同濟大學(xué)(高等數(shù)學(xué))-第四篇-無窮級數(shù)

...wd......wd......wd...第四篇無窮級數(shù)第七章無窮級數(shù)無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，它以極限理論為根基，是研究函數(shù)的性質(zhì)及進展數(shù)值計算方面的重要工具.本章首先討論常數(shù)項級數(shù)，介紹無窮級數(shù)的一些基本概念和基本內(nèi)容，然后討論函數(shù)項級數(shù)，著重討論如何為將函數(shù)展開成冪級數(shù)和三角級數(shù)的問題，最后介紹工程中常用的傅里葉級數(shù).第1節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)1.1常數(shù)項級數(shù)的概念一般的，給定一個數(shù)列那么由這數(shù)列構(gòu)成的表達式叫做〔常數(shù)項〕無窮級數(shù)簡稱〔常數(shù)項〕級數(shù)記為即其中第項叫做級數(shù)的一般項作級數(shù)的前項和稱為級數(shù)的局部和當(dāng)n依次取1,2,3…時，它們構(gòu)成一個新的數(shù)列，，，…，，…根據(jù)這個數(shù)列有沒有極限，我們引進無窮級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念。定義如果級數(shù)的局部和數(shù)列有極限即那么稱無窮級數(shù)收斂這時極限叫做這級數(shù)的和并寫成如果沒有極限那么稱無窮級數(shù)發(fā)散當(dāng)級數(shù)收斂時其局部和是級數(shù)的和的近似值它們之間的差值叫做級數(shù)的余項例1討論等比級數(shù)〔幾何級數(shù)〕(a0)的斂散性解如果那么局部和當(dāng)時因為所以此時級數(shù)收斂其和為當(dāng)時因為所以此時級數(shù)發(fā)散如果那么當(dāng)時因此級數(shù)發(fā)散當(dāng)時級數(shù)成為因為隨著為奇數(shù)或偶數(shù)而等于或零所以的極限不存在從而這時級數(shù)發(fā)散綜上所述如果那么級數(shù)收斂其和為如果那么級數(shù)發(fā)散例2判別無窮級數(shù)的收斂性解由于因此,而，故該級數(shù)發(fā)散.例3判別無窮級數(shù)的收斂性解因為,所以從而所以這級數(shù)收斂它的和是11.2收斂級數(shù)的基本性質(zhì)根據(jù)無窮級數(shù)收斂、發(fā)散的概念，可以得到收斂級數(shù)的基本性質(zhì).性質(zhì)1如果級數(shù)收斂于和那么它的各項同乘以一個常數(shù)所得的級數(shù)也收斂且其和為證明設(shè)與的局部和分別為與那么,這說明級數(shù)收斂且和為性質(zhì)2如果級數(shù)、分別收斂于和、那么級數(shù)也收斂且其和為證明如果、、的局部和分別為、、，那么性質(zhì)3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項不會改變級數(shù)的收斂性比方級數(shù)是收斂的;級數(shù)也是收斂的;級數(shù)也是收斂的性質(zhì)4如果級數(shù)收斂那么對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂且其和不變應(yīng)注意的問題如果加括號后所成的級數(shù)收斂那么不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂例如級數(shù)〔11)+〔11)+收斂于零但級數(shù)1111卻是發(fā)散的推論如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散那么原來級數(shù)也發(fā)散性質(zhì)5如果收斂那么它的一般項趨于零即證明設(shè)級數(shù)的局部和為且那么注級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件例6證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的證明假假設(shè)級數(shù)收斂且其和為是它的局部和顯然有及于是但另一方面故矛盾這矛盾說明級數(shù)必定發(fā)散習(xí)題7-11.寫出以下級數(shù)的前四項:〔1〕；〔2〕.2.寫出以下級數(shù)的一般項〔通項〕:〔1〕；〔2〕；〔3〕.3.根據(jù)級數(shù)收斂性的定義，判斷以下級數(shù)的斂散性:〔1〕;〔2〕.4.判斷以下級數(shù)的斂散性:〔1〕;〔2〕;〔3〕〔4〕.第2節(jié)常數(shù)項級數(shù)的收斂法那么2.1正項級數(shù)及其收斂法那么現(xiàn)在我們討論各項都是正數(shù)或零的級數(shù)，這種級數(shù)稱為正項級數(shù).