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§2.3數(shù)學(xué)歸納法方法1:從n=5開始逐個驗(yàn)證?方法2:構(gòu)造新數(shù)列,其中,先求數(shù)列
的通項(xiàng)公式,從而得到的通項(xiàng)公式。
方法3:能否通過有限個步驟的推理,證明n取所有正整數(shù)時,通項(xiàng)公式都成立?如何證明這個猜想?2.多米諾骨牌游戲:2.多米諾骨牌游戲:思考:這個游戲中,能使多米諾骨牌全部倒下的條件有哪些?(1)第一塊骨牌倒下;(2)任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊也倒下?!笆醉?xiàng)要符合的通項(xiàng)公式”“假設(shè)n=k時猜想成立,則導(dǎo)致n=k+1時,猜想也成立”(2)假設(shè)時命題成立,證明當(dāng)時命題也成立。3.數(shù)學(xué)歸納法:一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:(1)證明當(dāng)取第一個值時,命題成立;(歸納遞推)
數(shù)學(xué)歸納法的核心是遞推,所以在第二步中,從“n=k”到“n=k+1”的過程,須把“n=k”作為條件來推導(dǎo)出“n=k+1”時的命題。(歸納奠基)4.練習(xí)例1:用數(shù)學(xué)歸納法證明:
在第二步中,從“n=k”到“n=k+1”的過程,必須把“n=k”作為條件來推導(dǎo)“n=k+1”時的命題。4.練習(xí)例2:[錯題糾正]用數(shù)學(xué)歸納法證明:證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=1,等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)時等式成立,即當(dāng)時,由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,得:
所以,原命題成立。
并未得出遞推關(guān)系
假設(shè)當(dāng)時等式成立,即當(dāng)時,
變式:證明:即當(dāng)n=k+1時,等式成立。所以,原命題成立。
遞推關(guān)系成立哦!歸納奠基不成立!4.練習(xí)例3:試分析不等式:2、在第二步中,從“n=k”到“n=k+1”的過程,須注意等式左邊多了哪些項(xiàng),少了哪些項(xiàng)。1、初始值不一定為1,應(yīng)視情況而定;
對所有的正整數(shù)n都成立嗎?并證明你的結(jié)論。4.練習(xí)例4:用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時,
在第二步中,從“n=k”到“n=k+1”的過程,須注意等式左邊多了哪些項(xiàng),少了哪些項(xiàng)。5.課堂小結(jié)
數(shù)學(xué)歸納法一般被用于證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,可按兩個步驟進(jìn)行:(1)證明當(dāng)取第一個值時,命題成立;(2)假設(shè)時命題成立,證明當(dāng)時命題也成立。
注:(1)兩個步驟缺一不可;(2)初始值不一定為1;(3)在第二步中,從“n=k”到“n=k+1”的過程,必須把“n=k”作為條件來推導(dǎo)“n=k+1”時的命題。6.作業(yè)1、校本作業(yè):數(shù)
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