【金教程】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 8.5軌跡問題課件 文 新人教B

最新考綱解讀1．了解解析幾何的基本思想和坐標法研究幾何問題的方法．2．理解軌跡的概念，能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼?，運用求軌跡的常用方法求曲線的軌跡方程．3．掌握求動點的軌跡方程的幾種常見方法．高考考查命題趨勢1．求動點軌跡方程是解析幾何的基本問題之一，是高考的熱點．2．解軌跡問題的出發(fā)點有二，一是找出約束動點變動的幾何條件，二是找出影響動點變動的因素．3．在2009年高考中全國共有4套試題在此命題主要考查求動點軌跡方程或圓錐曲線方程．如2009湖南20；2009寧夏20，估計2011年求圓錐曲線方程仍是高考的熱點，難度偏難.1.動點軌跡看成適合某幾何條件的點的集合．2．求動點軌跡方程的方法(1)軌跡類型已確定的，一般用待定系數(shù)法．(2)定義法：如果動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依定義寫出軌跡方程．(3)直接法：動點滿足的條件在題目中有明確的表述且軌跡類型未知的，一般用直接法．(4)相關(guān)點法：一動點隨另一動點的變化而變化，一般用坐標轉(zhuǎn)移法又叫相關(guān)點法．(5)參數(shù)法：有時求動點應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點，但較容易發(fā)現(xiàn)這個動點的運動常常受另一個變量的影響，我們稱這個變量為參數(shù)，根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別表示動點的坐標，間接地把坐標x，y聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程．這種方法叫參數(shù)法．如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程．(6)交軌法：求兩動曲線的交點的問題，常常通過解方程組得出交點坐標，然后再消去參數(shù)求出軌跡方程的方法．(7)幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何條件(如：線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì))．根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法．3．直接法求軌跡方程的方法步驟(1)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼担?2)設(shè)點：設(shè)動點M的坐標為(x，y)．(3)列式：列出幾何等式：P＝{M|P(M)}．(4)代換：代入坐標M(x，y)，列出方程F(x，y)＝0.(5)化簡：化簡成最簡方程形式．(6)證明：(略)，注意對特殊情況的討論．4．體會“設(shè)而不求”在解題中的簡化運算功能(1)求弦長時用韋達定理設(shè)而不求．(2)弦中點問題用“點差法”設(shè)而不求．5．體會數(shù)學(xué)思想方法方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合等思想方法在解題中的運用.1.求軌跡方程與求軌跡的區(qū)別(1)若是求軌跡方程，我們應(yīng)選擇合適的方法求出其方程，最后“補漏”和“去掉增多”的點即可，若軌跡有不同的情況，應(yīng)分類討論，以保證它的完整性．即求軌跡方程就是求得的方程加限制條件．(2)若求軌跡，則不僅要求求出其軌跡方程，而且還需要說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處，即圖形的形狀、位置、大小都需說明、討論清楚．最后“補漏”和“去掉增多”的點，若軌跡有不同的情況，應(yīng)分別討論，以保證它的完整性．2．估計計2011年高高考對求求軌跡方方程仍是是重點(1)對對于求曲曲線(或或軌跡)的方程程這類問問題，高高考常常常不給出出圖形或或不給出出坐標系系，以考考查學(xué)生生理解解解析幾何何問題的的基本思思想方法法和能力力．(2)借借助求軌軌跡方程程，進而而深入考考查與圓圓錐曲線線有關(guān)的的最值問問題、參參數(shù)范圍圍問題，，這類問問題的綜綜合性較較大，解解題中需需要根據(jù)據(jù)具體問問題、靈靈活運用用解析幾幾何、平平面幾何何、函數(shù)數(shù)、不等等式、三三角知識識，正確確的構(gòu)造造不等式式或方程程，體現(xiàn)現(xiàn)了解析析幾何與與其他數(shù)數(shù)學(xué)知識識的聯(lián)系系.一、選擇題題1．與兩點點(－3,0)，(3,0)距離的平平方和等于于38的點點的軌跡方方程是()A．x2－y2＝10B．x2＋y2＝10C．x2＋y2＝38D．．x2－y2＝38[解析]設(shè)動點的坐坐標為(x，y)由題意得得：(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝38，化簡得：x2＋y2＝10.