【課件】8.3.1分類變量與列聯(lián)表課件-2021-2022學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗8.3.1分類變量與列聯(lián)表前面兩節(jié)所討論的變量，如人的身高、樹的胸徑、樹的高度、短跑100m世界紀錄和創(chuàng)紀錄的時間等，都是數(shù)值變量.數(shù)值變量的取值為實數(shù)，其大小和運算都有實際含義.在現(xiàn)實生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關聯(lián)性或相互影響的問題.例如，就讀不同學校是否對學生的成績有影響，不同班級學生用于體育鍛煉的時間是否有差別，吸煙是否會增加患肺癌的風險，等等.本節(jié)將要學習的獨立性檢驗方法為我們提供了解決這類問題的方案.在討論上述問題時，為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實數(shù)表示，例如，學生所在的班級可以用1,2,3等表示，男性、女性可以用1,0表示，等等.在很多時候，這些數(shù)值只作為編號使用，并沒有通常的大小和運算意義.本節(jié)我們主要討論取值于{0,1}的分類變量的關聯(lián)性問題.1.分類變量問題為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素是否對本校學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對學生是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了普查.全校學生的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù)，說明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?如何利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)判斷一對分類變量之間是否具有關聯(lián)性呢?對于這樣的統(tǒng)計問題，有時可以利用普查數(shù)據(jù)，通過比較相關的比率給出問題的準確回答，但在大多數(shù)情況下，需要借助概率的觀點和方法.我們先看下面的具體問題.這是一個簡單的統(tǒng)計問題.最直接的解答方法是，比較經(jīng)常鍛煉的學生在女生和男生中的比率.由已知數(shù)據(jù)，可得該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異，而且男生更經(jīng)常鍛煉.上面的問題還可以通過建立一個古典概型，使用條件概率的語言，給出另外一種解答方法.用Ω表示該校全體學生構成的集合，則Ω為樣本空間，定義一對分類變量X和Y如下:對于Ω中的每一名學生，分別令下面我們利用已知數(shù)據(jù)分別來計算這兩個條件概率.若從該校女生和男生中各隨機選取一名學生，那么該女生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率為而該男生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率為為了清楚起見，我們用表格整理數(shù)據(jù)，如下表所示.性別鍛煉合計不經(jīng)常(Y＝0)經(jīng)常(Y＝1)女生(X＝0)192331523男生(X＝1)128473601合計3208041124∴在該校的學生中，性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，即該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異，而且男生更經(jīng)常鍛煉.2.列聯(lián)表在實踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計，并做成表格加以保存.我們將形如下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).組別甲(Y＝0)乙(Y＝1)合計A(X＝0)aba＋bB(X＝1)cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d用Ω表示兩所學校的全體學生構成的集合，則Ω為樣本空間，對于Ω中的每一名學生，定義分類變量X和Y如下：例1為比較甲、乙兩所學校學生的數(shù)學水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學生.通過測驗得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學生中有10名數(shù)學成績優(yōu)秀;乙校45名學生中有7名數(shù)學成績優(yōu)秀.試分析兩校學生中數(shù)學成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.解：將所給數(shù)據(jù)整理成如下2×2列聯(lián)表.學校數(shù)學成績合計不優(yōu)秀(Y＝0)優(yōu)秀(Y＝1)甲校(X＝0)331043乙校(X＝1)38745合計711788學校數(shù)學成績合計不優(yōu)秀(Y＝0)優(yōu)秀(Y＝1)甲校(X＝0)331043乙校(X＝1)38745合計711788由等高堆積條形圖可知，可以認為兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異，甲校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率比乙校學生的高.由2×2列聯(lián)表可得，甲校學生中數(shù)學成績不優(yōu)秀和數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率分別為乙校學生中數(shù)學成績不優(yōu)秀和數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率分別為作出等高堆積條形圖如圖示.