設(shè)級數(shù)〔7-2-1〕是一個正項級數(shù)，它的局部和為.顯然，數(shù)列是一個單調(diào)增加數(shù)列，即：如果數(shù)列有界，即總不大于某一常數(shù)，根據(jù)單調(diào)有界的數(shù)列必有極限的準那么，級數(shù)〔7-2-1〕必收斂于和，且.反之，如果正項級數(shù)〔7-2-1〕收斂于和.根據(jù)有極限的數(shù)列是有界數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列有界.因此，有如下重要結(jié)論：定理1正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的局部和數(shù)列{}有界定理2(比較審斂法)設(shè)和都是正項級數(shù)且假設(shè)級數(shù)收斂那么級數(shù)收斂反之假設(shè)級數(shù)發(fā)散那么級數(shù)發(fā)散證明設(shè)級數(shù)收斂于和那么級數(shù)的局部和即局部和數(shù)列有界由定理1知級數(shù)收斂反之設(shè)級數(shù)發(fā)散那么級數(shù)必發(fā)散因為假設(shè)級數(shù)收斂由上已證明的結(jié)論將有級數(shù)也收斂與假設(shè)矛盾推論設(shè)和都是正項級數(shù)如果級數(shù)收斂且存在自然數(shù)N使當(dāng)時有成立那么級數(shù)收斂如果級數(shù)發(fā)散且當(dāng)時有成立那么級數(shù)發(fā)散例1討論p級數(shù)的收斂性其中常數(shù)解設(shè)這時而調(diào)和級數(shù)發(fā)散由比較審斂法知當(dāng)時級數(shù)發(fā)散設(shè)此時有對于級數(shù)其局部和因為所以級數(shù)收斂從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知級數(shù)當(dāng)時收斂綜上所述p級數(shù)當(dāng)時收斂當(dāng)時發(fā)散例2證明級數(shù)是發(fā)散的證明因為而級數(shù)是發(fā)散的根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的定理3〔比較審斂法的極限形式)設(shè)和都是正項級數(shù)如果那么級數(shù)和級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散證明由極限的定義可知對存在自然數(shù)N當(dāng)時有不等式即.再根據(jù)比較審斂法的推論1即得所要證的結(jié)論例3判別級數(shù)的收斂性解因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法的極限形式級數(shù)發(fā)散用比較審斂法審斂時，需要適當(dāng)?shù)剡x取一個其收斂性的級數(shù)作為比較的基準.最常選用做基準級數(shù)的是等比級數(shù)和p級數(shù).定理4(比值審斂法達朗貝爾判別法)假設(shè)正項級數(shù)的后項與前項之比值的極限等于，即那么當(dāng)時級數(shù)收斂當(dāng)(或)時級數(shù)發(fā)散當(dāng)時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散例4判別級數(shù)收斂性解因為根據(jù)比值審斂法可知，所給級數(shù)收斂例5判別級數(shù)的收斂性解因為根據(jù)比值審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散定理5(根值審斂法柯西判別法)設(shè)是正項級數(shù)如果它的一般項的n次根的極限等于，即那么當(dāng)時級數(shù)收斂當(dāng)(或)時級數(shù)發(fā)散當(dāng)時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散定理6〔極限審斂法〕設(shè)為正項級數(shù)，〔1〕如果〔或〕，那么級數(shù)發(fā)散；〔2〕如果，而〔〕，那么級數(shù)收斂.證明〔1〕在極限形式的比較審斂法中，取，由調(diào)和級數(shù)發(fā)散，知結(jié)論成立.〔2〕在極限形式的比較審斂法中，取，當(dāng)時，p級數(shù)收斂，故結(jié)論成立.例6判定級數(shù)的收斂性.解因，故，根據(jù)極限審斂法，知所給級數(shù)收斂.2.2交織級數(shù)及其審斂法那么以下形式的級數(shù)稱為交織級數(shù).