[答案]B2．若－－|x－y＋3|＝0，則點M(x，y)的軌跡是是()A．圓B．橢圓C．雙曲線線D．拋物物線[答案]C3．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，則則動點P的軌跡是()A．雙曲線線B．雙曲線線左支C．一條射射線D．雙曲線線右支[解析]由雙曲線的的第一定義義知動點的的軌跡是一一條射線．．[答案]C4．(遼寧高考考卷)已知知點A(－2,0)、B(3,0)，動點P(x，y)滿足＝x2，則點P的軌跡是()A．圓B．．橢圓C．雙曲線線 D．．拋物線[解析]∵P(x，y)滿足＝x2，∴(x＋2)(x－3)＋y2＝x2，化簡得：y2＝x＋6.即點點P的軌跡是一一條拋物線線．[答案]D5．過橢圓圓4x2＋9y2＝36內(nèi)一一點P(1,0)引動弦AB，則AB的中點M的軌跡方程程是()A．4x2＋9y2－4x＝0B．4x2＋9y2＋4x＝0C．4x2＋9y2－4y＝0D．4x2＋9y2＋4y＝0[答案]A二、解答題6．已知拋物物線C：y2＝4x，若橢圓左焦焦點及相應(yīng)的的準線與拋物物線C的焦點F及準線l分別重合，試試求橢圓短軸軸端點B與焦點F連線中點P的軌跡方程．．[解題思路]探求動點滿足足的幾何關(guān)系系，在轉(zhuǎn)化為為方程．[解]由拋物線y2＝4x，得焦點F(1,0)，，準線l：x＝－1.設(shè)P(x，y)，則B(2x－1,2y)，設(shè)橢圓中心為為O′，則|FO′|∶|BF|＝e，又設(shè)點B到l的距離為d，則|BF|d＝e，∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d，即(2x－2)2＋(2y)2＝2x·(2x－2)，，化簡簡得得P點軌跡方方程為y2＝x－1(x>1).例1(1)在在直角坐坐標平面面內(nèi)，已已知兩點點A(－2,0)和和B(2,0)，Q為該平面面內(nèi)的一一動點且且線段BQ的垂直平平分線交交AQ于點P.|AQ|＝6.證明|PA|＋|PB|為常數(shù)數(shù)，并寫寫出點P的軌跡T的方程．．[證明]如圖所示示：連結(jié)PB.∵線段段BQ的垂直平平分線與與AQ交于點P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，，∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6(常數(shù))．又|PA|＋|PB|>|AB|，從而而P點的軌跡跡T是中心在在原點，，以A、B為兩個焦焦點，長長軸在x軸上的橢橢圓，其中，2a＝6,2c＝4，∴∴a＝3，c＝2，b2＝5.(2)若若點P到直線x＋2＝0的距離離比它到到點(3,0)的距離離小1，，則點P的軌跡為為()A．圓B．橢橢圓C．雙曲曲線D．拋物物線[解析]把P到直線x＝－2向向左平移移一個單單位，兩兩個距離離就相等等了，它它就是拋拋物線的的定義．．[答案案]D[解]若將原原方程程平方方，化化簡后后并不不能直直接判判斷出出軌跡跡是什什么曲曲線，，注意意式子子結(jié)構(gòu)構(gòu)的特特點，，左邊邊可看看成點點M到點(2,0)的距距離，，從而而可聯(lián)聯(lián)想右右邊可可化為為點M到直線線x＋y－2＝＝0的的距離離，即即有，，由此聯(lián)聯(lián)想到到橢圓圓的第第二定定義，，就很很簡單1．定定義法法：如如果動動點的的軌跡跡滿足足某種種已知知曲線線的定定義，，則可可依定定義寫寫出軌軌跡方方程．．2．借借助圓圓錐曲曲線的的定義義求某某些軌軌跡問問題，，如：：橢圓圓、雙雙曲線線、拋拋物線線的定定義是是經(jīng)常?？疾椴榈膬?nèi)內(nèi)容，，除了了在大大題中中考查查軌跡跡時用用到外外，經(jīng)經(jīng)常在在選擇擇題、、填空空題中中也有有出現(xiàn)現(xiàn)，屬屬中等等偏易易題．．3．在在例1(2)中中考查查拋物物線的的定義義，將將點P到x＝－2的距距離，轉(zhuǎn)化化為點P到x＝－3的距距離，體現(xiàn)現(xiàn)了數(shù)學(xué)上上的轉(zhuǎn)化與與化歸的思思想．思考探究1(春季季高考題)已知橢圓的的焦點是F1、F2，P是橢圓上一一個動點，，如果延長長F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動動點Q的軌跡是()A．圓B．橢圓C．雙曲線線一支D．拋拋物線[解析]因為|PQ|＝|PF2|，所以|QF1|＝|PQ|＋|PF1|＝|PF2|＋|PF1|.由橢圓第一一定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，故|QF1|＝2a，根據(jù)圓的定定義知點Q的軌跡是圓圓．[答案]A思考探究2一動圓與圓圓x2＋y2＋6x＋5＝0外外切，同時時與圓x2＋y2－6x－91＝0內(nèi)切，求求動圓圓心心M的軌跡方程程，并說明明它是什么么樣的曲線線．