甲校乙校1.00.80.60.40.00.2優(yōu)秀不優(yōu)秀思考你認為“兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異”這一結論是否有可能是錯誤的?事實上，“兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異”這個結論是根據(jù)兩個頻率間存在差異推斷出來的.有可能出現(xiàn)這種情況:在隨機抽取的這個樣本中，兩個頻率間確實存在差異，但兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率實際上是沒有差別的.這就是說，樣本的隨機性導致了兩個頻率間出現(xiàn)較大差異.在這種情況下，我們推斷出的結論就是錯誤的.后面我們將討論犯這種錯誤的概率大小問題.變式網(wǎng)絡對現(xiàn)代人的生活影響較大，尤其是對青少年，為了解網(wǎng)絡對中學生學習成績的影響，某地區(qū)教育主管部門從轄區(qū)初中生中隨機抽取了1000人調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中經(jīng)常上網(wǎng)的有200人，這200人中有80人期末考試不及格，而另外800人中有120人不及格．利用圖形判斷學生經(jīng)常上網(wǎng)與學習成績有關嗎？解：根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：成績上網(wǎng)合計經(jīng)常上網(wǎng)不經(jīng)常上網(wǎng)不及格80120200及格120680800合計2008001000由此可得得到等高堆積條形圖如圖所示：比較圖中陰影部分，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)常上網(wǎng)期末考試不及格的頻率明顯高于經(jīng)常上網(wǎng)期末考試及格的頻率，因此可以認為經(jīng)常上網(wǎng)與學習成績有關．課本127頁1.成語“名師出高徒”可以解釋為“知名老師指導出高水平學生的概率較大”，即老師的名聲與學生的水平之間有關聯(lián).你能舉出更多的描述生活中兩種屬性或現(xiàn)象之間關聯(lián)的成語嗎?解：例如水漲船高、登高望遠等.課本127頁2.例1中的隨機抽樣數(shù)據(jù)是否足夠確定與X和Y有關的所有概率和條件概率?為什么?解：不能.因為隨機抽樣得到的樣本具有隨機性，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出來的頻率也具有隨機性.在統(tǒng)計推斷中，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以利用頻率推斷與X和Y有關的概率和條件概率，但由于頻率具有隨機性，這種推斷可能犯錯誤.因此，隨機抽樣數(shù)據(jù)不足以確定與X和Y有關的所有概率和條件概率.課本127頁3.根據(jù)有關規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語.那么(1)吸煙是否對每位煙民一定會引發(fā)健康問題?(2)有人說吸煙不一定引起健康問題，因此可以吸煙.這種說法對嗎?解：(1)從已掌握的知識來看，吸煙會損害身體的健康.但除了吸煙之外，身體的健康還受許多其他隨機因素的影響，它是很多因素共同作用的結果.吸煙導致患病的案例非常普遍，但也可以找到長壽的吸煙者.因此健康與吸煙有關聯(lián)，即從統(tǒng)計意義上講，吸煙會損害健康，但不一定會對每位煙民都引起健康問題.(2)這種說法不正確.雖然吸煙不一定會對每個人都引起健康問題，但根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，吸煙比不吸煙引起健康問題的可能性大，因此“吸煙不一定引起健康問題，因此可以吸煙”的說法是不對的.課本127頁4.假設在本小節(jié)“問題”中，只是隨機抽取了44名學生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下的列聯(lián)表:性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常女生51520男生61824合計113344(1)據(jù)此推斷性別因素是否影響學生鍛煉的經(jīng)常性；(2)說明你的推斷結論是否可能犯錯，并解釋原因.課本127頁性別鍛煉合計不經(jīng)常(Y＝0)經(jīng)常(Y＝1)女生(X＝0)51520男生(X＝1)61824合計113344(1)據(jù)此推斷性別因素是否影響學生鍛煉的經(jīng)常性；(2)說明你的推斷結論是否可能犯錯，并解釋原因.解：(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得男女生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率分別為通過對比發(fā)現(xiàn)，男生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率與女生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率分別相等，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以推斷P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1).因此，可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響.(2)推斷可能犯錯誤.因為樣本是通過隨機抽樣得到的，頻率具有隨機性，因此推斷可能犯錯誤.小結：1.分類變量

用以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的一種特殊的隨機變量，稱為分類變量．分類變量的取值可以用實數(shù)表示，例如，學生所在的班級可