交織級數(shù)的一般形式為其中定理7〔萊布尼茨定理〕如果交織級數(shù)滿足條件(1)(2)那么級數(shù)收斂且其和其余項的絕對值證明設(shè)前項局部和為，由,及，看出數(shù)列單調(diào)增加且有界所以收斂設(shè)那么也有所以，從而級數(shù)是收斂的且因為|也是收斂的交織級數(shù)所以.2.3絕對收斂與條件收斂對于一般的級數(shù)：假設(shè)級數(shù)收斂，那么稱級數(shù)絕對收斂；假設(shè)級數(shù)收斂，而級數(shù)發(fā)散那么稱級數(shù)條件收斂級數(shù)絕對收斂與級數(shù)收斂有如下關(guān)系：定理8如果級數(shù)絕對收斂那么級數(shù)必定收斂證明令.顯然且.因級數(shù)收斂，故由比較審斂法知道，級數(shù)，從而級數(shù)也收斂.而，由收斂級數(shù)的基本性質(zhì)可知：，所以級數(shù)收斂.定理8說明，對于一般的級數(shù)，如果我們用正項級數(shù)的審斂法判定級數(shù)收斂，那么此級數(shù)收斂.這就使得一大類級數(shù)的收斂性判定問題，轉(zhuǎn)化成為正項級數(shù)的收斂性判定問題.一般來說，如果級數(shù)發(fā)散我們不能斷定級數(shù)也發(fā)散但是如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)發(fā)散那么我們可以斷定級數(shù)必定發(fā)散這是因為此時|un|不趨向于零從而也不趨向于零因此級數(shù)也是發(fā)散的例7判別級數(shù)的收斂性解因為|而級數(shù)是收斂的所以級數(shù)也收斂從而級數(shù)絕對收斂例8判別級數(shù)〔為常數(shù)〕的收斂性解因為所以當(dāng)時，級數(shù)均收斂；當(dāng)時，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散.習(xí)題7-21.用比較審斂法判定以下級數(shù)的收斂性：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕.2.用比值審斂法判定以下級數(shù)的斂散性:〔1〕;〔2〕;〔3〕;〔4〕.3.判定以下級數(shù)的斂散性:〔1〕;〔2〕;〔3〕;〔4〕;〔5〕.4.判定以下級數(shù)是否收斂假設(shè)收斂，是絕對收斂還是條件收斂〔1〕;〔2〕;〔3〕;〔4〕.第3節(jié)冪級數(shù)3.1函數(shù)項級數(shù)的概念給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列由這函數(shù)列構(gòu)成的表達式,稱為定義在區(qū)間上的(函數(shù)項)級數(shù)記為對于區(qū)間內(nèi)的一定點假設(shè)常數(shù)項級數(shù)收斂那么稱點是級數(shù)的收斂點假設(shè)常數(shù)項級數(shù)發(fā)散那么稱點是級數(shù)的發(fā)散點函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域所有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域在收斂域上函數(shù)項級數(shù)的和是的函數(shù)稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)并寫成函數(shù)項級數(shù)的前項的局部和記作即在收斂域上有.函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)與局部和的差叫做函數(shù)項級數(shù)的余項并有3.2冪級數(shù)及其收斂性函數(shù)項級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項都是冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù)這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù)它的形式是其中常數(shù)叫做冪級數(shù)的系數(shù)定理1〔阿貝爾定理)對于級數(shù)，當(dāng)時收斂那么適合不等式的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂反之如果級數(shù)當(dāng)時發(fā)散那么適合不等式的一切使這冪級數(shù)發(fā)散證先設(shè)是冪級數(shù)的收斂點即級數(shù)收斂根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件有于是存在一個常數(shù)使這樣級數(shù)的的一般項的絕對值因為當(dāng)時等比級數(shù)收斂所以級數(shù)收斂也就是級數(shù)絕對收斂定理的第二局部可用反證法證明倘假設(shè)冪級數(shù)當(dāng)時發(fā)散而有一點適合使級數(