[解解法法一一]設(shè)動動圓圓圓圓心心為為M(x，y)，，半半徑徑為為R，設(shè)設(shè)已已知知圓圓的的圓圓心心分分別別為為O1、O2，將圓圓方方程程分分別別配配方方得得：：(x＋3)2＋y2＝4，，(x－3)2＋y2＝100，，當(dāng)⊙⊙M與⊙⊙O1相切切時時，，有有|O1M|＝＝R＋2，，①①當(dāng)⊙⊙M與⊙⊙O2相切切時時，，有有|O2M|＝＝10－－R，②②將①①②②兩兩式式的的兩兩邊邊分分別別相相加加，，得得|O1M|＋＋|O2M|＝＝12，，[解解法法二二]由解解法法一一可可得得|O1M|＋由以上方程知，動圓圓心M(x，y)到點O1(－3,0)和O2(3,0)的距離和是常數(shù)12，所以點M的軌跡是焦點為O1(－3,0)、O2(3,0)，長軸長等于12的橢圓，并且橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27，∴圓心軌跡方程為 ＝1.軌跡是橢圓.1．．當(dāng)當(dāng)動動點點所所滿滿足足的的集集合合條條件件已已知知時時，，就就可可用用直直接接法法求求此此動動點點的的軌軌跡跡方方程程．．2．．在在求求動動點點軌軌跡跡方方程程時時應(yīng)應(yīng)注注意意它它的的純純粹粹性性和和完完備備性性，，防防止止遺遺漏漏點點和和混混雜雜點點．．3．．常常見見的的求求軌軌跡跡方方程程的的方方法法：：單動動點點的的軌軌跡跡問問題題————直直接接法法＋＋待待定定系系數(shù)數(shù)法法，，如如本本題題就就只只有有一一個個動動點點．．例3已知知△△ABC的頂頂點點A，B的坐坐標標分分別別為為A(0,0)，，B(6,0)，，頂頂點點C在曲曲線線y＝x2＋3上上運運動動，，求求△△ABC重心心的的軌軌跡跡方方程程．．[解解]設(shè)G(x，y)為為所所求求軌軌跡跡上上任任一一點點，，頂頂點點C的坐坐標標為為(x0，y0)，，則則由由重重心心坐坐標標公公式式得得：：因為為頂頂點點C(x0，y0)在在曲曲線線y＝x2＋3上上，，所所以以有有3y＝(3x－6)2＋3，，整理理得得：：y＝3(x－2)2＋1，，即即為為所所求求軌軌跡跡方方程程1．．本本例例是是求求軌軌跡跡方方程程中中的的常常見見題題型型，，難難度度適適中中，，本本題題解解法法稱稱為為代代入入法法(或或相相關(guān)關(guān)點點法法)，，此此法法適適用用于于已已知知一一動動點點的的軌軌跡跡方方程程，，求求另另一一動動點點軌軌跡跡方方程程的的問問題題．．即即雙雙動動點點的的軌軌跡跡問問題題——代代入入法法．．2．．用用代代入入法法求求軌軌跡跡方方程程時時，，要要注注意意對對動動點點所所滿滿足足的的條條件件進進行行等等價價轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化．．如如本本例例中中曲曲線線y＝x2＋3上上沒有有與A、B共線的的點，，因此此，整整理就就得到到軌跡跡方程程；若若曲線線方程程為y＝x2－3，，則應(yīng)應(yīng)去掉掉與A、B共線時時所對對應(yīng)的的重心心坐標標．3．．若若題題中中沒沒有有給給出出坐坐標標系系，，一一定定要要根根據(jù)據(jù)題題中中的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)選選擇擇合合適適的的坐坐標標系系，，這這樣樣能能使使所所求求軌軌跡跡方方程程簡簡單單．．思考探究4已知雙曲線－－y2＝1有動點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是曲線的兩個個焦點，求△△PF1F2的重心M的軌跡方程．．例4拋物線x2＝4y的焦點為F，過點(0[解]

設(shè)直線AB：y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x，y)，由題意得：F(0,1)．又AB和RF是平行四邊形形的對角線，，∴x1＋x2＝x，y1＋y2＝y(tǒng)＋1.而y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝4k2－2，，消去k得x2＝4(y＋3)．由于直線和拋拋物線交于不不同兩點，∴Δ＝16k2－16>0，，∴k>1或k<－1，∴x>4或x<－4.∴頂點R的軌跡方程為為x2＝4(y＋3)，且|x|>4.1．如果求動動點P(x，y)中x、y的關(guān)系不易找找到，也沒有有相關(guān)信息可可用時，則可可先考慮將x，y用一個或幾個個參數(shù)來表示示，消去參數(shù)數(shù)得軌跡方程程，此法稱為為參數(shù)法．2．參數(shù)法中中常選變角、、變斜率等為為參數(shù)．注意意參數(shù)的取值值范圍對方程程中的x和y范圍的影響．．思考探究5已知點A在橢圓上上運運動，點B(0,9)、、點M在線段AB上，且，，試求動動點M的軌跡方程．．[解]由題意知B(0,9)，，設(shè)A(12cosα，6sinα)，并且設(shè)M(x，y)．1.△ABC的頂點A固定，點A的對邊BC的長為2a，邊BC上的高為b，邊BC沿一條定直線線移動，求△△ABC外心的軌跡方方程．[解]以BC所在定直線為為x軸，過A作x軸的垂線為y軸，建立直角角坐標系，則則A點的坐標為(0，b)，設(shè)△ABC的外心為M(x，y)．2．(廣東高考，，18)設(shè)函數(shù)f(x)＝－x3＋3x＋2分別在x1、x2處取得極小值值、極大值，，xOy平面上點A、B的坐標分別為為(x1，f(x1))、(x2，f(x2))．該平面面上動P滿足，，點Q