【創(chuàng)新設計】2011屆高三數(shù)學一輪復習 第5知識塊第5講數(shù)列的綜合應用課件（2）課件 北師大版

【考綱下載】能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用相關知識解決相應的問題.第5講數(shù)列的綜合應用1．數(shù)列應用問題的常見模型(1)等差模型：一般地，如果增加(或減少)的量有一個固定的具體量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常數(shù))．(2)等比模型：一般地，如果增加(或減少)的百分比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型．(3)混合模型：在一個問題中，同時涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型． (4)生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分數(shù)增加(或減少)， 同時又以一個固定的具體量增加(或減少)時，我們稱該模型為生長 模型．如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等． (5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項an與它的前一項an－1(或前 幾項)間的遞推關系式，那么我們可以用遞推關系的知識求解問題．2．數(shù)列與其他分支的知識的綜合應用(1)主要為數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、解析幾何、極限等知識的綜合．(2)解此類綜合題，首先要認真審題，弄清題意，分析出涉及哪些數(shù)學分支內(nèi)容，在每個分支中各是什么問題；其次，要精心分解，把整個大題分解成若干個小題或“步驟”，使它們成為在各自分支中的基本問題；最后，分別求解這些小題或步驟，從而得到整個問題的結(jié)論．1．(2009·四川卷)等差數(shù)列{an}的公差不為零，首項a1＝1，a2是a1和a5

的等比中項，則數(shù)列{an}的前10項之和是(

)A．90 B．100 C．145 D．190解析：∵

＝a1·a5，∴(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)．

∴d2＝2a1d，而d≠0，∴d＝2a1＝2.S10＝10×1＋

×2＝100.答案：B2．(2009·江西卷)公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項，S8＝32，則S10等于(

)A．18 B．24 C．60 D．90解析：由題意可知S10＝10×(－3)＋

×2＝60.答案：C3．黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是(

)A．4n＋2B．4n－2C．2n＋4D．3n＋3解析：白色地面磚的塊數(shù)為等差數(shù)列，首項為6，公差為4，即得通項為4n＋2.答案：A4．一張厚度為0.1mm的矩形紙，每次將此紙沿對邊中點連線對折，一共 折疊20次(假定這樣的折疊是可以完成的)，這樣折疊后紙的總厚度h1 與一座塔的高度h2＝100m的大小關系為h1________h2. 解析：設厚度構成數(shù)列{an}，則a1＝0.1，a2＝0.2，a3＝0.4，…，a21＝ 0.1·220，即{an}為公比為2的等比數(shù)列而220>1000000，∴h1>h2. 答案：>對于同一個數(shù)列，某些項在一定的條件下可以成為等比數(shù)列，另一些項在特定條件下也可以成為等差數(shù)列，尋找這個數(shù)列項之間的關系是解題的關鍵．【例1】

設{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3＝ 7，且a1＋3,3a2，a3＋4構成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.思維點撥：設出等比數(shù)列，從等差數(shù)列建立方程，再判定{bn}的特征．解：(1)由已知得解得a2＝2.設數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝由題意得q>1，∴q＝2.∴a1＝1.故數(shù)列{an}的通項為an＝2n－1(n∈N*)．(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2，

又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差數(shù)列．∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝故Tn＝

ln2，n＝1,2，….變式1：設{an}是等差數(shù)列，{bn}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.求{an}，{bn}的通項公式．解：設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，依題意有q>0且解得d＝2，q＝2，∴an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.【例2】