shù)收斂那么根據(jù)本定理的第一局部級數(shù)當(dāng)時應(yīng)收斂這與所設(shè)矛盾定理得證推論如果級數(shù)不是僅在點一點收斂也不是在整個數(shù)軸上都收斂那么必有一個完全確定的正數(shù)存在使得當(dāng)時冪級數(shù)絕對收斂當(dāng)時冪級數(shù)發(fā)散當(dāng)與時冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑開區(qū)間叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間再由冪級數(shù)在處的收斂性就可以決定它的收斂域冪級數(shù)的收斂域是或、、之一假設(shè)冪級數(shù)只在收斂那么規(guī)定收斂半徑假設(shè)冪級數(shù)對一切都收斂那么規(guī)定收斂半徑這時收斂域為定理2如果其中、是冪級數(shù)的相鄰兩項的系數(shù)那么這冪級數(shù)的收斂半徑證明(1)如果,那么只當(dāng)時冪級數(shù)收斂故(2)如果那么冪級數(shù)總是收斂的故(3)如果那么只當(dāng)時冪級數(shù)收斂故例1求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域解因為所以收斂半徑為即收斂區(qū)間為.當(dāng)時有，由于級數(shù)收斂，所以級數(shù)在時也收斂.因此收斂域為例2求冪級數(shù)=的收斂域解因為所以收斂半徑為從而收斂域為例3求冪級數(shù)的收斂半徑解因為所以收斂半徑為即級數(shù)僅在處收斂例4求冪級數(shù)的收斂半徑解級數(shù)缺少奇次冪的項定理2不能應(yīng)用可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑冪級數(shù)的一般項記為因為當(dāng)即時級數(shù)收斂當(dāng)即時級數(shù)發(fā)散所以收斂半徑為3.3冪級數(shù)的運算設(shè)冪級數(shù)及分別在區(qū)間及內(nèi)收斂那么在與中較小的區(qū)間內(nèi)有加法.減法.乘法.除法:關(guān)于冪級數(shù)的和函數(shù)有以下重要性質(zhì)：性質(zhì)1冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù)性質(zhì)2冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上可積并且有逐項積分公式逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有一樣的收斂半徑性質(zhì)3冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)并且有逐項求導(dǎo)公式逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有一樣的收斂半徑例6求冪級數(shù)的和函數(shù)解求得冪級數(shù)的收斂域為設(shè)和函數(shù)為即顯然在的兩邊求導(dǎo)得：對上式從到積分得于是當(dāng)時有從而提示應(yīng)用公式即習(xí)題7-31．求以下冪級數(shù)的收斂區(qū)間〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕；〔8〕.2.利用逐項求導(dǎo)法或逐項積分法，求以下級數(shù)的和函數(shù)〔1〕;〔2〕.第4節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)4.1函數(shù)展開成冪級數(shù)給定函數(shù)要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)〞就是說是否能找到這樣一個冪級數(shù)它在某區(qū)間內(nèi)收斂且其和恰好就是給定的函數(shù)如果能找到這樣的冪級數(shù)我們就說函數(shù)能展開成冪級數(shù)而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達了函數(shù)如果在點的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，那么當(dāng)時在點的泰勒多項式成為冪級數(shù)這一冪級數(shù)稱為函數(shù)的泰勒級數(shù)顯然當(dāng)時的泰勒級數(shù)收斂于需要解決的問題除了外的泰勒級數(shù)是否收斂?如果收斂它是否一定收斂于?