【創(chuàng)新設(shè)計】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8-6橢圓課件 文 蘇教版

掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)．

第6課時橢圓【命題預(yù)測】

1．本講主要考查橢圓的基本概念和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求橢圓方程，橢圓第一、二定義的綜合運用，橢圓中各量的計算，關(guān)于離心率e的題目為熱點問題，各種題型均有考查，屬中檔題．2．考綱要求掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，所以，近幾年的高考試題一直在客觀題中考查定義、性質(zhì)的理解和運用，在解答題中考查軌跡問題和直線與橢圓的位置關(guān)系．3．在解析幾何與向量的交匯處設(shè)計高考題，是近年來高考中一個新的亮點，主要考查：(1)將向量作為工具解答橢圓問題；(2)以解析幾何為載體，將向量作為條件融入題設(shè)條件中．4．利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、根與系數(shù)關(guān)系來求解或證明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題．

【應(yīng)試對策】

率e確定橢圓的形狀，焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離p確定橢圓的大小．注意焦點在x軸和y軸上對應(yīng)的橢圓方程的區(qū)別和聯(lián)系．涉及橢圓上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第一定義，而涉及橢圓上的點到某一焦點的距離，常常用橢圓的第二定義．對于后者，需要注意的是焦點與準(zhǔn)線的正確對應(yīng)，不能弄錯．1．在運用橢圓的兩種定義解題時，一定要注意隱含條件a>c，離心問題；準(zhǔn)確把握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征以及“標(biāo)準(zhǔn)”的含義；要能從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中讀出幾何性質(zhì)，能夠利用標(biāo)準(zhǔn)方程解決問題．橢圓的幾何性質(zhì)是需要重點掌握的內(nèi)容，要能夠熟練運用其幾何性質(zhì)來分析和解決問題．特別是橢圓的離心率，作為橢圓的幾何性質(zhì)之一，是高考的熱點．

2．考綱要求掌握橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，靈活運用橢圓的定義來解決得到一個關(guān)于x(或y)的一元二次方程，再求判別式或應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系解題．由判別式可以得到字母關(guān)系的范圍；利用根與系數(shù)關(guān)系、數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法可以解決中點弦或弦的垂直等問題．橢圓在解答題的考查中計算量比較大，要有簡化運算的意識：可先運算字母關(guān)系，最后代入數(shù)值，這樣做可減少運算錯誤，提高運算的準(zhǔn)確性．3．解決直線與橢圓問題的通法是：將直線和橢圓的方程聯(lián)立、消元，4．由于平面向量具有“雙重性”，與平面解析幾何在本質(zhì)上有密切的聯(lián)， 因此，在解答此類問題時，要充分抓住垂直、平行、長度、夾角的關(guān)系， 將向量的表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式．【知識拓展】

焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的三角形PF1F2稱作焦點三角形，如圖，∠F1PF2＝θ.(1)θ=arccos當(dāng)r1=r2時，即P為短軸端點時，θ最大，且θmax=arccos(2)

＝

當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2最大，且最大值為bc.

2．焦點弦(過焦點的弦) AB為橢圓

(a>b>c)的焦點弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)．則弦長l＝2a±e(x1＋x2)＝2a±2ex0,通徑最短lmin＝

1．橢圓的定義 (1)平面內(nèi)的動點的軌跡是橢圓必須滿足的兩個條件：

①到兩個定點F1、F2的距離的

等于常數(shù)2a(a>0)．②2a

F1F2. (2)上述橢圓的焦點是

，橢圓的焦距是

. 思考：當(dāng)2a＝F1F2時動點的軌跡是什么圖形？ 提示：當(dāng)2a＝F1F2時，動點的軌跡是線段F1F2.

和＞F1、F2F1F22．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程＝1(a>b>0)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍≤x≤

，≤y≤≤x≤

，≤y≤對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點頂點A1

，A2B1

B2A1

，A2B1

，B2焦距|F1F2|＝離心率e＝∈準(zhǔn)線方程x＝±y＝±a，b，c的關(guān)系c2＝－a－b－a－babba(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b,0)(b,0)2c(0,1)a2－b2探究：橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系？提示：離心率越接近1，橢圓越扁，離心率越接近0，橢圓就越接近于圓．

＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是________．答案：

1．(2010·東臺中學(xué)高三診斷)已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足2．已知橢圓的方程是

＝1(a>5)，它的兩個焦點分別為F1、F2，且F1F2＝8，弦AB過F1，則△ABF2的周長為________．

解析：∵a>5，∴橢圓的焦點在x軸上．∴a2－25＝42，a＝

.

