【講座】《數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：從直觀到推理-以曲線與方程為例》

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：

從直觀到推理——以《曲線與方程》為例一、數(shù)學(xué)直觀與數(shù)學(xué)抽象

最初的抽象是基于直觀的，正如康德所說：人類的一切知識(shí)都是從直觀開始，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束。數(shù)學(xué)直觀，人們又常說成直觀想象。直觀是抽象的基礎(chǔ)，抽象是直觀的升華。根據(jù)數(shù)學(xué)逐級(jí)抽象的特征，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)的直觀與抽象是相對(duì)的，低一級(jí)的抽象是高一級(jí)抽象的直觀，“舊知識(shí)”可以看成“新知識(shí)”的直觀。主要表現(xiàn)：建立形與數(shù)的聯(lián)系；利用幾何圖形描述問題；借助幾何直觀理解問題；運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物。“直觀想象”素養(yǎng)內(nèi)涵與主要表現(xiàn)素養(yǎng)內(nèi)涵：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識(shí)，提升數(shù)形結(jié)合的能力；形成數(shù)學(xué)直觀直覺，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì)。主要表現(xiàn)：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則；提出數(shù)學(xué)命題和模型；形成數(shù)學(xué)方法與思想；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)內(nèi)涵與主要表現(xiàn)素養(yǎng)內(nèi)涵：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁；運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題。

學(xué)科核心素養(yǎng)學(xué)科知識(shí)學(xué)科活動(dòng)1.1數(shù)學(xué)概念形成過程的從直觀到抽象

《曲線與方程》教學(xué)中，首先引導(dǎo)學(xué)生思考：在直角坐標(biāo)系中，幾何圖形“點(diǎn)”的代數(shù)形式是什么？讓學(xué)生初步形成對(duì)于“一一對(duì)應(yīng)”的認(rèn)識(shí)。進(jìn)一步類比到直線、圓等其他曲線，逐漸形成任意曲線和方程之間“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系的理解。

從特殊到一般的思想表現(xiàn)在從簡(jiǎn)單情形去認(rèn)識(shí)復(fù)雜事物，這能使抽象的數(shù)學(xué)命題變得具體而簡(jiǎn)單。1.1數(shù)學(xué)概念形成過程的從直觀到抽象

體會(huì)：1、概念教學(xué)要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程；

2、“曲線的方程”與“方程的曲線”的關(guān)系

是本節(jié)的核心問題，從多個(gè)角度分析這個(gè)問

題，有助于學(xué)生更好地理解概念的內(nèi)涵。

數(shù)形對(duì)應(yīng)關(guān)系、集合、充要條件等二、數(shù)學(xué)直觀與邏輯推理

數(shù)學(xué)直觀畢竟只是直觀，任何從實(shí)踐觀察中總結(jié)提煉出來的數(shù)學(xué)結(jié)論或猜想可能是不正確的，此時(shí)就需要嚴(yán)格的邏輯推理論證。

因此，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們總是先從具體事物中抽象出“數(shù)”和“形”的概念，并將其定量，而后嚴(yán)格的邏輯推理逐漸成為主角，學(xué)生們將完成從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般、從已知到未知的推理過程。邏輯推理邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)?！斑壿嬐评怼彼仞B(yǎng)內(nèi)涵與主要表現(xiàn)

素養(yǎng)內(nèi)涵：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提出和論證數(shù)學(xué)命題，掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會(huì)有邏輯地思考問題；發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題；探索和表述論證過程；能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物理解事物命題之間的關(guān)聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡(luò)，把握知識(shí)結(jié)構(gòu)；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，增強(qiáng)交流能力。

主要表現(xiàn)：掌握推理基本形式和規(guī)則；發(fā)現(xiàn)問題和提出命題；探索和表述論證過程；理解命題體系；有邏輯地表達(dá)與交流。2.1數(shù)學(xué)概念形成過程中的邏輯推理本節(jié)是學(xué)習(xí)了必修二直線與方程、圓與方程的基礎(chǔ)上，學(xué)生有了一定的感性認(rèn)識(shí)。這一節(jié)的主要目的是使得學(xué)生對(duì)曲線與方程的關(guān)系有一個(gè)更加系統(tǒng)、完整的認(rèn)識(shí)。

首先，曲線的方程這個(gè)概念的形成過程本身就是一個(gè)是從特殊到一般的推理。

其次，不論是從數(shù)形對(duì)應(yīng)關(guān)系、集合關(guān)系還是充要條件等角度，都是要求學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)從不同的情境中把握命題之間的關(guān)聯(lián)。2.2概念形成后的簡(jiǎn)單推理及應(yīng)用

例1證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k>0)的點(diǎn)的軌跡方程是xy=±k.

反思：1、培養(yǎng)學(xué)生從基本概念、基本原理出發(fā)思考

問題的習(xí)慣；

2、為后續(xù)學(xué)習(xí)“累加法求通項(xiàng)”埋下伏筆。2.2概念形成后的簡(jiǎn)單推理及應(yīng)用三、坐標(biāo)法

坐標(biāo)法在本節(jié)之前就已出現(xiàn)，《必修二》中求直線的點(diǎn)斜式方程就是學(xué)生經(jīng)歷“幾何問題代數(shù)化”的一次重要過程.本節(jié)重復(fù)了這一過程，意在強(qiáng)調(diào)這一重要思想。

解析幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就是使他們樹立自覺應(yīng)用坐標(biāo)法解決問題的意識(shí).

坐標(biāo)法是研究幾何問題的重要方法，它通過坐標(biāo)系，把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一。四、信息技術(shù)是直觀想象的好幫手

4.1信息技術(shù)為數(shù)學(xué)教材提供了一種可操作的環(huán)境。在這種環(huán)境里，抽象的數(shù)學(xué)概念和關(guān)系是“可視的”，并且可以被具體操作。4.2信息技術(shù)讓數(shù)學(xué)教材“生動(dòng)”起來

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)需要直觀素材的支撐，更重視從直觀到抽象的過程，信息技術(shù)在這些方面都具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。信息技術(shù)具有的文字、圖表、動(dòng)畫等多種表述方式可以從不同角度提供直觀素材，為數(shù)學(xué)對(duì)象建立“多元聯(lián)系表示”，它的交互性實(shí)驗(yàn)環(huán)境又可以提供探索的空間，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象的過程，讓數(shù)學(xué)教材生動(dòng)起來，也讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加有趣。雙曲線定義變式五、數(shù)形結(jié)合是直觀想象的源泉

應(yīng)該說，整節(jié)課始終貫穿著數(shù)形結(jié)合思想方法.

例2（P36例3）已知一條直線l和它上方的一個(gè)點(diǎn)F，點(diǎn)F到l的距離是2.一條曲線也在l的上方，它上面的每一點(diǎn)到F的距離減去到l的距離的差都是2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方程.l

.F2

如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？為什么？五、數(shù)形結(jié)合是直觀想象的源泉

練習(xí)2(P37.3)已知點(diǎn)C（2,2），過點(diǎn)C的直線CA與x軸交于