定理設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)那么在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是的泰勒公式中的余項當(dāng)時的極限為零即證明先證必要性設(shè)在內(nèi)能展開為泰勒級數(shù)即又設(shè)是的泰勒級數(shù)的前項的和那么在內(nèi)而的階泰勒公式可寫成，于是再證充分性設(shè)對一切成立因為的階泰勒公式可寫成于是，即的泰勒級數(shù)在內(nèi)收斂并且收斂于在泰勒級數(shù)中取得此級數(shù)稱為的麥克勞林級數(shù)要把函數(shù)展開成的冪級數(shù)，可以按照以下步驟進展：第一步求出的各階導(dǎo)數(shù)第二步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在處的值第三步寫出冪級數(shù)并求出收斂半徑R第四步考察在區(qū)間(內(nèi)時是否是否為零如果那么在內(nèi)有展開式例1試將函數(shù)展開成的冪級數(shù)解所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為因此得到冪級數(shù)該冪級數(shù)的收斂半徑由于對于任何有限的數(shù)(介于0與之間)有而所以從而有展開式例2將函數(shù)展開成的冪級數(shù)解因為所以順序循環(huán)地取于是得級數(shù)它的收斂半徑為對于任何有限的數(shù)(介于0與之間)有因此得展開式.例3將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)其中為任意常數(shù)解的各階導(dǎo)數(shù)為所以且于是得冪級數(shù)以上例題是直接按照公式計算冪級數(shù)的系數(shù)，最后考察余項是否趨于零.這種直接展開的方法計算量較大，而且研究余項即使在初等函數(shù)中也不是一件容易的事.下面介紹間接展開的方法，也就是利用一些的函數(shù)展開式，通過冪級數(shù)的運算以及變量代換等，將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).這樣做不但計算簡單，而且可以防止研究余項.例4將函數(shù)展開成的冪級數(shù)解對上式兩邊求導(dǎo)得例5將函數(shù)展開成的冪級數(shù)解因為而是收斂的等比級數(shù)的和函數(shù)所以將上式從0到逐項積分得上述展開式對也成立這是因為上式右端的冪級數(shù)當(dāng)時收斂而在處有定義且連續(xù)常用展開式小結(jié)4.2冪級數(shù)的展開式的應(yīng)用4.2.1近似計算有了函數(shù)的冪級數(shù)展開式，就可以用它進展近似計算，在展開式有意義的區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值可以利用這個級數(shù)近似的按要求計算出來.例6計算的近似值(誤差不超過)解因為所以在二項展開式中取即這個級數(shù)從第二項起是交織級數(shù)，如果取前項和作為的近似值那么其誤差(也叫做截斷誤差)可算得為了使誤差不超過只要取其前兩項作為其近似值即可于是有例7利用求的近似值并估計誤差解首先把角度化成弧度(弧度)(弧度)從而其次估計這個近似值的準確度在的冪級數(shù)展開式中令得等式右端是一個收斂的交織級數(shù)且各項的絕對值單調(diào)減少取它的前兩項之和作為的近似值起誤差為因此取.于是得，這時誤差不超過例8計算定積分的近似值要求誤差不超過〔取〕解將的冪級數(shù)展開式中的換成得到被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式.于是根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項可積得.前四項的和作為近似值其誤差為所以例9計算積分的近似值要求誤差不超過解因為所以對上式逐項積分得=.上面級數(shù)為交織級數(shù)，所以誤差，經(jīng)試算，，.所以取前三項計算，即.4.2.2歐拉公式設(shè)有復(fù)數(shù)項級數(shù)為〔7-4-1〕其中為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù).如果實部所成的級數(shù)〔7-4-2〕收斂于和，并且虛部所成的級數(shù)〔7-4-3〕收斂于和，就說級數(shù)〔1〕收斂且其和為.如果級數(shù)〔7-4-1〕各項的模所構(gòu)成的級數(shù)收斂，那么稱級數(shù)〔7-4-1〕絕對收斂.如果級數(shù)〔1〕絕對收斂，由于那么級數(shù)〔7-4-2〕，〔7-4-3〕絕對收斂，從而級數(shù)〔7-4-1〕收斂.考察復(fù)數(shù)項級數(shù)〔7-4-4〕可以證明級數(shù)〔7-4-4〕在整個復(fù)平面上是絕對收斂的.在軸上它表示指數(shù)函數(shù)，在整個復(fù)平面上我們用它來定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)，記作，于是定義為〔7-4-5〕當(dāng)時，為純虛數(shù)，〔7-4-5〕式成為把換寫為，上式變?yōu)椤?