由橢圓的定義知△ABF2的周長為4a＝4

答案：4

3．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是__________________．解析：∵2a＝18,2c＝

×2a＝6，∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.

答案：

4．(揚州市高三期末調(diào)研)已知F1、F2是橢圓

的左、右焦點，弦AB過F1，若△ABF2的周長為8，則橢圓的離心率為________．

解析：由題意知，△ABF2的周長為8，根據(jù)橢圓定義得4a＝8，即a＝2.又c2＝a2－b2＝1，所以橢圓的離心率e＝

答案：

5．橢圓上有一點P到左準(zhǔn)線的距離為那么P到右焦點的距離為________．解析：a＝5，b＝3，∴c＝4，e＝答案：8∴PF2＝10－2＝8.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要有定義法、待定系數(shù)法，有時還可根據(jù)條件用代入法．用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟是：(1)作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有能．(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程

(a>b>0)或

(a>b>0)或mx2＋ny2＝1.(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、c的方程組．(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求．

【例1】(江蘇南通調(diào)研題)一動圓與已知圓O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓

O2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，試求動圓圓心的軌跡方程．

思路點撥：兩圓相切，圓心之間的距離與圓半徑有關(guān)，據(jù)此可以找到動圓圓心滿足的條件．

解：由已知，兩定圓的圓心和半徑分別是O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9.設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設(shè)條件，可知MO1＝1＋R，MO2＝9－R.∴MO1＋MO2＝10.由橢圓的定義知：M在以O(shè)1、O2為焦點的橢圓上，且a＝5，c＝3，b2＝a2－c2＝25－9＝16.故動圓圓心的軌跡方程為

變式1：已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內(nèi)一定點B(3,0)，動圓P

過B點且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程.

解：設(shè)|PB|＝r.∵圓P與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10，∴兩圓的圓心距PA＝10－r，即PA＋PB＝10(大于AB)．∴點P的軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓．∴2a＝10,2c＝AB＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，即點P的軌跡方程為

1．橢圓的性質(zhì)常涉及一些不等關(guān)系，例如對橢圓

(a＞b＞0)，

有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1等，在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者求這些量的最大值或最小值時，經(jīng)常用到這些不等關(guān)系．

2．求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，即使不畫出圖形， 思考時也要聯(lián)想到圖形．當(dāng)涉及到頂點、焦點、準(zhǔn)線、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．

關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于e的等式或不等式，從而求出e的值或范圍．離心率e與a、b的關(guān)系：

3．求橢圓離心率問題，應(yīng)先將e用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些的兩焦點為F1、F2,P是橢圓上一點且 =0，試求該橢圓的離心率e的取值范圍．思路點撥：利用0≤x2≤a2建立關(guān)于a與c的不等式．

【例2】即

又

聯(lián)立①②消去y得：e2x

＝c2－b2，又c2＝a2－b2，∴e2

＝2c2－a2.

據(jù)題意，P點在橢圓上，但不在x軸上，∴0≤

于是0≤2c2－a2<c2，即

變式2：已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60°，求橢圓離心率的范圍．

解：設(shè)橢圓方程為

＝1(a＞b＞0)，PF1＝m，PF2＝n.

在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.

∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，

∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤

(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時取等號)，∴4a2－4c2≤3a2，

∴

∴e的取值范圍是

【例3】設(shè)P(x0，y0)是橢圓

(a>b>0)上任意一點，F(xiàn)1為其左焦點．

(1)求|PF1|的最小值和最大值；(2)在橢圓

上求一點P，使這點與橢圓兩焦點的連線互相垂直．

思路點撥：用x0，a，e表示PF1，(1)利用PF1與x0，a，e之間的關(guān)系求最值；(2)用PF1、PF2與x0，a，e之間的關(guān)系及勾股定理列出x0，a，e的方程，并求x0.

