《高等數(shù)學(上)》習題

第四章不定積分PAGE72word文檔可自由復制編輯第一章函數(shù)與極限本章要點：1.函數(shù)極限的概念（對極限的、定義可在學習過程中逐步加深理解，對于給出求N或不作過高要求。）2.極限四則運算法則。3.兩個極限存在準則（夾逼準則和單調(diào)有界準則），會用兩個重要極限求極限。4.無窮小、無窮大，以及無窮小的階的概念。會用等價無窮小求極限。5.函數(shù)在一點連續(xù)的概念。6.間斷點的概念，并會判別間斷點的類型。7.初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理和最大、最小值定理.）本章目標：1.理解函數(shù)的概念的理解復合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念。2.了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。4.會建立簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式。5.理解極限的概念（對于給出求N或不作過高要求。）6.掌握極限的四則運算法則。7.了解極限存在準則（夾逼準則和單調(diào)有界準則），會用兩個重要極限求極限。8.了解無窮小、無窮大，以及無窮小的階的概念。會用等價無窮小求極限。9.理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念。10.了解間斷點的概念，并會判別間斷點的類型。11.了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理和最大、最小值定理。）本章重點：1.函數(shù)極限的概念，會求一些簡單函數(shù)的極限。2.函數(shù)在一點連續(xù)的概念，會判斷一些簡單函數(shù)間斷點的類型。本章難點1.兩個極限存在準則；2.判別間斷點的類型。第一章總結(jié)本章主要介紹了極限的概念、極限存在的判定準則，極限的求法以及連續(xù)函數(shù)的定義與性質(zhì).利用極限的定義證明函數(shù)（或數(shù)列）以某確定常數(shù)為極限，是本章的難點之一。極限存在性問題是本章的重點，也是難點.一般地，常用以下方法判定一個極限是否存在：(1)利用單調(diào)有界準則；(2)利用夾逼準則；(3)利用柯西準則；(4)利用左右極限是否存在且相等；(5)利用子數(shù)列或部分極限。掌握好求極限的方法是學好高等數(shù)學所必須的，這是本章的重點內(nèi)容。目前為止，我們可以(1)利用定義驗證極限；(2)利用極限四則運算法則求極限；(3)利用重要極限求極限；(4)利用無窮小量等價代換求極限；(5)利用夾逼準則求極限；(6)利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限準則求極限；(7)利用函數(shù)連續(xù)性求極限等等.在后面的章節(jié)中，我們還會陸續(xù)介紹其它一些求極限的方法。函數(shù)連續(xù)性的概念是本章的又一重點，如何判定函數(shù)的連續(xù)性和間斷點，怎樣確定間斷點的類型，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有哪些性質(zhì)，都是需要同學們深刻理解，牢固掌握的。第一節(jié)函數(shù)（作業(yè)一）一、單項選擇題1.設函數(shù)，它的定義域是【】.A.；B.；C.；D..2.設那么【】.A.0；B.-2；C.；D..3.開區(qū)間是【】.A.3的鄰區(qū)；B.以2為中心，1為半徑的鄰區(qū)；C.1的鄰區(qū)；D.以2為中心，1.5為半徑的鄰區(qū).4.函數(shù)的反函數(shù)是【】.A.；B.；C.；D..5.函數(shù)是【】.A.奇函數(shù)；B.偶函數(shù)；C.非奇非偶函數(shù)；D.奇、偶性取決于的取值情況.6.設是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則是【】.A.即不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)；B.偶函數(shù)；C.有可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)；D.奇函數(shù).7.滿足不等式（為常數(shù)，）的所有的區(qū)間表示為【】.A.；B.；C.；D..8.若，則有【】.A.；B.；C.；D..9.設那么【】.A.；B.；C.；D..10.使等式成立的所有構(gòu)成的區(qū)間為【】.A.；B.；C.；D..二、填空題11. .12. .13. .14. .15. .16. .17. .三、計算題18.求下列函數(shù)定義域(1)；(2)；(3)；(4)．19.