-4-6〕這就是歐拉公式.應(yīng)用公式〔7-4-6〕，復(fù)數(shù)可以表示為指數(shù)形式：〔7-4-7〕其中是的模，是的輻角在〔7-4-6〕式中把換成，又有與〔7-4-6〕相加、相減，得〔7-4-8〕這兩個式子也叫做歐拉公式.〔7-4-6〕式或〔7-4-最后，根據(jù)定義式〔7-4-5.特殊地，取為實數(shù)，為純虛數(shù)，那么有這就是說，復(fù)變量指數(shù)函數(shù)在處的值是模為、輻角為的復(fù)數(shù).習(xí)題7-41.將以下函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間：〔1〕;〔2〕;〔3〕;〔4〕;〔5〕;〔6〕.2.將函數(shù)展開成的冪級數(shù).3.將函數(shù)展開成的冪級數(shù).4.利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求的近似值〔誤差不超過0.0001〕5.利用歐拉公式將函數(shù)展開成的冪級數(shù).第5節(jié)傅里葉級數(shù)5.1三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性正弦函數(shù)是一種常見而簡單的周期函數(shù).例如描述簡諧振動的函數(shù),就是一個以為周期的正弦函數(shù)，其中表示動點的位置，表示時間，為振幅，為角頻率，為初相.在實際問題中，除了正弦函數(shù)外，還會遇到非正弦函數(shù)的周期函數(shù)，它們反響了較復(fù)雜的周期運動.如電子技術(shù)中常用的周期為的矩形波,就是一個非正弦周期函數(shù)的例子.為了深入研究非正弦周期函數(shù)，聯(lián)系到前面介紹過的用函數(shù)的冪級數(shù)展開式表示和討論函數(shù),我們也想將周期為的周期函數(shù)用一系列以為周期的正弦函數(shù)組成的級數(shù)來表示，記為〔7-5-1〕其中都是常數(shù).將周期函數(shù)按上述方式展開，它的物理意義是很明確的，這就是把一個比較復(fù)雜的周期運動看作是許多不同頻率的簡諧振動的疊加.在電工學(xué)上，這種展開稱為是諧波分析.其中常數(shù)項稱為是的直流分量；稱為一次諧波；而,依次稱為是二次諧波，三次諧波，等等.為了以后討論方便起見，我們將正弦函數(shù)按三角公式變形，得=+，并且令，，，，那么〔1〕式右端的級數(shù)就可以改寫為〔7-5-2〕形如〔7-5-2〕式的級數(shù)叫做三角級數(shù)，其中都是常數(shù).令〔7-5-2〕式成為〔7-5-3〕這就把以為周期的三角級數(shù)轉(zhuǎn)換為以為周期的三角級數(shù).下面討論以為周期的三角級數(shù)〔7-5-3〕.我們首先介紹三角函數(shù)系的正交性.三角函數(shù)系〔7-5-4〕在區(qū)間上正交，就是指在三角函數(shù)系〔7-5-4〕中任何不同的兩個函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分等于零，即三角函數(shù)系中任何兩個一樣的函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分不等于零即5.2函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)設(shè)是周期為的周期函數(shù)且能展開成三角級數(shù)〔7-5-5〕那么系數(shù)與函數(shù)之間存在著怎樣的關(guān)系?假定三角級數(shù)可逐項積分那么=類似地，可得系數(shù)叫做函數(shù)的傅里葉系數(shù)由于當(dāng)時，的表達式正好給出，因此，已得結(jié)果可合并寫成〔7-5-6〕將傅里葉系數(shù)代入〔5〕式右端，所得的三角級數(shù)叫做函數(shù)的傅里葉級數(shù).一個定義在上周期為的函數(shù)如果它在一個周期上可積那么一定可以作出的傅里葉級數(shù)然而函數(shù)的傅里葉級數(shù)是否一定收斂?如果它收斂它是否一定收斂于函數(shù)?一般來說這兩個問題的答案都不是肯定的定理1〔收斂定理狄利克雷充分條件)設(shè)是周期為的周期函數(shù)如果它滿足在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類連續(xù)點在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點那么的傅里葉級數(shù)收斂并且當(dāng)是的連續(xù)點時級數(shù)收斂于當(dāng)是的連續(xù)點時級數(shù)收斂于由定理可知，函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低得多，假設(shè)記，在上就成立的傅里葉級數(shù)展開式.