【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第12知識(shí)塊第2講綜合法、分析法、反證法課件 北師大版

【考綱下載】1. 了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)．

2．了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn).第2講綜合法、分析法、反證法(1)作差比較法：a－b>0?a>b；

a－b<0?a<b.(2)作商比較法：若b>0，則a>b?>1；提示：比較法是證明不等式最基本的方法，也是最重要的方法，無(wú)論是作差還是作商，變形都是證明的關(guān)鍵．1．比較法分析法是從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的

條件，直至所尋求的

條件顯然成立或由已知證明其成立，從而確定所證不等式成立的一種方法，它體現(xiàn)了

的思想方法．提示：用分析法證明不等式時(shí)，不要把“逆求”錯(cuò)誤地作為“逆推”，分析法的過(guò)程僅需要尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說(shuō)，分析法的思維是逆向思維，因此，在證題時(shí)，應(yīng)正確使用“要證”“只需證”這樣的連結(jié)“關(guān)鍵詞”．充分充分執(zhí)果索因2．分析法綜合法是由題設(shè)與不等式的性質(zhì)、定理相結(jié)合，運(yùn)用不等式的變換，從已知條件推出所證不等式的方法．綜合法的證明過(guò)程是

的思想方法．提示：綜合法往往是分析法的逆過(guò)程，表述簡(jiǎn)單，條理清楚，所以實(shí)際證題時(shí)，可將分析法、綜合法結(jié)合起來(lái)使用，即用分析法分析，用綜合法書寫．由因?qū)Ч?．綜合法假設(shè)原命題

(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出

，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法．不成立矛盾4．反證法解析：不等式兩邊平方、開方，要保證不等式兩邊大于0.答案：C2． 設(shè)0<b<a<1，則下列不等式中成立的是

(

)

A．a(chǎn)2<ab<1 B． C．a(chǎn)b<b2<1 D．2b<2a<2 解析：y＝2x是單調(diào)增函數(shù)，而0<b<a<1，

∴1<2b<2a<2，故D正確． 答案：D3．已知x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy， 則M與N的大小關(guān)系是(

)A．M≥N B．M≤N C．M＝N D．不能確定 解析：2M－2N＝2(x2＋y2)＋2－2(x＋y＋xy) ＝(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2≥0 ∴M≥N. 答案：A4．“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是________． 解析：由命題的否定可得． 答案：存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角用綜合法證明不等式時(shí)，應(yīng)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)囊阎坏仁阶鳛橐罁?jù)．在證明時(shí)，常要用到以下證題依據(jù)：(1)若a，b∈R，則|a|≥0，a2≥0，(a－b)2≥0；(2)若a，b同號(hào)，則(3)若a，b∈(0，＋∞)，則a，b∈R，則a2＋b2≥2ab.【例1】

設(shè)a>0，b>0，c>0，證明：

≥a＋b＋c.

思維點(diǎn)撥：本題因?yàn)橛腥?xiàng)分式，不主張用分析法． 綜合法證明不等式，要特別注意基本不等式的運(yùn)用和對(duì)題設(shè)條件的運(yùn)用．這里可從去分母的角度去運(yùn)用基本不等式證明：∵a，b，c>0，根據(jù)基本不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，

＋a≥2c.三式相加：

＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．即

≥a＋b＋c.證明：∵a2＋b2＋c2－2(a＋b＋c)＋3＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)，等號(hào)成立．∴原不等式成立.變式1：已知a，b，c∈R，求證：a2＋b2＋c2≥2(a＋b＋c)－3.立體幾何中的很多證明過(guò)程都要采用綜合法，證明過(guò)程中，要步步為營(yíng)，環(huán)環(huán)相扣，不可主觀臆造，因果不成立，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．【例2】

如右圖所示，設(shè)四面體P—ABC中，∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC， D是