作下列函數(shù)的圖形(1)；(2).第一節(jié)函數(shù)（作業(yè)二）一、單項選擇題1.當函數(shù)的自變量的增量時，相應的函數(shù)的增量【】.A.一定大于零；B.一定小于零；C.一定不大于零；D.不一定大于零.2.下列函數(shù)中滿足關(guān)系的函數(shù)是【】.A.；B.；C.；D..3.設函數(shù)的定義域，則的定義域是【】.A.；B.；C.；D..4.在同一坐標系下，方程與代表的圖形【】.A.是同一條曲線；B.關(guān)于軸對稱；C.關(guān)于軸對稱；D.關(guān)于直線對稱.5.要使是奇函數(shù)，則【】.A.；B.；C.；D..6.設的定義域是，則的定義域是【】.A.；B.；C.；D..7.設是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，則是【】.A.既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)；B.偶函數(shù)；C.有可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)；D.奇函數(shù).8.曲線上對應于的點是【】.A.；B.；C.；D..9.函數(shù)在內(nèi)【】.A.是無界的；B.是有界的；C.是常數(shù)；D.小于零.10.下列各對函數(shù)中，互為反函數(shù)的是【】.A.；B.；C.；D..二、填空題11. .12. .13. .14. .15. .16. .17.設，那么 .18.設函數(shù)那么函數(shù)的值域是 .19.設函數(shù)它的反函數(shù)是 .20.開區(qū)間中每個點都是它的 點.三、計算題21.設是定義在上以為周期的函數(shù)，當時，，寫出的表達式．22.設是定義在上的奇函數(shù)，當時，，寫出的表達式．23.下列函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的？(1)；(2)；(3)；(4).第二節(jié)數(shù)列的極限（作業(yè)一）一、單項選擇題1.數(shù)列的極限為【】A.；B.；C.不存在；D..2.數(shù)列的一般項為【】A.；B.；C.；D..3.極限【】A.；B.；C.；D..4.極限【】A.；B.；C.；D..5.極限【】A.；B.；C.；D..二、填空題6.＝ .7.＝ .8.＝ .9.＝ .10.＝ .11.＝ .12. .13. .14. .15. .三、計算題16.用數(shù)列極限的定義驗證數(shù)列的極限是2．17.求下列數(shù)列極限．(1)；(2)；(3)；(4).第二節(jié)數(shù)列的極限（作業(yè)二）一、單項選擇題1.設數(shù)列滿足：對任意的，則【】A.；B.；C.；D..2.極限【】A.；B.；C.；D..3.極限【】A.；B.；C.；D..4.極限【】A.；B.；C.；D..5.【】A.；B.；C.；D..6.因為，那么【】A.；B.；C.；D..二、填空題8. .9. .10. .11. .12.＝ .三、計算題13.求下列函數(shù)的極限。(1)；(2).14.下列結(jié)論是否正確？若正確，請給出證明；若不正確，請舉出反例（1）若則（2）若，則；（3）若，則；（4）若則；（5）若則;（6）若對任何實數(shù)，則.第三節(jié)函數(shù)的極限（作業(yè)一）一、單項選擇題1.下列各函數(shù)的極限存在的是【】.A.；B.；C.；D..2.極限【】.A.；B.；C.；D..3.若，則【】.A.；B.；C.；D..4.設函數(shù),那么【】.A.；B.；C.；D..5.設函數(shù)，則【】.A.；B.；C.；D.不存在.6.設，又則＝【】.A.；B.；C.；D..二、填空題7. .8. .9. .10. .11. .12. .13. .14. .三、計算題15.設，作的圖形，并求在處的左、右極限．16.設，試求在處的左、右極限．17.已知，求的值.第三節(jié)函數(shù)的極限（作業(yè)二）一、單項選擇題1.若，則【】.A.；B.；C.；D..2.若，則【】.A.；B.；C.；D..3.極限【】.A.；B.；C.；D..4.極限【】.A.；B.；C.；D..5.若函數(shù)在點處的極限存在，則【】.A.必存在且等于極限值；B.存在但不等于極限值；C.在處的函數(shù)值可以不存在；D.如果存在，則必等于極限值.二、填空題6. .7. .8. .9. .10. .11.求 .12. .13. .14. .15. .16. .17. .18. .19. .三、求解下列各題20.用函數(shù)極限定義說明下列極限成立。(1)；(2).21.設，求.22.設，證明不存在性.第四節(jié)無窮小量與無窮大量一、單項選擇題1.當時，下列變量中為無窮大的是【】.A.；B.；C.；D..2.下列變量在給定的變化過程中為無窮小量的是【】.A.；B.