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第講3函數(shù)的值域第二章函數(shù)考點搜索●值域的概念和常見函數(shù)的值域●函數(shù)的最值●求函數(shù)的值域的常用方法●求最值的方法的綜合應(yīng)用高高考猜想高考對值域的考查主要滲透在求變量的取值范圍中,常與反函數(shù)、方程、不等式、最值問題以及應(yīng)用問題結(jié)合;在基本方法中,配方、換元、不等式、數(shù)形結(jié)合涉及較多,常表現(xiàn)為解題過程的中間環(huán)節(jié).考生應(yīng)重視通過建立函數(shù)求值域解決變量的取值范圍的問題.一、基本函數(shù)的值域1.
一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的值域為①
.2.
二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當(dāng)a>0時,值域為②
;當(dāng)a<0時,值域為③
.R3.
反比例函數(shù)y=kx(x≠0,k≠0)的值域為④
.4.
指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的值域為⑤
.5.
對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1,x>0)的值域為⑥
.6.
正、余弦函數(shù)的值域為⑦
,正、余切函數(shù)的值域為⑧
.{y|y≠0,y∈R}R+R[-1,1]R二、求函數(shù)值域的基本方法1.
配方法——常用于可化為二次函數(shù)的問題.2.逆求法——常用于已知定義域求值域(如分式型且分子、分母為一次函數(shù)的函數(shù)).3.
判別式法——可轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個變量的一元二次方程,利用方程有實數(shù)解的必要條件,建立關(guān)于y的不等式后求出范圍.運用判別式方法時注意對y的端點取值是否達到進行驗算.4.
不等式法——幾個變量的和或積的形式.5.
導(dǎo)數(shù)法——利用導(dǎo)數(shù)工具,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,討論其值域.1.設(shè)函數(shù)f(x)=1-x2(x≤1)x2+x-2(x>1),則的值為()f(x)=1-x2(x≤1)x2+x-2(x>1)故選A.f(2)=42.函數(shù)的值域為()A.(-∞,1)B.C.D.
故選C.C3.函數(shù)y=f(x)的值域是[-π,10],則函數(shù)y=f(x-10)+π的值域是()A.[-π,10]B.[0,π+10]C.[-π-10,0]D.[-10,π]因為y=f(x)所以函數(shù)y=f(x-10)+π的值域是[0,π+10],故選B.向右平移10個單位長度向上平移π個單位長度B題型一:用1.求下列函數(shù)的值域:(1)(2)(3)(1)(配方法)設(shè)μ=-x2-6x-5(μ≥0),則原函數(shù)可化化為又因為μ=-x2-6x-5=-(x+3)2+4≤4,所以0≤μ≤4,故μ∈[0,2],所以的的值域為[0,2].(2)(代數(shù)換元法)設(shè)則x=1-t2,所以原函數(shù)可可化為y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0),所以y≤5,所以原函數(shù)的的值域為(-∞,5].(3)(三角換元法)因為1-x2≥0,所以-1≤x≤1,故可設(shè)x=cosα,α∈[0,π],則y=cosα+sinα=sin(α+).因為α∈[0,π],所以所所以所以所以原函數(shù)的的值域為點評:配方法求函數(shù)數(shù)的值域時,,一是注意找找到相應(yīng)的二二次式,二是是注意自變量量的取值范圍圍;運用換元元法求函數(shù)的的值域時,注注意新變元的的取值范圍.設(shè)函數(shù)f(x)=log2(3-2x-x2)的定義域為A,值域為B,則A∩B=.由3-2x-x2>0,得-3<x<1,所以A=(-3,1).因為0<3-2x-x2=4-(x+1)2≤4,所以f(x)≤2,所以B=(-∞,2],故A∩B=(-3,1).題型二:用逆逆求法與判別別式法求函數(shù)數(shù)的值域2.求下列函數(shù)的的值域:(1)(2)(1)解法1:(逆求法)由解解出x,得因為2y+1≠0,所以函數(shù)的值值域為{y|y≠-12,且y∈R}.解法2:(分離常數(shù)法)因為又又所所以以y≠-12.即函數(shù)的值域域為(2)(判別式法)由得y·x2-3x+4y=0,當(dāng)y=0時,x=0,當(dāng)y≠0時,由Δ≥0得因為函數(shù)的定定義域為R,所以函數(shù)的的值域為點評:逆求法又稱為為反函數(shù)法,,如形如f(x)=ax+bcx+d的函數(shù),可以以用逆求法來來求解.對于定義域為為R的函數(shù)式,若若能變形為關(guān)關(guān)于自變量x的二次方程形形式,利用此此方程有解,,得到關(guān)于y的判別式的關(guān)關(guān)系式,由此此得出值域;;若定義域不不為R,此時還需根根據(jù)根的范圍圍來確定值域域.函數(shù)的的值域為.由,,得因為為x≥0,所所以以解得得所以以函函數(shù)數(shù)的的值值域域為為題型型三三::利利用用函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性求求函函數(shù)數(shù)的的值值域域3.(原創(chuàng)創(chuàng))已知知函函數(shù)數(shù)(1)若函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域是是[[-2,-1],,求求函函數(shù)數(shù)的的值值域域;;(2)若函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域是是,,求求函函數(shù)數(shù)的的值值域域.由得(1)當(dāng)x∈[-2,-1]時時,,得所以以f(x)在區(qū)區(qū)間間[[-2,-1]是是減減函函數(shù)數(shù),,所以以當(dāng)當(dāng)x=-2時,,[[f(x)]max=f(-2)=3,當(dāng)x=-1時,,[[f(x)]min=f(-1)=-1,所以以函函數(shù)數(shù)的的值值域域是是[[-1,3].(2)由可可得得x=1.所以以當(dāng)當(dāng)時時,,f′(x)<0,所以以f(x)在區(qū)區(qū)間間上上是是減減函函數(shù)數(shù),,同理理可可得得f(x)在區(qū)區(qū)間間(1,2)上是是增增函函數(shù)數(shù).由知知,,當(dāng)定定義義域域為為函函數(shù)數(shù)的的值值域域為為[[3,5].點評評::利用用函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性求求函函數(shù)數(shù)的的值值域域,,其其策策略略是是::首首先先判判斷斷函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性或或函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間,,然然后后根根據(jù)據(jù)單單調(diào)調(diào)性性求求函函數(shù)數(shù)的的最最值值,,再再得得出出函函數(shù)數(shù)的的值值域域.函數(shù)數(shù)的的值值域域是是.函數(shù)數(shù)的的定定義義域域為為因為為函函數(shù)數(shù)在在上上為為單單調(diào)調(diào)遞遞增增函函數(shù)數(shù),,所以以當(dāng)當(dāng)時時,,故原原函函數(shù)數(shù)的的值值域域為為若存存在在x∈[2,5],,使使等等式式成成立立,,求求a的取取值值范范圍圍.由題題設(shè)設(shè),,當(dāng)當(dāng)x∈[2,5]時時,,成立立.令即即x=t2+1,t∈[1,2],,則所以以當(dāng)當(dāng)t∈[1,2]時時,,a∈[-3,-1].
參考題1.要求求熟熟記記各各種種基基本本函函數(shù)數(shù)的的值值域域.2.求函函數(shù)數(shù)值值域域時時,,不不但但要要重重視視對對應(yīng)應(yīng)法法則則的的作作用用,,還還要要特特別別注注意意定定義義域域?qū)χ抵涤蛴虻牡淖髯饔糜?3.已知知函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域或或值值域域,,求求參參數(shù)數(shù)的的范范圍圍,,是是一一種種逆逆向向思思維維.解決決這這類類問問題題要
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