AC的中點(diǎn)． 求證：PD垂直于△ABC所在的平面．思維點(diǎn)撥：根據(jù)線面垂直的判定定理，要證明PD⊥平面ABC，在平面ABC內(nèi)尋找到相交直線，分別與PD垂直即可．證明：連結(jié)PD，BD.∵BD是Rt△ABC斜邊上的中線，∴DA＝DB＝DC.又PA＝PB＝PC，而PD為△PAD、△PBD、△PCD的公共邊，∴△PAD≌△PBD≌△PCD.于是∠PDA＝∠PDB＝∠PDC，而∠PDA＝∠PDC＝90°，∴∠PDB＝90°.可見PD⊥AC，PD⊥BD.∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.變式2：在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，E、F、G分別是棱B1B、D1D、DA的中點(diǎn)． 求證：(1)平面AD1E∥平面BGF； (2)D1E⊥平面AEC.證明：(1)∵E，F(xiàn)分別是棱BB1，DD1的中點(diǎn)，∴BE∥D1F且BE＝D1F，∴四邊形BED1F為平行四邊形，∴D1E∥BF，又D1E?平面AD1E，BF?平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.又G是棱DA的中點(diǎn)，∴GF∥AD1，又AD1?平面AD1E，GF?平面AD1E，∴GF∥平面AD1E，又BF∩GF＝F，∴平面AD1E∥平面BGF.(2)∵AA1＝2，∴AD1＝同理AE＝∴AD12

＝D1E2＋AE2，∴D1E⊥AE.∵AC⊥BD，AC⊥D1D，BD∩D1D＝D，∴AC⊥平面BB1D1D，又D1E?平面BB1D1D，∴AC⊥D1E，又AC∩AE＝A，∴D1E⊥平面AEC.當(dāng)要證明的不等式比較復(fù)雜，兩端差異難以消去或者已知條件信息太少，已知與待證之間的聯(lián)系不明顯時(shí)，一般可采用分析法．即a2＋≥2，而該不等式顯然成立，故原不等式成立．變式3：若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證：證明：∵a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0.只要證：b2－ac＜3a2，只要證：(a－c)(2a＋c)＞0，∵a－c＞0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝a－b＞0成立，故原不等式成立.反證法是利用互為逆否的命題具有等價(jià)性來(lái)進(jìn)行證明的，在使用反證法時(shí)，必須在假設(shè)中羅列出各種與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，則反證都是不完全的．【例4】

若x，y都是正實(shí)數(shù)，且x＋y>2，求證：

中 至少有一個(gè)成立．

思維點(diǎn)撥：本題結(jié)論以“至少”形式出現(xiàn)，從正面思考有多種形式，不易入手，故可用反證法加以證明．證明：假設(shè) <2都不成立，則有

≥2同時(shí)成立，因?yàn)閤>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，這與已知條件x＋y>2相矛盾，因此

<2中至少有一個(gè)成立.【方法規(guī)律】1．綜合法證明不等式時(shí)，主要利用重要不等式、函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)，在嚴(yán)密的演繹推理下推導(dǎo)出結(jié)論．綜合法是分析法的逆過(guò)程，表述簡(jiǎn)單、條理清楚，所以實(shí)際證明問(wèn)題時(shí)，往往用分析法分析，用綜合法書寫，用綜合法證明不等式，要掌握拆項(xiàng)、配對(duì)等技巧．2．分析法的思維是逆向思維，它能增大思維的發(fā)散量，克服思維定勢(shì)的消極影響，有利于發(fā)展求異思維．使用分析法證明不等式時(shí)，注意敘述格式．3．應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般分下面幾個(gè)步驟：第一步:分清命題“p→q”

的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定q；第三步：由p和q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定q不真， 于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題p→q為真．第三步所說(shuō)的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理矛盾、與已知定義矛盾、與已知定理矛盾、與已知條件矛盾、與臨時(shí)假定矛盾以及自相矛盾等各種情況.(12分)設(shè)a＋b>0，n為偶數(shù)，求證：【閱卷實(shí)錄】【教師點(diǎn)評(píng)】【規(guī)范解答】…………4分(1)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，(an－bn)(an－1－bn－1)≥0，(ab)n>0…………8分(2)當(dāng)a，b中有一個(gè)負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)a>0，b<0