；C.；D..3.當時，是【】.A.的同階無窮小量；B.的等價無窮小量；C.比高階的無窮小量；D.比低階的無窮小量.4.若其中為常量，為一當時的無窮小量，則【】.A.；B.；C.；D.不存在.5.當時，【】.A.極限不存在；B.是無窮大量；C.是無窮小量；D.是未定式.6.無窮大量減去無窮大量是【】.A.無窮小量；B.零；C.常量；D.未定式.7.極限【】.A.；B.；C.；D..8.當時，是【】.A.比低階的無窮小量；B.比高階的無窮小量；C.與的同階無窮小量；D.與的等價無窮小量.9.【】.A.B.C.D.二、填空題10. .11. .12. .13. .14. .15. .16. .17. .18. .19. .20. .三、完成下列各題21.證明：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；有限個無窮小量的積仍是無窮小量．22.函數(shù)當自變量在什么變化過程中是無窮小量？在什么變化過程中是無窮大量？23.當時，下列變量中哪些是等價無窮小量.，，，，24.當時，下列哪些函數(shù)是與同階的無窮小量？哪些是比更高階的無窮小量？，，,，，．第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點（作業(yè)一）一、單項選擇題1.函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是【】.A.；B.；C.；D..2.為使函數(shù)在處連續(xù)，應取【】.A.；B.；C.；D.；3.設處連續(xù)，則【】.A.；B.；C.；D..4.設函數(shù)，函數(shù)在在連續(xù)，則分別為【】.A.；B.；C.；D..二、填空題5. .6. .7. .8. .9. .三、完成下列各題10.設函數(shù)(1)函數(shù)在定義域內(nèi)是否連續(xù)？(2)畫出函數(shù)的圖形．11.設，問常數(shù)為何值時，函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)？為什么？12.某水果站在水果大量到貨時規(guī)定，50kg以下標價0.80元/kg，滿50kg的標價0.70元/kg，滿150公斤時標價0.60元/kg.試列出收費金額與購買量的函數(shù)關(guān)系.問該函數(shù)是否為連續(xù)函數(shù)？13.將100元按6%作連續(xù)復利計算，問20年后本利和應是多少？（已知）第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點（作業(yè)二）一、單項選擇題1.設在內(nèi)連續(xù)，，則在內(nèi)必有【】.A.最小值B.零值C.最大值D.極值2.函數(shù)的間斷點為【】.A.B.C.D.3.設函數(shù)，那么函數(shù)的所有間斷點是【】.A.B.和C.D.和4.如果在處連續(xù)，且，那么【】.A.B.C.D.二、填空題5. .6. .7. .8. .9. .三、完成下列各題10.求下列函數(shù)的間斷點，并說明類型．(1)；(2).(3)；(4).11.證明方程在1與2之間至少存在一個實根.12.已知，求常數(shù)，.13.判定是的什么類型間斷點.14.函數(shù)在上是否有界？當時，是否為無窮大？為什么？第一章綜合練習題1.設求，，，．討論下列函數(shù)的奇偶性與周期性.(1)；(2)；(3).3.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并判定其是否有界．(1)；(2)；(3)；(4).4.求下列函數(shù)的反函數(shù)(1)；(2)．5.設，，且，求．6.已知，求．7.設求．8.設，，求.9．證明：如果在連續(xù)，且存在，則必有界.10.填空題(1)＝ .(2)＝ .(3)＝ .(4)＝ .(5)＝ .(6) .(7) .(8) .(9) .(10)＝ .(11)＝ .(12)＝ .(13)＝ .(14)＝ .(15)＝ .(16)＝ .(17)＝ .(18)＝ .(19)＝ .(20)＝ .(21)＝ .(22)＝ .(23)＝ .(24)＝ .(25)＝ .(26)＝ .11.求下列函數(shù)的間斷點，并說明類型(1)；(2).第二章導數(shù)與微分本章要點1.導數(shù)和微分的概念。2.導數(shù)的幾何意義。3.函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系。4.導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法。5.微分的四則運算法則和一階微分形式不變性。6.高階導數(shù)的概念。7.求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)。本章目標1.