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3.2.2函數(shù)的奇偶性畫(huà)出并觀察函數(shù)和函數(shù)的圖像,你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎?
可以發(fā)現(xiàn),這兩個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱探究:類比函數(shù)單調(diào)性,你能用符號(hào)語(yǔ)言精確地描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱“這一特征嗎?可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí),相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相等
對(duì)于,有對(duì)于,有
偶函數(shù):函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果?x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).思考:對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x),若f(-3)=f(3),那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)嗎?偶函數(shù)
圖像關(guān)于y軸對(duì)稱代數(shù)特征幾何特征定義中,的常見(jiàn)變形有:
觀察函數(shù)和函數(shù)的圖像,你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同的特征?你能用符號(hào)語(yǔ)言精確地描述這一特征嗎?
可以發(fā)現(xiàn),這兩個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值也是一對(duì)相反數(shù)對(duì)于,有
對(duì)于,有
奇函數(shù):函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果?x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).奇函數(shù)
圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱代數(shù)特征幾何特征定義中,的常見(jiàn)變形有:
例1:判斷下列函數(shù)的奇偶性:你能總結(jié)出利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法嗎?你能列舉出一些奇函數(shù)或偶函數(shù)嗎?(7)f(x)=|x+1|+|x-1|偶偶偶偶奇探究:設(shè),的定義域分別是A和B,在公共定義域上有:
奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇思考:(1)判斷函數(shù)的奇偶性。(2)如圖,是函數(shù)圖象的一部分,你能根據(jù)函數(shù)的奇偶性畫(huà)出它在y軸左邊的圖象嗎?(3)一般地,如果知道函數(shù)為偶(奇)函數(shù),那么我們可以怎樣簡(jiǎn)化對(duì)它的研究?
練習(xí):課本P85練習(xí)1探究:奇函數(shù)在y軸左右兩邊的單調(diào)性有何特點(diǎn)?偶函數(shù)呢?2.設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),則下列結(jié)論恒成立的是(
)A.f(x)+|g(x)|是偶函數(shù)B.f(x)-|g(x)|是奇函數(shù)C.|f(x)|+g(x)是偶函數(shù)D.|f(x)|-g(x)是奇函數(shù)總結(jié)提煉:例:已知f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=x(1+x),求f(x)的解析式.總結(jié)提煉:例:設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系是(
)A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)練習(xí):定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù),偶函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,+∞)上的圖象與f(x)的圖象重合,設(shè)a>b>0,下列不等式中成立的有________.(填序號(hào))①f(a)>f(-b); ②f(-a)>f(b);③g(a)>g(-b); ④g(-a)<g(b);⑤g(-a)>f(-a).總結(jié)提煉:例:奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的圖象如圖,則函數(shù)f(x)的增區(qū)間為_(kāi)_______,f(x)<0的解集為_(kāi)_______變式:已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上是增函數(shù).若f(-3)=0,則xf(x)<0的解集為_(kāi)___
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