【課件】8.3.1分類變量與列聯(lián)表課件-2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)8.3.1分類變量與列聯(lián)表前面兩節(jié)所討論的變量，如人的身高、樹的胸徑、樹的高度、短跑100m世界紀(jì)錄和創(chuàng)紀(jì)錄的時(shí)間等，都是數(shù)值變量.數(shù)值變量的取值為實(shí)數(shù)，其大小和運(yùn)算都有實(shí)際含義.在現(xiàn)實(shí)生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問(wèn)題.例如，就讀不同學(xué)校是否對(duì)學(xué)生的成績(jī)有影響，不同班級(jí)學(xué)生用于體育鍛煉的時(shí)間是否有差別，吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)，等等.本節(jié)將要學(xué)習(xí)的獨(dú)立性檢驗(yàn)方法為我們提供了解決這類問(wèn)題的方案.在討論上述問(wèn)題時(shí)，為了表述方便，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示，例如，學(xué)生所在的班級(jí)可以用1,2,3等表示，男性、女性可以用1,0表示，等等.在很多時(shí)候，這些數(shù)值只作為編號(hào)使用，并沒(méi)有通常的大小和運(yùn)算意義.本節(jié)我們主要討論取值于{0,1}的分類變量的關(guān)聯(lián)性問(wèn)題.1.分類變量問(wèn)題為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了普查.全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù)，說(shuō)明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?如何利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)判斷一對(duì)分類變量之間是否具有關(guān)聯(lián)性呢?對(duì)于這樣的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，有時(shí)可以利用普查數(shù)據(jù)，通過(guò)比較相關(guān)的比率給出問(wèn)題的準(zhǔn)確回答，但在大多數(shù)情況下，需要借助概率的觀點(diǎn)和方法.我們先看下面的具體問(wèn)題.這是一個(gè)簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題.最直接的解答方法是，比較經(jīng)常鍛煉的學(xué)生在女生和男生中的比率.由已知數(shù)據(jù)，可得該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異，而且男生更經(jīng)常鍛煉.上面的問(wèn)題還可以通過(guò)建立一個(gè)古典概型，使用條件概率的語(yǔ)言，給出另外一種解答方法.用Ω表示該校全體學(xué)生構(gòu)成的集合，則Ω為樣本空間，定義一對(duì)分類變量X和Y如下:對(duì)于Ω中的每一名學(xué)生，分別令下面我們利用已知數(shù)據(jù)分別來(lái)計(jì)算這兩個(gè)條件概率.若從該校女生和男生中各隨機(jī)選取一名學(xué)生，那么該女生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率為而該男生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率為為了清楚起見，我們用表格整理數(shù)據(jù)，如下表所示.性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常(Y＝0)經(jīng)常(Y＝1)女生(X＝0)192331523男生(X＝1)128473601合計(jì)3208041124∴在該校的學(xué)生中，性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，即該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異，而且男生更經(jīng)常鍛煉.2.列聯(lián)表在實(shí)踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問(wèn)題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì)，并做成表格加以保存.我們將形如下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).組別甲(Y＝0)乙(Y＝1)合計(jì)A(X＝0)aba＋bB(X＝1)cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d用Ω表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合，則Ω為樣本空間，對(duì)于Ω中的每一名學(xué)生，定義分類變量X和Y如下：例1為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過(guò)測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀;乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異.解：將所給數(shù)據(jù)整理成如下2×2列聯(lián)表.學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀(Y＝0)優(yōu)秀(Y＝1)甲校(X＝0)331043乙校(X＝1)38745合計(jì)711788學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀(Y＝0)優(yōu)秀(Y＝1)甲校(X＝0)331043乙校(X＝1)38745合計(jì)711788由等高堆積條形圖可知，可以認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高.由2×2列聯(lián)表可得，甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為作出等高堆積條形圖如圖示.甲校乙校1.00.80.60.40.00.2優(yōu)秀不優(yōu)秀思考你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯(cuò)誤的?事實(shí)上，“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這個(gè)結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)頻率間存在差異推斷出來(lái)的.