理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系。2.會用導數(shù)描述一些物理量。3.掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法，掌握基本初等函數(shù)。了解微分的四則運算法則和一階微分形式不變性。4.了解高階導數(shù)的概念。5.掌握初等函數(shù)一階、二階導數(shù)的求法。6.會求隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)。會求反函數(shù)的導數(shù)。本章重點1.導數(shù)與和微分的概念。2.導數(shù)與和微分計算。本章難點1.復合函數(shù)求導法。2.隱函數(shù)求導法。3.參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導。第一節(jié)導數(shù)概念一、單項選擇題1.設，其中為常量，則【】.A.；B.；C.；D..2.設曲線在點處的切線的斜率為，則點的坐標為【】.A.；B.；C.；D..3.函數(shù)在處的導數(shù)為【】.A.；B.；C.；D.不存在.4.函數(shù)的圖像在點的切線平行于軸，則為【】.A.；B.；C.；D..5.設在內(nèi)連續(xù)，且，則在點處【】.A.的極限存在，且可導；B.的極限存在且等于，但不一定可導；C.的極限不存在；D.的極限不一定存在.6.設，則【】.A.；B.C.D.7.一物體作直線運動，路程與時間的關(guān)系為，則它的速度為【】.A.B.；C.；D..8.曲線在時的切線斜率是【】.A.；B.；C.；D..9.曲線在點處的切線斜率是【】.A.；B.；C.；D..二、填空題10. .11. .12. .13. .14.設（為常數(shù)），則 .15.設（為常數(shù)），則 .16.曲線在點處的切線斜率是 .17.設，則 .18.設，則 .19.設，其中函數(shù)在處可導，則 .三、討論下列函數(shù)在給定點處的連續(xù)性與可導性,若可導,求出.20.； 21.；22.； 23..第二節(jié)導數(shù)的計算（四則運算）一、單項選擇題1.若，則【】.A.；B.；C.；D..2.設，則【】.A.；B.；C.；D..3.曲線在點處的切線斜率是【】.A.；B.；C.；D..4.若，則【】.A.；B.；C.；D..二、填空題5.設,則 .6.設,則 .7.設,則 .8.設,則 .9.設,則 .10.設,則 .11.設,則 .12.設,則 .13.設,則 .14.設,則 .15.設,則 .16.設,則 .17.設,則＝，＝ .18.設,則＝，＝ .19.設,則＝ .三、完成下列各題20.求曲線上橫坐標為的點處的切線方程和法線方程.21.為何值時,曲線與曲線相切,并求曲線在該切點處的切線和法線方程.22.證明:雙曲線上任一點處的切線與兩坐標軸構(gòu)成的三角形面積都等于.第二節(jié)導數(shù)的計算（復合函數(shù)求導法）一、單項選擇題1.若，則【】.A.；B.；C.；D..2.若，則【】.A.；B.；C.；D..3.若，則【】.A.；B.；C.；D..4.若，則【】.A.；B.；C.；D..二、填空題5.設則 .6.設則 .7.設則 .8.設則 .9.設則 .10.設則 .11.設則 .12.設則 .13.設則 .14.設則 .15.設則 .16.設，則 .17.設，則 .18.設，則 .19.設，則 .20.設，則 .21.設，則 .22.設，則 .23.設，則 .24.設，則 .25.設)， .26.設，則 .27.設，則 .28.設，則 .29.設，則 .30.設，則 .第三節(jié)高階導數(shù)一、單項選擇題1.設，則【】.A.；B.；C.；D..2.設，則【】.A.；B.；C.；D..3.設，則【】.A.；B.；C.；D..二填空題4. .5. .6. .7. .8. .9. .三、求下列函數(shù)的一階和二階導數(shù)10.設，則..11.設，則..12.設，則..13.設，則..14.設，則..15.設，則..16.設，則..（下列各題中函數(shù)均二階可導）17.設,則.18.設,則.19.設,則.20.設,則.三、計算題（求下列函數(shù)的階導數(shù)）21.；22.；23.；24..第四節(jié)隱函數(shù)與參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)一、單項選擇題1.設，則【】.A.；B.；C.；D..2.設由方程確定，則【】.A.；B.；C.；D..3.設由方程所確定，則【】.A.；B.；C.；D..4.曲線上相應于點處的切線斜率是【】.A.；B.；C.；D..5.若由方程確定，則【】.A.；B.；C.；D..6.設由方程確定，則【】.A.；B.；C.；D..7.設，則【】.A.；B.；C.；D..二、寫出下列曲線在所給參數(shù)值相應的點處的切線方程和法線方程8.