解：(1)對應(yīng)于F1的準(zhǔn)線方程為x＝－

∴PF1＝a＋ex0.又－a≤x0≤a，

∴當(dāng)x0＝－a時，PF1min＝a＋

當(dāng)x0＝a時，PF1max＝a＋(2)∵a2＝25，b2＝5，∴c2＝20，e2＝∵

∴(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2.將數(shù)據(jù)代入得25＋

代入橢圓方程得P點的坐標(biāo)為

變式3：已知點P在橢圓 ＝1(a>b>0)上，

F1、F2為橢圓的兩個焦點，

求PF1·PF2的取值范圍．

解：設(shè)P(x0，y0)，橢圓的準(zhǔn)線方程為y＝±不妨設(shè)F1、F2分別為下焦點、上焦點，則

PF2＝a－∴PF1·PF2＝∴當(dāng)y0＝0時，PF1·PF2最大，最大值為a2；當(dāng)y0＝±a時，PF1·PF2最小，最小值為a2－c2＝b2.因此，PF1·PF2的取值范圍是[b2，a2]．y0＋a，∵－a≤y0≤a，

1．直線與橢圓位置關(guān)系的判定把橢圓方程

＝1(a>b>0)與直線方程y＝kx＋b聯(lián)立消去y，整理成形如Ax2＋Bx＋C＝0的形式，對此一元二次方程有：(1)Δ>0，直線與橢圓相交，有兩個公共點．(2)Δ＝0，直線與橢圓相切，有一個公共點．(3)Δ<0，直線與橢圓相離，無公共點．

2．直線被橢圓截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，

B(x2，y2)兩點，則AB＝

＝

(k為直線斜率)．

【例4】橢圓C：

＝1(a>b>0)的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，

點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，PF1＝

(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l過圓x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心M，交橢圓C于A，B兩點，且A，B關(guān)于點M對稱，求直線l的方程．

思路點撥：(1)可根據(jù)橢圓定義來求橢圓方程；(2)解法一：設(shè)斜率為k，表示出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式求解；解法二：設(shè)出A、B兩點坐標(biāo)，代入橢圓方程，作差變形，利用中點坐標(biāo)公式及斜率求解(即點差法)．

解：(1)因為點P在橢圓C上，所以2a＝PF1＋PF2＝6，a＝3.

在Rt△PF1F2中，F(xiàn)1F2＝

故橢圓的半焦距c＝從而b2＝a2－c2＝4，所以橢圓C的方程為

(2)設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．已知圓的方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝5，所以圓心M的坐標(biāo)為(－2,1)，從而可設(shè)直線l的方程為：y＝k(x＋2)＋1，代入橢圓C的方程得：(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0.

因為A，B關(guān)于點M對稱，所以

＝－2，解得k＝

所以直線l的方程為y＝(x＋2)＋1，即8x－9y＋25＝0.(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意)變式4：斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A、B兩點，則

AB的最大值為________．解析：設(shè)橢圓截直線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.則有x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴AB＝|x1－x2|＝·＝，當(dāng)t＝0時，|AB|max＝2．(1)如果已知橢圓＋＝1(a>b>0)上一點P，需要解決有關(guān)△PF1F2的問題，由于在△PF1F2中已知F1F2＝2c，

PF1＋PF2＝2a，如果再給出一個條件，△PF1F2可解．(2)當(dāng)然如果涉及到橢圓上點到焦點的距離，也可考慮由＝和方程推出的結(jié)論——焦半徑公式

PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0.【規(guī)律方法總結(jié)】1．求橢圓方程：(1)可通過對條件的“量化”根據(jù)兩個條件利用待 定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)可利用求軌跡方程的方法求 橢圓方程．3．在掌握橢圓簡單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能對橢圓性質(zhì)有更多的了解，如(1)a＋c與a－c分別為橢圓上點到焦點距離的最大值和最小值；(2)橢圓的通徑(過焦點垂直于長軸的弦)長，是過橢圓焦點的直線被橢圓所截得的弦長的最小值等．4．求橢圓的離心率e＝，可根據(jù)已知條件列出一個關(guān)于a、b、c的齊次等式，再結(jié)合a2＝b2＋c2可得關(guān)于e的方程求解，求橢圓的離心率與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，比求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程少一個條件.