有可能出現(xiàn)這種情況:在隨機(jī)抽取的這個(gè)樣本中，兩個(gè)頻率間確實(shí)存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率實(shí)際上是沒(méi)有差別的.這就是說(shuō)，樣本的隨機(jī)性導(dǎo)致了兩個(gè)頻率間出現(xiàn)較大差異.在這種情況下，我們推斷出的結(jié)論就是錯(cuò)誤的.后面我們將討論犯這種錯(cuò)誤的概率大小問(wèn)題.變式網(wǎng)絡(luò)對(duì)現(xiàn)代人的生活影響較大，尤其是對(duì)青少年，為了解網(wǎng)絡(luò)對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的影響，某地區(qū)教育主管部門從轄區(qū)初中生中隨機(jī)抽取了1000人調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中經(jīng)常上網(wǎng)的有200人，這200人中有80人期末考試不及格，而另外800人中有120人不及格．利用圖形判斷學(xué)生經(jīng)常上網(wǎng)與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)嗎？解：根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：成績(jī)上網(wǎng)合計(jì)經(jīng)常上網(wǎng)不經(jīng)常上網(wǎng)不及格80120200及格120680800合計(jì)2008001000由此可得得到等高堆積條形圖如圖所示：比較圖中陰影部分，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)常上網(wǎng)期末考試不及格的頻率明顯高于經(jīng)常上網(wǎng)期末考試及格的頻率，因此可以認(rèn)為經(jīng)常上網(wǎng)與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)．課本127頁(yè)1.成語(yǔ)“名師出高徒”可以解釋為“知名老師指導(dǎo)出高水平學(xué)生的概率較大”，即老師的名聲與學(xué)生的水平之間有關(guān)聯(lián).你能舉出更多的描述生活中兩種屬性或現(xiàn)象之間關(guān)聯(lián)的成語(yǔ)嗎?解：例如水漲船高、登高望遠(yuǎn)等.課本127頁(yè)2.例1中的隨機(jī)抽樣數(shù)據(jù)是否足夠確定與X和Y有關(guān)的所有概率和條件概率?為什么?解：不能.因?yàn)殡S機(jī)抽樣得到的樣本具有隨機(jī)性，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的頻率也具有隨機(jī)性.在統(tǒng)計(jì)推斷中，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以利用頻率推斷與X和Y有關(guān)的概率和條件概率，但由于頻率具有隨機(jī)性，這種推斷可能犯錯(cuò)誤.因此，隨機(jī)抽樣數(shù)據(jù)不足以確定與X和Y有關(guān)的所有概率和條件概率.課本127頁(yè)3.根據(jù)有關(guān)規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語(yǔ).那么(1)吸煙是否對(duì)每位煙民一定會(huì)引發(fā)健康問(wèn)題?(2)有人說(shuō)吸煙不一定引起健康問(wèn)題，因此可以吸煙.這種說(shuō)法對(duì)嗎?解：(1)從已掌握的知識(shí)來(lái)看，吸煙會(huì)損害身體的健康.但除了吸煙之外，身體的健康還受許多其他隨機(jī)因素的影響，它是很多因素共同作用的結(jié)果.吸煙導(dǎo)致患病的案例非常普遍，但也可以找到長(zhǎng)壽的吸煙者.因此健康與吸煙有關(guān)聯(lián)，即從統(tǒng)計(jì)意義上講，吸煙會(huì)損害健康，但不一定會(huì)對(duì)每位煙民都引起健康問(wèn)題.(2)這種說(shuō)法不正確.雖然吸煙不一定會(huì)對(duì)每個(gè)人都引起健康問(wèn)題，但根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，吸煙比不吸煙引起健康問(wèn)題的可能性大，因此“吸煙不一定引起健康問(wèn)題，因此可以吸煙”的說(shuō)法是不對(duì)的.課本127頁(yè)4.假設(shè)在本小節(jié)“問(wèn)題”中，只是隨機(jī)抽取了44名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下的列聯(lián)表:性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常女生51520男生61824合計(jì)113344(1)據(jù)此推斷性別因素是否影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性；(2)說(shuō)明你的推斷結(jié)論是否可能犯錯(cuò)，并解釋原因.課本127頁(yè)性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常(Y＝0)經(jīng)常(Y＝1)女生(X＝0)51520男生(X＝1)61824合計(jì)113344(1)據(jù)此推斷性別因素是否影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性；(2)說(shuō)明你的推斷結(jié)論是否可能犯錯(cuò)，并解釋原因.解：(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得男女生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率分別為通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，男生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率與女生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率分別相等，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以推斷P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1).因此，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒(méi)有影響.(2)推斷可能犯錯(cuò)誤.因?yàn)闃颖臼峭ㄟ^(guò)隨機(jī)抽樣得到的，頻率具有隨機(jī)性，因此推斷可能犯錯(cuò)誤.小結(jié)：1.分類變量

用以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的一種特殊的隨機(jī)變量，稱為分類變量．分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示，例如，學(xué)生所在的班級(jí)可