在處；9.在處；三、計算下列參數(shù)方程所確定函數(shù)的導數(shù)10.求；11.求；12.求；13.求.四、求由下列方程確定的隱函數(shù)的一階導數(shù)14.；15.；16.；17..第五節(jié)函數(shù)的微分一、單項選擇題1.設可導，則【】.A.；B.；C.；D..2.若，（為大于零且不等于1的常數(shù)）則【】.A.；B.；C.；D..3.設，則【】.A.；B.；C.；D..4.若，可導則【】.A.；B.；C.；D..5.若，則【】.A.；B.；C.；D..6.若，則【】.A.；B.；C.；D..7.設，用微分求得的近似值為【】.A.；B.；C.；D..8.設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在內(nèi)一定【】.A.單調(diào)；B.有界；C.可導；D.可微.9.設是由方程確定的隱函數(shù)，則【】.A.；B.；C.；D..10.若在處可微，當趨于零時，則在處差是關(guān)于的【】.A.高介無窮?。籅.等價無窮??； C.低價無窮??；D.不可以比較.二、填空題11.設則 .12.設則 .13.設則 .14.設則 .15.設則 .16.設則 .17.設則 .18.設則 .19.設 .20.設則 .三、求下列函數(shù)的微分21.；22.；23.；24.；25.；26..第六節(jié)導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用1.設生產(chǎn)某商品單位時的總成本函數(shù)和總收益函數(shù)分別為:(元),,求該產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)、邊際收入函數(shù)和邊際利潤函數(shù).2.設某商品的銷售量與需求量相等,該商品銷售單位時的總成本函數(shù)與需求函數(shù)分別為,求邊際利潤為零時的銷售量.3.某商品的需求量是價格p的函數(shù),,,求需求量對價格的彈性.4.設某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為,而需求函數(shù)為,其中為產(chǎn)量,p為價格,試求:(1)邊際成本,邊際收益,邊際利潤；(2)收益的價格彈性.5.指出下列需求關(guān)系中，價格p取何值時，需求是高彈性或是低彈性的?(1)；(2).6.設某產(chǎn)品的總成本函數(shù)和需求函數(shù)分別是,,其中是產(chǎn)品的銷售量(假設等于需求量),為價格.試求(1)邊際利潤;(2)收益的價格彈性.7.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品(百臺)的總成本為(萬元),其中固定成本為2萬元,每生產(chǎn)1百臺,成本增加1萬元,平均每年可銷售4百臺,銷售收入為的函數(shù),且求(1)利潤函數(shù);(2)邊際利潤.第二章綜合練習題一、單項選擇題1.設在的某個鄰域內(nèi)有定義,則在處可導的一個充分條件是【】.A.存在； B.存在；C.存在； D.存在.2.設其中是有界函數(shù),則在處【】A.極限不存在；B.極限存在但不連續(xù)；C.連續(xù)但不可導；D.可導.二、完成下列各題3.下列各題中均假設存在,按導數(shù)定義觀察下列極限,指出A表示什么?(1)； (2),其中；(3)；4.將一物體上拋,設經(jīng)過t秒后,物體上升的高度為,求(1)物體在到秒時段內(nèi)的平均速度.(2)物體在秒時刻的速度.5.設,且在處連續(xù),問在處是否可導?6.若是奇函數(shù),且存在,試問:是否存在?若存在,和有何關(guān)系?7.設表示個勞動力所生產(chǎn)的某商品的數(shù)量,稱為個勞動力的平均勞動生產(chǎn)率,試求勞動力數(shù)量為時的邊際勞動生產(chǎn)率,并說明它的實際意義.8.企業(yè)的資金都是隨著時間的變化而變化的.已知某廠的資金是時間的函數(shù),求時資金的增長率和增長率的變化率.9.求曲線在點(1,1)處的切線方程和法線方程.10.用對數(shù)求導法求下列函數(shù)的導數(shù)(1)；(2)；(3)；(4)；11.求下列方程確定的隱函數(shù)的二階導數(shù)(1)；(2)；12.驗證函數(shù)滿足關(guān)系式.13.驗證函數(shù)(其中是常數(shù))滿足關(guān)系式.14.求下列參數(shù)方程所確定的二階導數(shù).(1)； (2).15.落在平靜水面上的石頭,產(chǎn)生同心波紋。若最外一圈波半徑的增大率總是,問在末擾動水面面積的增大率為多少?16.已知，計算在處當分別等于1，0.1，0.01時的和.17.設函數(shù)在任意點處增量,其中是比高階的無窮小,求.18.計算下列近似值(1)；(2)；(3)； (4)；(4)； (6).19.當較小時，證明下列近似公式(1)（是弧度）； (2)；(3)； (4).20.