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文檔簡介
第六章不等式不等式的應用第講61考點搜索●應用均值不等式求最值●應用不等式求范圍●不等式與函數●不等式與平面幾何、立體幾何●不等式與解析幾何●不等式在實際問題中的應用●恒成立不等式的常用解決方法2高考猜想運用不等式的性質和方法解決一些涉及不等關系(特別是函數中的有關問題,如單調性等)以及實際問題等,是不等式知識應用的重要體現,是高考的熱點,各種題型都有,各種難度都有可能,因此應予以特別的關注.3一、不等式的主要應用不等式在中學數學中有著廣泛的應用,其中主要表現在:(1)求函數的定義域、值域;(2)求函數的最值;(3)討論函數的單調性;(4)研究方程的實根分布;(5)求參數的取值范圍;(6)解決與不等式有關的應用性問題等.其中含參數的討論和不等式在實際問題中的應用是高考命題的熱點,也是學習中的難點.4二、建立不等式的主要途徑(1)利用問題的幾何意義;
(2)利用判別式;
(3)利用函數的有界性;
(4)利用函數的單調性.51.設那么M、N的大小關系是()A.M>NB.M=NC.M<ND.不能確定解:由
(注意a≠1,a≠3),所以M>N.A62.把長為12cm的細鐵絲截成兩段,各自圍成一個正三角形,那么這兩個正三角形面積之和的最小值是()解:設一段長為xcm,則另一段長為(12-x)cm,則D73.若關于x的方程4x+a·2x+a+1=0有實數解,則實數a的取值范圍是________.解:令t=2x(t>0),則原方程化為t2+at+a+1=0,變形得81.(1)求函數(x>-1)的最小值;(2)已知x>0,y>0且3x+4y=12,求lgx+lgy的最大值及相應的x、y的值.
解:(1)因為x>-1,所以x+1>0.
所以題型1不等式在純數學問題中的應用9當且僅當x+1=即x=1時,等號成立.所以當x=1時,函數(x>-1)的最小值為9.(2)因為x>0,y>0,且3x+4y=12,所以所以lgx+lgy=lgxy≤lg3,當且僅當3x=4y=6,即x=2,y=時等號成立.
所以當x=2,y=時,lgx+lgy取最大值lg3.10點評:不等式、、方程、、函數等等知識的的結合是是代數知知識綜合合的一個個主要方方面,利利用不等等式研究究函數、、數列等等有關問問題,體體現了不不等式的的工具性性.如本題就就是充分分利用均均值不等等式的性性質,得得出函數數式的最最值.11已知函數數f(x)=(x>0).(1)判斷f(x)在(0,+∞)上的單調調性,并證明;(2)解關于x的不等式式f(x)>0;(3)若f(x)+2x≥0在(0,+∞)上恒成立立,求a的取值范范圍.解:(1)因為f′(x)=-<0,所以f(x)在(0,+∞)上為減函函數.(2)由f(x)>0,得即即①當a>0時,不等式的的解集為為{x|0<x<2a};12②當a<0時,原不不等式化化為其解集為為{x|x>0}.(3)若f(x)+2x≥0在(0,+∞)上恒成立立,即所所以以因為+2x≥4,所以≤4,解得a<0或a≥.故a的取值范范圍是(-∞,0)∪[,,+∞).132.圍建一個個面積為為360m2的矩形場場地,要求矩形場地地的一面面利用舊舊墻(利用的舊舊墻需維維修),其他三面面圍墻要要新建.在舊墻對對面的新新墻上要要留一個個寬度為為2m的進出口口,如圖圖所示.已知舊墻墻的維修修費用為為45元/m,新墻的的造價為為180元/m.設利用的的舊墻長長度為x(單位:m),修建此此矩形場場地圍墻墻的總費費用為y(單位:元).題型2不等式在實際際問題中的應應用14(1)將y表示為x的函數;(2)試確定x,使修建此矩矩形場地圍墻墻的總費用最最小,并求出出最小總費用用.解:(1)如圖,設矩形形的另一邊長為為am.則y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360,由已知xa=360,得a=,所以15(2)因為x>0,所以所以當且僅當時時,等號成成立.即當x=24m時,修建此矩矩形場地圍墻墻的總費用最最小,最小總總費用是10440元.點評:求解不等式的的應用題,一一般先建立相相應的函數關關系,然后轉轉化為利用不不等式去求函函數的最值,,或比較幾個個式子的值.注意合理選取取變元,構造造數學模型,,建立函數關關系式.16某省每年損失失耕地20萬畝,每畝耕耕地的價格為為2.4萬元.為了減少耕地地損失,政府府部門決定按按耕地價格的的t%征收耕地占用用稅,這樣每每年的耕地損損失可減少2.5t萬畝.為了既減少耕耕地損失,又又保證此項稅稅收一年不少少于9000萬元,則t的取值范圍是是.解:據題意,得即整理,得t2-8t+15≤0,所以3≤t≤5.17汽車在行駛中中由于慣性作作用,剎車后后還要繼續(xù)向向前滑行一段段距離才能停停住,我們稱稱這段距離為為“剎車距離離”.剎車距離是分分析事故的一一個重要因素素.在一個限速40km/h以內的彎道上上,甲、乙兩兩輛汽車相向向而行,發(fā)現現情況不對,,同時剎車,,但還是相碰碰了.題型解不等式在應應用題中的應應用18事發(fā)后現場測測得甲車的剎剎車距離略超超過12m,乙車的剎車車距離略超過過10m,又知甲、乙乙兩種車型的的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間分別有如如下關系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.問超速行駛駛應負主要要責任的是是誰?解:由s甲=0.1x+0.01x2>12,得x>30或x<-40;由s乙=0.05x+0.005x2>10,得x>40或x<-50.由于x>0,從而可得x甲>30km/h,x乙>40km/h.經過比較知知乙車超過過限速,應應負主要
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