【例5】(2009·重慶卷)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別

為F1(－c,0)、F2(c,0)，若橢圓上存在點P使＝，則該橢圓的離心率的取值范圍為________．分析：在△PF1F2中根據(jù)正弦定理建立關(guān)系式和已知條件比較尋找關(guān)于離心率e的不等式．【高考真題】規(guī)范解答：根據(jù)已知條件∠PF1F2，∠PF2F1都不等于0，即點P不是橢圓的左、右頂點，故P，F(xiàn)1，F(xiàn)2構(gòu)成三角形．在△PF1F2中，由正弦定理得

＝，則由已知得，即aPF1＝cPF2.設(shè)點P(x0，y0)，由焦點半徑公式，得PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，則a(a＋ex0)＝c(a－ex0)．得x0＝，由橢圓的幾何性質(zhì)知x0>－a，則－a，整理得e2＋2e－1>0，解得e<－－1或e>－1.又e∈(0,1)，故橢圓的離心率e∈(－1,1)．故填(－1,1)．

答案：(－1,1)

【全解密】本題考查橢圓的定義、橢圓的簡單幾何性質(zhì)、正弦定理等基礎(chǔ)知識，但試題的核心考查點是分析問題、解決問題的能力，試題給出的 實際上是給出了這個橢圓上點P到左、右焦點的兩條焦半徑之間的一個等量關(guān)系，要求考生根據(jù)這個等量關(guān)系建立關(guān)于離心率的不等式，對能力有較高的要求．試題設(shè)計新穎，是一道值得仔細(xì)品味的試題．【命題探究】橢圓的焦點半徑果在橢圓C：＋＝1(a>b>0)中，點P(x0，y0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，則PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，F(xiàn)1F2＝2c，e為橢圓的離心率，其證明過程如下：由于＝1，故，根據(jù)兩點間的距離公式PF1＝=又由于－a≤x0≤a，所以0<－c＋a≤x0＋a≤c＋a，故PF1＝x0＋a＝a＋ex0；根據(jù)橢圓定義PF2＝2a－PF1＝2a－(a＋ex0)＝a－ex0，F(xiàn)1F2＝2c.【知識鏈接】

注：(1)通常把PF1、PF2稱為該橢圓的左、右焦點半徑，從這個規(guī)律可以看出焦點在x軸上的橢圓的焦點半徑只與點P的橫坐標(biāo)有關(guān)，同理可以寫出焦點在y軸上的橢圓的焦點半徑．(2)由PF1＝a＋ex0知當(dāng)x0＝－a時，PF1最小，當(dāng)x0＝a時，PF1最大(雖然這時F1，F(xiàn)2已經(jīng)不能構(gòu)成三角形，但我們上面的推導(dǎo)并沒有用到P，F(xiàn)1，F(xiàn)2構(gòu)成三角形這個條件)．

橢圓離心率范圍問題基本分析思路：求解橢圓的離心率實際上就是建立一個關(guān)于離心率的不等式，這個不等式可以通過建立a，b，c的不等式達(dá)到目的，在橢圓中建立不等式有如下一些思考途徑：一是橢圓幾何性質(zhì)，如根據(jù)橢圓上點的坐標(biāo)的范圍與已知條件建立不等式；二是涉及直線與橢圓相交時，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后所得到的一元二次方程的判別式大于零；三是題目中給出的或能夠根據(jù)已知條件得出的不等關(guān)系式．【方法探究】

【技巧點撥】

在橢圓中，當(dāng)橢圓上的點不是其長軸的兩個端點時，這個點與橢圓的兩個焦點可以構(gòu)成一個三角形，這個三角形中一個邊長等于焦距，另兩個邊長之和等于長軸的長，在這個三角形中利用正余弦定理可以巧妙地解決一些問題．【發(fā)散思維】本題也可以按如下方法解答：據(jù)“規(guī)范解答”知PF1＝PF2，由橢圓的定義知PF1＋PF2＝2a，則PF2＋PF2＝2a，即PF2＝.由橢圓的幾何性質(zhì)知PF2<a＋c，則<a＋c，即c2＋2c－a2>0，所以e2＋2e－1>0，從而可求出離心率e的范圍．【誤點警示】

本題易出現(xiàn)的一個致命的錯誤就是忽視了隱含條件“∠PF1F2，∠PF2F1都不能等于0”，這樣會導(dǎo)致在最后的答案中含有離心率等于－1.解答數(shù)學(xué)題目要注意對隱含條件的挖掘，確保答案準(zhǔn)確無誤，特別是解答選擇題和填空題尤為如此.

1．已知橢圓x2＋＝1和直線y＝2x＋m恒有兩個不同的交點，求兩交點連線的中點軌跡方程．分析：解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，除利用根與系數(shù)關(guān)系外，也可以運用點差法，但必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法．解：設(shè)直線與橢圓的兩個交點的坐標(biāo)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有①

②

設(shè)MN的中點P(x，y)，則x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.又∵＝2，∴2＝－4×