若函數(shù)在點處連續(xù),且存在,試證在點處可導.21.設函數(shù)在點處可導,,試求.22.設有分段函數(shù),其中和均可導,問是否成立?成立的條件是什么?23.設,其中為常數(shù).試問為何值時,在處可導,為什么?并求.24.確定的值,使函數(shù)在()內(nèi)處處可導,并求它的導函數(shù).25.對于任意正數(shù)有且,證明在(0,+)可導,并求和.26.求曲線在點()處的切線方程和法線方程,證明:在它的任一點處的切線介于坐標軸間部分的長為一常量.27.設曲線與都通過點(-1,0),且在點(-1,0)有公共切線,求的值.28.設由所確定,求,并求處曲線的切線方程.29.設,求.30.已知,求.31.設某商品的需求函數(shù)為(1)求=4時的收益價格彈性,并解釋經(jīng)濟意義；(2)求=6時的收益價格彈性,并討論調(diào)價措施.第三章微分中值定理與導數(shù)應用本章要點1.羅爾（Rolle）中值定理和拉格朗日（Lagrange）中值定理。2.羅必塔（Hospilal）法則求不定式的極限。3.函數(shù)的極值概念。4.判斷函數(shù)圖形的凹凸性；拐點。5.描繪函數(shù)的圖形（包括水平和鉛直漸近線）。本章目標1.理解羅爾（Rolle）中值定理和拉格朗日（Lagrange）中值定理。2.了解柯西（Cauchy）中值定理。3.會用羅必塔（Hospilal）法則求不定式的極限。4.理解函數(shù)的極值概念，并掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法。5.會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性；會求拐點；會描繪函數(shù)的圖形（包括水平和鉛直漸近線）.會求解較簡單的最大值和最小值的應用問題。本章重點1.理解拉格朗日（Lagrange）中值定理。2.用羅必塔（Hospilal）法則求不定式的極限。3.求函數(shù)的極值.4.求解較簡單的最大值和最小值的應用問題。本章難點1.解拉格朗日（Lagrange）中值定理及其應用。2.函數(shù)的極值。3.用羅必塔（Hospilal）法則求不定式的極限.第三章總結(jié)本章我們利用極限理論從局部對函數(shù)變化性態(tài)進行了更深入的研究。1.導數(shù)的應用是一元函數(shù)微分學的又一重點，也是難點。一般地，微分中值定理有三種基本應用。（1）利用在一個區(qū)間上，函數(shù)的導數(shù)等于零，則函數(shù)在這個區(qū)間上恒為常數(shù)，證明等式；（2）利用對中值定理中中值的放大與縮小，證明不等式；（3）利用導函數(shù)的極限求左右導數(shù)，求分段函數(shù)在接點處的導數(shù)值。2.利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、和凸性等；3.利用函數(shù)的微分和Taylor公式來計算函數(shù)的近似值。4.利用導數(shù)知識證明不等式常用以下五種方法：(1)利用拉格朗日中值公式；(2)利用函數(shù)單調(diào)性；(3)利用函數(shù)的最大值和最小值；(4)利用函數(shù)圖形的凹凸性；(5)利用泰勒公式。導數(shù)為不等式的證明提供了不少有效方法，使用時究竟用哪種方法更合適，很難作出肯定回答，需要根據(jù)不等式的具體形式來加以選擇，有的同時可以用多種方法證明.希望讀者多加揣摩。另外還應該注意：（1）函數(shù)曲線在導函數(shù)單調(diào)增區(qū)間上下凸，函數(shù)曲線在導函數(shù)單調(diào)減區(qū)間上上凸。（2）導函數(shù)的極值點所對應的曲線上的點為函數(shù)曲線的拐點。導數(shù)應用要比求導法難一些，所以同學們在學習這部分內(nèi)容時，不要操之過急，要逐步掌握。第一節(jié)微分中值定理一、單項選擇題1.對于函數(shù)，滿足羅爾定理全部條件的區(qū)間是【】.A.；B.；C.；D..2.如果函數(shù)在上滿足羅爾定理全部條件，則至少存在一點，使得，其中滿足【】.A.；B.；C.；D..3.函數(shù)，滿足拉格朗日中值定理條件的區(qū)間是【】.A.；B.；C.；D..4.下列函數(shù)中在給定區(qū)間上滿足羅爾中值定理的是【】.A.；B.；C.；D..5.設函數(shù)，則方程有【】.A.一個實根；B.二個實根；C.三個實根；D.無實根.6.區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理條件的函數(shù)是【】.A.；B.；C.；D..7.函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理的全部條件，則使結(jié)論成立的【】.A.；B.；C.；D..8.函數(shù)在上使拉格朗日中值定理結(jié)論成立的=【】.A.