〔7-5-7〕例1設(shè)是周期為的周期函數(shù)它在上的表達式為，將展開成傅里葉級數(shù)解所給函數(shù)滿足收斂定理的條件它在點處不連續(xù)在其它點處連續(xù)從而由收斂定理知道的傅里葉級數(shù)收斂并且當(dāng)時收斂于當(dāng)時級數(shù)收斂于傅里葉系數(shù)計算如下[1(1)n].于是的傅里葉級數(shù)展開式為例2設(shè)是周期為的周期函數(shù)它在上的表達式為.將展開成傅里葉級數(shù).解所給函數(shù)滿足收斂定理的條件它在點處不連續(xù)因此的傅里葉級數(shù)在處收斂于在連續(xù)點處級數(shù)收斂于傅里葉系數(shù)計算如下.的傅里葉級數(shù)展開式為.設(shè)只在上有定義我們可以在或外補充函數(shù)的定義使它拓廣成周期為的周期函數(shù)在內(nèi).按這種方式拓廣函數(shù)的定義域的過程稱為周期延拓.例3將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)解所給函數(shù)在區(qū)間上滿足收斂定理的條件并且拓廣為周期函數(shù)時它在每一點處都連續(xù)因此拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)在上收斂于傅里葉系數(shù)為;于是的傅里葉級數(shù)展開式為5.3正弦級數(shù)和余弦級數(shù)對于周期為的函數(shù)，它的傅里葉系數(shù)計算公式為由于奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于半?yún)^(qū)間上積分的兩倍，因此，當(dāng)為奇函數(shù)時是奇函數(shù)是偶函數(shù)故傅里葉系數(shù)為因此奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有正弦項的正弦級數(shù)當(dāng)為偶函數(shù)時是偶函數(shù)是奇函數(shù)故傅里葉系數(shù)為bn0因此偶數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有余弦項的余弦級數(shù)例4設(shè)是周期為的周期函數(shù)它在[)上的表達式為將展開成傅里葉級數(shù)解首先所給函數(shù)滿足收斂定理的條件它在點不連續(xù)因此的傅里葉級數(shù)在函數(shù)的連續(xù)點收斂于在點收斂于其次假設(shè)不計)那么是周期為的奇函數(shù)于是而的傅里葉級數(shù)展開式為設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上并且滿足收斂定理的條件我們在開區(qū)間內(nèi)補充函數(shù)的定義得到定義在上的函數(shù)使它在上成為奇函數(shù)(偶函數(shù))按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓(偶延拓)限制在上有例5將函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)解先求正弦級數(shù)為此對函數(shù)進展奇延拓函數(shù)的正弦級數(shù)展開式為在端點及處級數(shù)的和顯然為零它不代表原來函數(shù)的值再求余弦級數(shù)為此對進展偶延拓.函數(shù)的余弦級數(shù)展開式為5.4周期為的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)我們所討論的周期函數(shù)都是以為周期的但是實際問題中所遇到的周期函數(shù)它的周期不一定是怎樣把周期為的周期函數(shù)展開成三角級數(shù)呢問題我們希望能把周期為的周期函數(shù)展開成三角級數(shù)為此我們先把周期為的周期函數(shù)變換為周期為的周期函數(shù)令及那么是以為周期的函數(shù)這是因為于是當(dāng)滿足收斂定理的條件時可展開成傅里葉級數(shù)其中(n012)從而有如下定理定理2設(shè)周期為的周期函數(shù)滿足收斂定理的條件那么它的傅里葉級數(shù)展開式為其中系數(shù)anbn為當(dāng)為奇函數(shù)時其中當(dāng)為偶函數(shù)時其中例6設(shè)是周期為4的周期函數(shù)它在上的表達式為(常數(shù))將展開成傅里葉級數(shù)解這里.于是.例7將函數(shù)展成周期為4的余弦函數(shù).解對進展偶延拓那么,,故習(xí)題7-51.以下函數(shù)周期都為，試求其傅里葉級數(shù)展開式：〔1〕;〔2〕.2.將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù).3.