高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.9圓錐曲線的綜合問題第3課時定點定值探索性問題課件理

§9.9

圓錐曲線的綜合問題第3課時定點、定值、探索性問題課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引題型分類深度剖析題型一定點問題解答(1)求橢圓的標準方程；幾何畫板展示設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.(2)若λ1＋λ2＝－3，試證明：直線l過定點并求此定點.證明由題意設(shè)P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)l方程為x＝t(y－m)，∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，

①∴由題意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，

②將③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由題意mt<0，∴mt＝－1，滿足②，得直線l方程為x＝ty＋1，過定點(1,0)，即Q為定點.圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).思維升華解答(1)求橢圓C的方程；幾何畫板展示解答因為l為切線，所以Δ＝(2tλ)2－4(t2＋2)(λ2－2)＝0，即t2－λ2＋2＝0. ④設(shè)圓與x軸的交點為T(x0，0)，因為MN為圓的直徑，當(dāng)t＝0時，不符合題意，故t≠0.所以T為定點，故動圓過x軸上的定點(－1,0)與(1,0)，即橢圓的兩個焦點.題型二定值問題例2

如圖，已知橢圓C：

，點B是其下頂點，過點B的直線交橢圓C于另一點A(點A在x軸下方)，且線段AB的中點E在直線y＝x上.(1)求直線AB的方程；解答由已知得B(0，－2)．設(shè)E(λ，λ)，則A(2λ，2λ＋2)．把A的坐標代入橢圓方程，得即x＋3y＋6＝0.(2)若點P為橢圓C上異于A，B的動點，且直線AP，BP分別交直線y＝x于點M，N，證明：OM·ON為定值.證明設(shè)M(m，m)，N(n，n)，P(x0，y0)，得(x0＋3)(m＋1)＝(y0＋1)(m＋3)，圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值.依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值.(2)求點到直線的距離為定值.利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得.(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2016·揚州模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點F(，0)，直線l：x＝－

，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求動點Q的軌跡C的方程；解答依題意知，點R是線段FP的中點，且RQ⊥FP，∴RQ是線段FP的垂直平分線.∵點Q在線段FP的垂直平分線上，∴PQ＝QF，又PQ是點Q到直線l的距離，故動點Q的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為y2＝2x(x>0).(2)設(shè)圓M過A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運動時，弦長TS是否為定值？請說明理由.解答弦長TS為定值.理由如下：幾何畫板展示題型三探索性問題(1)求橢圓E的方程；解答由已知，點C，D的坐標分別為(0，－b)，(0，b)，(2)設(shè)O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A，B兩點.是否存在常數(shù)λ，使得

為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.證明幾何畫板展示當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2).其判別式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，解決探索性問題的注意事項探索性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論.(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件.(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2016·蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點，上頂點分別為A，B，原點O到直線AB的距離等于ab.解答(1)若橢圓C的離心率等于

，求橢圓C的方程；幾何畫板展示即bx＋ay－ab＝0.化簡得a2＋b2＝1. ①即a2＝3b2. ②(2)若過點(0,1)的直線l與橢圓有且只有一個公共點P，且P在第二象限，直線PF2交y軸于點Q.試判斷以PQ為直徑的圓與點F1的位置關(guān)系，并說明理由．解答幾何畫板展示得(b2＋a2k2)x2＋2ka2x＋a2－a2b2＝0，(*)則Δ＝(2ka2)2－4(b2＋a2k2)(a2－a2b2)＝0，點F1在以PQ為直徑的圓上．由題設(shè)，直線l與橢圓相切且l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，∵點P在第二象限，∴k＝1.把k＝1代入方程(*)，得x2＋2a2x＋a4＝0，解得x＝－a2，從而y＝b2，∴P(－a2，b2)．又a2＋b2＝1，a2＝b2＋c2，∴點F1在以PQ為直徑的圓上．典例(16分)橢圓C： (a>b>0)的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為

，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.(1)求橢圓C的方程；(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連結(jié)PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0)，求m的取值范圍；(3)在(2)的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，若k2≠0，證明

為定值，并求出這個定值.設(shè)而不求，整體代換思想與方法系列23規(guī)范解答思想方法指導(dǎo)幾何畫板展示對題目涉及的變量巧妙地引進參數(shù)(如設(shè)動點坐標、動直線方程等)，利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進行整體代換，達到“設(shè)而不求，減少計算”的效果，直接得定值.返回(2)設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)，所以直線PF1，PF2的方程分別為(3)設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)，則直線l的方程為y－y0＝k(x－x0).返回課時作業(yè)(1)求橢圓的標準方程；所以a2－c2＝1，解得a＝2，解答12345證明12345設(shè)直線l1的方程為y＝kx＋1.得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，1234512345(1)求橢圓C的標準方程；解答12345∴a2＝5，b2＝1，12345證明12345設(shè)點A，B，M的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，點F的坐標為(2,0).顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y＝k(x－2)，得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，12345故λ1＋λ2為定值.12345(1)求橢圓E的標準方程；解答由①②，解得a2＝6，b2＝4，12345(2)若斜率為k的直線l過點A(0,1)，且與橢圓E交于C，D兩點，B為橢圓E的下頂點，求證：對于任意的k，直線BC，BD的斜率之積為定值.證明12345設(shè)直線l：y＝kx＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，得(3k2＋2)x2＋6kx－9＝0.易知B(0，－2)，12345所以對于任意的k，直線BC，BD的斜率之積為定值.12345(1)求橢圓C的方程；解答又△MF1F2為正三角形，且MF1＝MF2＝a，12345(2)垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，過點P(4，0)的直線PB交橢圓C于另一點E，證明：直線AE與x軸相交于定點.證明12345由題意知，直線PB的斜率存在，且過點P(4,0).設(shè)直線PB的方程為y＝k(x－4)，B(x1，y1)，E(x2，y2)，則A(x1，－y1).得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，12345將y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，代入②式，將①式代入③式，整理得x＝1.∴直線AE與x軸相交于定點(1,0).12345*5.(2016·南京模擬)已知半橢圓

(x≥0)與半橢圓

(x<0)組成的曲線稱為“果圓”，其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0.如圖，設(shè)點F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點.(1)若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；解答1234512345(2)若A1A2>B1B2，求

的取值范