；B.；C.；D..9.下列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的是【】.A.；B.；C.；D..10.下列函數(shù)中，在閉區(qū)間上滿足羅爾定理條件的是【】.A.；B.；C.；D..二、證明題11.證明恒等式：().12.若函數(shù)在內(nèi)具有二階導數(shù)，且，其中，證明：在內(nèi)至少有一點，使.13.證明不等式.14.設，證明：.第二節(jié)洛必達（L’Hospital）法則一、單項選擇題1.【】.A.；B.；C.；D..2.，則此計算【】.A.正確；B.錯誤，因為不是型未定式；C.錯誤，因為不存在；D.錯誤，因為是型未定式；3.設在區(qū)間內(nèi)均有一階連續(xù)導數(shù)，且，，則【】.A.；B.；C.；D.不存在.4.【】.A.；B.；C.；D..5.下列求極限問題不能使用洛必塔法則的是【】.A.；B.；C.；D..6.【】.A.；B.；C.；D..二、填空題7. .8. .9.設為常數(shù)， .10. .11.設在點可導，則 .12. .13. .14. .15. .16. .17. .18. .19. .20. .21. .22. .23. .24 .25. .26. .27. .28. .29. .30. .31. .第三節(jié)泰勒（Taylor）公式一、應用泰勒公式求下列極限（1）（2）二、求下列函數(shù)在指定點處具有佩亞諾余項的三階泰勒公式（1）；（2）；（3）；（4）.三、求函數(shù)的帶有拉格朗日型余項的3階麥克勞林公式.四、求函數(shù)的帶有佩亞諾型余項的階麥克勞林公式.五、應用三階泰勒公式求下列各數(shù)的近似值，并估計誤差.（1）；（2）.第四節(jié)函數(shù)性態(tài)的研究一、單項選擇題1.為使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則應滿足【】.A.且；B.且是任意實數(shù)；C.且；D.且是任意實數(shù).2.對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是【】.A.是極大值點；B.是極小值點；C.不是曲線的拐點；D.是曲線的拐點.3.函數(shù)的極小值點為【】.A.；B.；C.；D.不存在.4.函數(shù)的極小值點為【】.A.；B.；C.；D..5.函數(shù)可能存在極值的點是【】.A.；B.；C.；D.不存在.6.下列說法中正確的是【】.A.若在內(nèi)可導，則在內(nèi)必有極值；B.可導函數(shù)的極值點處必有；C.若在點處可導，則在點處也可導；D.在內(nèi)的連續(xù)函數(shù)必有取大值.7.函數(shù)在區(qū)間【】.A.內(nèi)單調(diào)減；B.內(nèi)單調(diào)增；C.內(nèi)單調(diào)減；D.內(nèi)單調(diào)減.8.使函數(shù)單調(diào)增加的區(qū)間是【】.A.；B.；C.；D..9.函數(shù)在上的最大值是，最小值是，若，則【】.A.等于零；B.大于零；C.小于零；D.等于常數(shù).10.設在的某鄰區(qū)內(nèi)二階可導，且，在點處【】.A.取得極小值；B.取得極大值；C.不取得極值；D..二、填空題11.函數(shù)在區(qū)間上極小值是 .12.設函數(shù)，那么函數(shù)的最小值是 .13.函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào) .14.函數(shù)在處取得極大值，因為，而 .15.函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增的，原因是 .16.當時，函數(shù)有極值，其中為常數(shù)，那么 .三、證明題17.當時，證明.18.當時，證明.四、求下列函數(shù)的極值19.； 20.；21.； 22..第五節(jié)函數(shù)作圖一、單項選擇題1.曲線【】.A.僅有鉛垂?jié)u近線；B.僅有水平漸近線；C.既有鉛垂?jié)u近線又水平漸近線；D.無漸近線；2.函數(shù)的水平漸近線方程為【】.A.；B.；C.；D..3.若直線是下列曲線的一條鉛垂?jié)u近線，則【】.A.；B.；C.；D..4.下列曲線中上凹的是【】.A.；B.；C.；D..5.曲線【】.A.沒有拐點；B.有一個拐點；C.有兩個拐點；D.有三個拐點.6.若在點的某鄰區(qū)內(nèi)二階可導，則是點為曲線的拐點的【】.A.必要但非充分條件；B.充分但非必要條件；C.充要條件；D.既不充分也不必要的條件.7.若曲線位于其上任一點切線的上方，則該曲線是【】.A.下凹的；B.上凹的；C.上升的；D.下降的.8.曲線向上凹與下凹的分界點是曲線的【】.A.駐點；B.極大值點；C.拐點；D.極小值點.9.曲線的鉛直漸近線的方程是【】.A.