【綠色通道】高考數(shù)學總復習 95數(shù)學歸納法課件 新人教A

考綱要求1.了解數(shù)學歸納法的原理．2．能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題．熱點提示數(shù)學歸納法是證明關(guān)于自變量n的命題的一種方式，在高等數(shù)學中有著重要的用途，因而成為高考的熱點之一．縱觀近幾年的高考題，數(shù)學歸納法不可能在解答題中單獨命題，往往與函數(shù)、不等式、數(shù)列結(jié)合命題．預測2011年高考對本節(jié)內(nèi)容的考查為：與數(shù)列或不等式結(jié)合考查數(shù)學歸納法.1．由一系列有限的

得出

的推理方法，通常叫做歸納法．2．對某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題常采用下面的方法來證明它們的正確性：先證明當n取第1個值n0時，命題成立；然后假設(shè)當n＝k(k∈N，k≥n0)時，命題成立；證明當n＝k＋1時，命題也成立，這種證明方法叫做

特殊事例一般結(jié)論數(shù)學歸納法．3．用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題時，其步驟為：(1)

：證明當n取第一個值n0(n0∈N)時命題成立；(2)

：假設(shè)n＝k(k∈N，k≥n0)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題成立．(3)歸納結(jié)論：由(1)(2)得出結(jié)論．歸納奠基歸納遞推1．在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為 n(n－3)條時，第一步檢驗n等于 ()A．1 B．2C．3 D．0解析：邊數(shù)最小的凸多邊形是三角形．答案：C解析：n＝k＋1時，左端為(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k](2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴應增乘2(2k＋1)．答案：B3．用數(shù)學歸納法證明“n3＋5n能被6整除”的過程中，當n＝k＋1時，對式子(k＋1)3＋5(k＋1)應變形為__________．解析：∵由n＝k成立推證n＝k＋1成立時必須用上歸納假設(shè)，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋64．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋__________.解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時，增加了一個三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π5．對于于n∈N，用數(shù)學學歸納法法證明：：1·n＋2·(n－1)＋＋3·(n－2)＋＋…＋(n－1)··2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)．．思路分析析：按數(shù)學歸歸納法的的證明步步驟．【例2】已知函函數(shù)f(x)＝x－sinx，數(shù)列列{an}滿足足：0<a1<1，，an＋1＝f(an)，n＝1,2,3，，…證明：：0<an＋1<an<1.思路分分析：：要證的的不等等式與與自然然數(shù)n有關(guān)，，故可可用數(shù)數(shù)學歸歸納法法證明明．解：先證0<an<1.(1)當n＝1時時，已已知0<a1<1，，即n＝1時時，不不等式式成立立．(2)假設(shè)設(shè)n＝k(k∈N*)時，，不等等式成成立，，即0<ak<1.又∵f′(x)＝1－cosx>0(0<x<1)，∴函數(shù)數(shù)f(x)在(0,1)上遞遞增，，∴由0<ak<1知知，f(0)<f(ak)<f(1)．又ak＋1＝f(ak)，∴0－－sin0<ak＋1<1－－sin1<1，∴0<ak＋1<1.∴n＝k＋1時時，不不等式式成立立．又∵0<an<1時時，an＋1－an＝f(an)－an＝an－sinan－an＝－sinan<0，，∴an＋1<an，綜上上所述述0<an＋1<an<1.用數(shù)學學歸納納法證證明不不等式式的關(guān)關(guān)鍵是是由n＝k成立得得n＝k＋1成成立，，主要要方法法有：：①放縮法法；②利用基基本不不等式式法；；③作差比比較法法等.【例3】是否存存在正正整數(shù)數(shù)m，使得得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9對對任意意自然然數(shù)n都能被被m整除，，若存存在，，求出出最大大的m的值，，并證證明你你的結(jié)結(jié)論，，若不不存在在說明明理由由．