將函數(shù)展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).4.將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù).第6節(jié)級數(shù)的應(yīng)用6.1級數(shù)在經(jīng)濟上的應(yīng)用6.1.1乘子效應(yīng)設(shè)想聯(lián)邦政府通過一項消減100億美元稅收的法案，假設(shè)每個人將花費這筆額外收入的93%，并把其余的存起來。試估計消減稅收對經(jīng)濟活動的總效應(yīng)。因為消減稅收后人們的收入增加了，億美元將被用于消費。對某些人來說，這些錢變成了額外的收入，它的93%又被用于消費，因此又增加了億美元的消費，這些錢的承受者又將花費它的93%，即又增加了億美元的消費。如此下去，消減稅收后所產(chǎn)生的新的消費的總和由以下無窮級數(shù)給出：這是一個首項為，公比為的幾何級數(shù)，此級數(shù)收斂，它的和為：億美元即消減100億美元的稅收將產(chǎn)生的附加的消費大約為億美元.此例描述了乘子效應(yīng)(themultipliereffect).每人將花費一美元額外收入的比例稱作“邊際消費傾向〞(themarginaltoconsume),記為.在本例中，，正如我們上面所討論的，消減稅收后所產(chǎn)生的附加消費的總和為：附加消費的總和==[消減稅額],消減十二乘以乘子就是它的實際效應(yīng).6.1.2投資費用問題設(shè)初始投資為,年利率為,年重復(fù)一次投資.這樣第一次更新費用的現(xiàn)值為,第二次更新費用的現(xiàn)值為,以此類推,投資費用為以下等比數(shù)列之和：.例1建鋼橋的費用為元,每隔年需要油漆一次，每次費用為元,橋的期望壽命為年；建造一座木橋的費用為元,每隔年需要油漆一次，每次的費用為元,其期望壽命為年，假設(shè)年利率為,問建造哪一種橋較為經(jīng)濟解根據(jù)題意,橋的費用包括兩局部：建橋費用+油漆費用.對建鋼橋;建鋼橋費用為,其中,那么.油漆鋼橋費用為.故建鋼橋的總費用的現(xiàn)值為.類似地,建木橋的費用為.油漆木橋費用為.建木橋的總費用的現(xiàn)值為.現(xiàn)假設(shè)價格每年以備份率漲價，年利率為,假設(shè)某種服務(wù)或工程的現(xiàn)在費用為時,那么年后的費用為,其現(xiàn)值為.因此在通貨膨脹的情況下,計算總費用的等比級數(shù)為.6.2級數(shù)在工程上的應(yīng)用在土建工程中，常常遇到關(guān)于橢圓周長的計算問題。設(shè)有橢圓，求它的周長.把橢圓方程寫成參數(shù)形式：.記橢圓的離心率為，即：，那么橢圓的弧微分所以橢圓的周長.由于不是初等函數(shù)，不能直接積分，我們用函數(shù)的冪級數(shù)展開式推導(dǎo)橢圓周長的近似公式易得又因為，從而，由上式得：.于是，所以橢圓周長的近似公式為.利用上述方法還可退出橢圓周長的冪級數(shù)展開式，并由此得出更準確的近似計算公式：習(xí)題7-61.某合同規(guī)定，從簽約之日起由甲方永不停頓地每年支付給乙方300萬元人民幣，設(shè)利率為每年5%，分別以〔1〕年復(fù)利計算利息；〔2〕連續(xù)復(fù)利計算利息，那么該合同的現(xiàn)值等于多少2.鋼筋混凝土橢圓薄殼根基內(nèi)某根橢圓形鋼筋的尺寸為：長半軸為1米，短半軸為米，試求這鋼筋的長度〔準確到小數(shù)點后三位〕.第七節(jié)Mathematica軟件應(yīng)用7.1無窮級數(shù)之和在MATLAB中使用命令symsum來對無窮級數(shù)進展求和.該命令的常用格式如表6-1所示，其中s為級數(shù)的一般項.命令格式功能r=symsum(s,a,b)返回默認變量k從a開場到b為止s的和r=symsum(s,a,inf)返回默認變量k從a開場到為止s的和例1求的一般表達式.解：輸入命令：symskn;symsum(k^2,1,n)輸出結(jié)果為：ans=1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6輸出結(jié)果比較復(fù)雜，可以簡化一下，輸入命令：simplify(ans)輸出結(jié)果為：ans=1/3*n^3+1/2*n^2+1/6*n可以再對該結(jié)果進展因式分解，輸入命令：factor(ans)輸出結(jié)果為：ans=1/6*n*(n+1)*(2*n+1)例2.求解輸入命令：symsk;symsum(k^3,1,10)輸出結(jié)果為：ans=3025例3求.解輸入命令：symsk;r=symsum(1/sym(‘k!’),0,inf)輸出結(jié)果為：r=exp(1)7.2冪級數(shù)之和設(shè)冪級數(shù)為，可以使用命令symsum(s,n,0,inf)來求出s(