shù)令x
m,e2minmin經(jīng)模型三y
x【例】討論函數(shù)f()a時1個點(diǎn)
x
的零點(diǎn)個數(shù)f'
x,flnx
單調(diào)遞增fx()a時1個點(diǎn))0()時,無零點(diǎn)
,
1
.f
xx2
,fmin()時,個零.x0
.
1fflne()
時,2個點(diǎn).f
1a
,
f
,f
,【變式過元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題:f
x
討f
x
1x
ln
的零點(diǎn)個數(shù);討論f討論f
ae
的零點(diǎn)個數(shù)(考慮xx的零點(diǎn)個數(shù)令e
f
,令x
討論
x
x
ax
的零點(diǎn)
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