解：由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得得，f(1)＝36.f(2)＝3×36，，f(3)＝10××36，f(4)＝34××36，由由此猜猜想：：m＝36.下面用用數(shù)學學歸納納證明明：(1)當n＝1時時，顯顯然成成立，，(2)假設(shè)設(shè)n＝k時，f(k)能被被36整除除，即即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能能被36整整除；；當n＝k＋1時時[2(k＋1)＋7]··3k＋1＋9＝＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是是2的的倍數(shù)數(shù)，故故18(3k－1－1)能被被36整除除，這這就說說，當當n＝k＋1時時，f(n)也能能被36整整除．．由(1)(2)可知知對一一切正正整數(shù)數(shù)n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能能被36整整除，，m的最大大值為為36.本題解解決的的關(guān)鍵鍵是通通過n的取特特殊值值猜想想這樣樣的正正整數(shù)數(shù)m存在，然后后利用數(shù)學學歸納法加加以證明．．用數(shù)學歸歸納推證n＝k＋1成立時時，關(guān)鍵是是掌握加一一個數(shù)與減減一個數(shù)的的恒等式變變形，將n＝k＋1的形式式用n＝k時的形式表表示.變式遷移3試證：當n∈N時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．．證法一：(1)當n＝1時，f(1)＝64，命題題顯然成立立．(2)假設(shè)設(shè)當n＝k(k∈N，k≥1)時，，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．．當n＝k＋1時，由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－－8(k＋1)－9，＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)∴n＝k＋1時命題題也成立．．根據(jù)(1)、(2)可知，對對于任意n∈N，命題都成成立．證法二：(1)當n＝1時，f(1)＝64命題顯然成成立．(2)假設(shè)設(shè)當n＝k(k∈N，k≥1)時，，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．．由歸納假設(shè)設(shè)，設(shè)32k＋2－8k－9＝64m(m為大于1的的自然數(shù))，將32k＋2＝64m＋8k＋9代入到到f(k＋1)中中得得f(k＋1)＝＝9(64m＋8k＋9)－－8(k＋1)－－9＝64(9m＋k＋1)∴n＝k＋1時時命命題題也也成成立立．．根據(jù)據(jù)(1)、、(2)知知，，對對于于任任意意n∈N，命命題題都都成成立立．．變式式遷遷移移4設(shè)數(shù)數(shù)列列{an}的的前前n項和和為為Sn，且且方方程程x2－anx－an＝0有有一一個個根根是是Sn－1，，n＝1,2,3，，……(1)求求a1，a2；(2)求求{an}的的通通項項公公式式．．下面面用用數(shù)數(shù)學學歸歸納納法法證證明明這這個個結(jié)結(jié)論論．．①n＝1時時已已知知結(jié)結(jié)論論成成立立．．數(shù)學學歸歸納納法法是是用用來來證證明明與與正正整整數(shù)數(shù)n有關(guān)關(guān)的的數(shù)數(shù)學學命命題題的的一一種種常常用用方方法法，，應應用用時時應應注注意意以以下下三三點點：：1．驗證證是是基基礎(chǔ)礎(chǔ)數(shù)學學歸歸納納法法的的原原理理表表明明：：第第一一個個步步驟驟是是要要找找一一個個數(shù)數(shù)n0，這這個個n0就是是要要證證明明的的命命題題對對象象的的最最小小自自然然數(shù)數(shù)，，這這個個自自然然數(shù)數(shù)并并不不一一定定都都是是““1””，，因因此此““找找準準起起點點，，奠奠基基要要穩(wěn)穩(wěn)””是是正正確確運運用用數(shù)數(shù)學學歸歸納納法法第第一一個個要要注注意意的的問問題題．．2．．遞遞推推乃乃關(guān)關(guān)鍵鍵數(shù)學歸納法的的實質(zhì)在于遞遞推，所以從從“k”到“k＋1”的過程程，必須把歸歸納假設(shè)“n＝k”作為條件來來導出“n＝k＋1”時的命命題，在推導導過程中，要要把歸納假設(shè)設(shè)用上一次或或幾次．3．尋找遞推推關(guān)系(1)在第一一步驗證時，，不妨多計算算幾次，并爭爭取正確寫出出來，這樣對對發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)關(guān)系是有幫助助的．