在一次人才招聘會上，有A，B兩家公司分別開出它們的工資標準：A公 司許諾第一年月工資數(shù)為1500元

，以后每年月工資比上一年月工資增加230

元；B公司許諾第一年月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎上遞增5%，設某人年初被A，B兩家公司同時錄取，試問：(1)若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少？(2)該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應聘的標準(不計其他因素)，該人應該選擇哪家公司，為什么？(3)在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元(精確到1元)？并說明理由．解：(1)此人在A，B公司第n年的月工資數(shù)分別為：an＝1500＋230×(n－1)(n∈N*)bn＝2000(1＋5%)n－1(n∈N*)．(2)若該人在A公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為12(a1＋a2＋…＋a10)＝304200(元)，若該人在B公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為12(b1＋b2＋…＋b10)≈301869(元)，因為在A公司收入的總量高些，因此該人應該選擇A公司．(3)問題等價于求cn＝an－bn＝1270＋230n－2000×1.05n－1(n∈N*)的最大值．當n≥2時，cn－cn－1＝230－100×1.05n－2，當cn－cn－1>0，即230－100×1.05n－2>0時，1．05n－2<2.3，得n<19.1，因此，當2≤n≤19時，cn－1<cn；于是，當n≥20時，cn<cn－1，∴c19是數(shù)列{cn}的最大項，c19＝a19－b19≈827(元)．即在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多827元．入本金，這種計算利息的方法叫復利．現(xiàn)在有某企業(yè)進行技術改造，有兩種方案：甲方案——一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案——每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年多獲利5千元．兩種方案的使用期限都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行貸款利息均按年息10%的復利計算，試比較兩種方案哪個獲利更多．(計算結(jié)果精確到千元，參考數(shù)據(jù)：1.110≈2.594，1.310≈13.786)．變式2：銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時間結(jié)算存(貸)款的利息一次，結(jié)算后即將利息并解：甲方案10年獲利的和1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.62(萬元)．到期時銀行貸款的本息和為10(1＋10%)10≈10×2.594＝25.94(萬元)．∴甲方案扣除貸款本息后凈獲利42.62－25.94≈16.7(萬元)；乙方案逐年獲利組成一個等差數(shù)列，10年共獲利1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝

＝32.5(萬元)而貸款本息和為1.1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×≈17.53(萬元)．∴乙方案扣除貸款本息后，凈獲利為32.5－17.53≈15.0(萬元)．比較可知，甲方案獲利多于乙方案獲利.函數(shù)、數(shù)列、不等式是高中重要的知識交匯點，以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列構造問題在全國各省市的高考試題中都扮演著重要的角色．函數(shù)、數(shù)列、不等式的交匯問題具有命題操作過程簡單，構造技巧強的特點，因此一直受到高考命題者的青睞．【例3】

(2009·皖南八校第二次聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為 Sn，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a7成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的前n項和Sn；

(2)設bn＝

數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，

求證：2Tn－9bn－1＋18> (n>1)思維點撥：(1)利用已知條件求a1和d；

(2)由(1)求出bn，再求Tn，然后證明2Tn－9bn－1＋18≥4與

≤4.(1)解：∵a1，a2，a7成等比數(shù)列，

∴即(a1＋d)2＝a1(a1＋6d)，又a1＝1，d≠0，∴d＝4.∴Sn＝na1＋

d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n.(2)證明：由(1)知bn＝∴{bn}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，∴Tn＝

＝n2＋n，∴2Tn－9bn－1＋18＝2n2＋2n－18(n－1)＋18＝2n2－16n＋36＝2(n2－8n＋16)＋4＝2(n－4)2＋4≥4，當且僅當n＝4時取等號．①當且僅當n＝，即n＝3時取等號．②又①②中等號不能同時取到，∴2Tn－9bn－1＋18>(n>1).【方法規(guī)律】1．深刻理解等差(比)數(shù)列的性質(zhì)，熟悉它們的推導過程是解題的關鍵．兩類數(shù)列性質(zhì)既有類似的部分，又有區(qū)別，要在應用中加強記憶．同時，用好性質(zhì)也會降低解題的運算量，從而減少差錯．2．等比數(shù)列的前n項和公式要分兩種情況：公比等于1和公比不等于1.最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習．3．在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，經(jīng)常要根據(jù)條件列方程(組)求解，在解方程(組)時，仔細體會兩種情形中解方程(組)的方法的不同之處．4．數(shù)列的滲透力很強，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度．解決此類題目，必須對蘊藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學思想有所了解，深刻領悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學思想方法有：“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”、“等價轉(zhuǎn)換”等．5．在現(xiàn)實生活中，人口的增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計算、分期付款問題等，都可以利用數(shù)列來解決，因此要會在實際問題中抽象出數(shù)學模型，并用它解決實際問題.已知正項數(shù)列{an}滿足Sn＋Sn－1＝t·a＋2(n≥2，t＞0)，a1＝1，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項和．(1)求a2及通項an；(2)記數(shù)列

的前n項和為Tn，若Tn＜2對所有的n∈N*都成立．求證：0＜t≤1.【規(guī)范解答】解：(1)由a1＝1，S2＋S1＝ta＋2，得a2＝0(舍去)或a2＝又Sn＋Sn－1＝t·a＋2，①S