；B.；C.；D..10.曲線【】.A.只有水平漸近線；B.沒有水平漸近線和鉛直漸近線；C.只有鉛直漸近線；D.有水平漸近線也有鉛直漸近線.二、填空題11.的水平漸近線方程是，鉛直漸近線方程是 .12.曲線在內(nèi)的拐點是 .13.曲線的向上凸區(qū)間是 .14.曲線有幾個拐點 .15.的漸近線方程是 .16.的漸近線方程是 .17.的漸近線方程是 .三、描繪下列函數(shù)圖形18.；19.；20.；21..第六節(jié)最大最小值問題及在經(jīng)濟管理中的應用一、求下列函數(shù)在指定區(qū)間的最大值與最小值（1）；；（2）；.二、要造一個圓柱形的油罐，體積為，問底半徑和高為多少，才能使表面積最小？三、設某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品單位的總成本函數(shù)為（萬元）求：⑴產(chǎn)量是多少時，平均成本最低，并求其最低平均成本.⑵平均成本最低時的邊際成本.四、某商品定價為5元/件，每月可售1000件，若每件每降價0.01元，則可多出售10件，求出售商品多少件時收益最高.五、假設某種商品的需求量Q是單價p(單位:元)的函數(shù):,商品的總成本C是需求量Q的函數(shù):C=25000+50Q,每單位商品需納稅2元.試求使銷售利潤最大的商品單位和最大利潤.第三章綜合練習1.證明：若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式，且，則.2.不用羅必達法則，證明極限存在.3.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1）；（2）；（3）； （4）.4.證明曲線有三個拐點，且三個拐點在同一條直線上.5.設在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導,且.證明:存在點,使6.討論方程的實根個數(shù).7.已知,其中具有二階連續(xù)導數(shù),,,求并討論的連續(xù)區(qū)間.8.設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且.如果在存在且為增函數(shù),證明:在內(nèi)是增函數(shù).9.設由方程所確定,試求的駐點,并判定它是否是極值點.10.設,證明:.11.設,求的極值.12.設,其中是正整數(shù),在處連續(xù),且,問在處有無極值?13.將長為的鐵絲切成兩段,一段圍成正方形,另一段圍成圓形,問這兩段鐵絲各長為多少時,正方形與圓形的面積之和為最小?14.設某種商品的單價為p時,售出的商品數(shù)量Q可以表示成其中a、b、c均為正數(shù),且.(1)求p在何范圍內(nèi)變化時,使相應銷售額增加或減少；(2)要使銷售額最大,商品單價p應取何值?最大銷售額是多少?15.某商品進價為(元/件)，根據(jù)以往經(jīng)驗，當銷售價為(元/件)時，銷售量為件(均為正常數(shù),且)。市場調(diào)查表明，銷售價每下降10%，銷售量可增加40%，現(xiàn)決定一次性降價。試問當銷售價定為多少時，可獲得最大利潤?并求出最大利潤.第四章不定積分本章要點1.不定積分的概念及性質(zhì)。2.不定積分的基本公式。3.不定積分的換元積分法與分部積分法。4.簡單的有理函數(shù)的積分。本章目標1.理解不定積分的概念及性質(zhì)。2.掌握不定積分的基本公式。3.掌握不定積分的換元積分法與分部積分法。4.會求簡單的有理函數(shù)的積分。本章重點1.不定積分的概念及性質(zhì)。2.不定積分的基本公式。3.不定積分的換元積分法與分部積分法。本章難點1.不定積分的概念及性質(zhì)。2.不定積分的換元積分法與分部積分法。第一節(jié)不定積分的概念及性質(zhì)一、單項選擇題（下列各題中為任意常數(shù)）1.【】.A.；B.；C.；D..2.【】.A.；B.；C.；D..3.函數(shù)的一個原函數(shù)是【】A.；B.；C.；D..4.在可積函數(shù)的積分曲線族中，每一條曲線在橫坐標相同的點上的切線【】A.平行軸；B.平行軸；C.互相平行；D.互相垂直.5.曲線過點，且每點切線斜率都是該點橫坐標的2倍，則該曲線方程是【】A.；B.；C.；D..6.【】A.；B.；C.；D..7.【】A.；B.；C.；D..8.【】A.；B.；C.；D..9.【】A.；B.；C.；D..二、填空題10. .11. .12. .13. .14. .15. .16. .17. .18. .19. .20. .21. .22. .23.= .24. .25. .26. .27. .第二節(jié)基本積分法（換元積分法）一、單項選擇題1.可變?yōu)椤尽?A.；B.；C.；D..2.【】.A.；B.；C.；D..3.【】.A.；B.；C.；D..4.【】.A.；B.；C.；D..5.【】.A.；B.；C.；D..6.【】.A.；B.；C.；