24線段的垂直平分線

AB問題導(dǎo)入

如圖，在春陵江岸的一側(cè)有相隔一段距離的A、B兩個(gè)倉庫，要在江岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到A、B兩個(gè)倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置?春陵江●●學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合具體例子認(rèn)識(shí)什么是線段的垂直

平分線，理解線段的垂直平分線所滿足的兩個(gè)條件.2.探索掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.3.能應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)定理找出

線段相等.觀察：如圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點(diǎn)A

與點(diǎn)A′關(guān)于線段CD

所在的直線l

對(duì)稱，你發(fā)現(xiàn)線段CD

所在的直線l

與線段AA′

有哪些關(guān)系？已知點(diǎn)A與點(diǎn)Ａ′

關(guān)于直線l

對(duì)稱●lAA′D21(A)現(xiàn)在把人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡(jiǎn)化得到如下圖：①l⊥AA′：l垂直AA′②AD=A′D：l平分AA′如果沿直線l折疊，則點(diǎn)A與點(diǎn)Ａ′

重合，所以AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直線l

既垂直線段AA′，又平分線段AA′．直線l

就叫做線段AA′

的垂直平分線●

________且_______一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.想一想：線段是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？lABC（中垂線）由上得到線段的垂直平分線的定義：垂直平分用符號(hào)語言表示：如圖∵_(dá)______，_______∴直線l

是線段AA′

的垂直平分線線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸.l

⊥AB

AC=BCNMP探究交流：OAB●（1）在紙上畫一條線段AB，再畫出線段AB的垂直平分線MN；

（2）在線段AB的垂直平分線MN上

任取一點(diǎn)P,連接PA，PB，（3）測(cè)量PA、PB的長(zhǎng)度，你有什么發(fā)現(xiàn)？PA=PB線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．（4）你能用語言表達(dá)這個(gè)結(jié)論嗎？NMP探究交流：OAB●（5）理由：

線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等∵直線MN是線段AB的垂直平分線，∴沿直線MN折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合.∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線MN對(duì)稱從而線段PA與線段PB重合于是PA=PB.由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理：條件：點(diǎn)在線段的垂直平分線上結(jié)論：這個(gè)點(diǎn)到線段兩端的距離相等ABPO學(xué)以致用如圖，在春陵江岸的一側(cè)有相隔一段距離的A、B兩個(gè)倉庫，要在江岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到A、B兩個(gè)倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置?春陵江1.解答前面所提出的問題：●●分析：（1）所建造的碼頭要滿足幾個(gè)條件？①在江岸邊②到A、B兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等（2）碼頭位置應(yīng)為江岸邊與線段AB的垂直平分線的交點(diǎn).答：碼頭應(yīng)建在點(diǎn)P的位置2.如圖，△ABC中，AB=9cm,AC＝15cm，BC的

垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，求△ABD的周長(zhǎng)ABEDC解:∵DE是BC的垂直平分線∴BD=DC∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC=9+15=24(cm)方法小結(jié)：應(yīng)用線段的垂直平分線性質(zhì)定理可幫助我們找到線段相等關(guān)系，即線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等)BADEC3.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的

垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC.(1)求∠ECD的度數(shù)；(2)若CE＝5，求BC長(zhǎng)．解(1)∵DE是AC的垂直平分線∴EA=EC∴∠ECD＝∠A＝36°（等邊對(duì)等角）(2)∵AB=AC∠A＝36°∴∠B＝∠ACB（等邊對(duì)等角）＝2_______1800-360＝720又∵∠BEC＝∠A+∠ECA=72°∴∠B＝∠BEC∴

BC=EC=5（等角對(duì)等邊）(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等)（1）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度數(shù).4.自主練習(xí)交流：解∵DE是AB的垂直平分線∴AE=BE∴∠BAE＝∠B＝30°又∵∠CAE+∠BAE=∠BAC∴∠CAE＝∠BAC-∠BAE＝80°-30°＝50°CAB

DE（2）如圖，在△ABC中，AB<AC，BC邊上的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E，AC=15cm，ΔABE的周長(zhǎng)是24cm，求AB的長(zhǎng).

如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，△BCE的周長(zhǎng)等于18cm，則AC的長(zhǎng)等于（）.A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm中考試題解析C∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等).又∵在△BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，∴BE+CE=10cm.∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故應(yīng)選擇C.作業(yè)布置課本72頁A組2，31.________且_______一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.垂直平分3.如圖，直線l

是線段AB的垂直平分線,則PC____AB，AC=____，PA=_____.BC知識(shí)回顧2.線段垂直平分線上的點(diǎn)____________________________________到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等⊥Al

B

CPPB4.____點(diǎn)確定一條直線.兩提出問題CABD如圖，現(xiàn)在知道點(diǎn)C到線段AB

兩端的距離相等，即CA=CB，點(diǎn)D到線段AB

兩端的距離也相等，即DA=DB，那么根據(jù)上面條件你能畫出線段AB的垂直平分線嗎？學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理，并會(huì)應(yīng)用這個(gè)逆定理判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.2.能夠運(yùn)用直尺和圓規(guī)作出一條線段的垂直平分線.1.想一想：我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反過來，它的逆命題怎么說？(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，探究交流2.證明：已知一點(diǎn)P到線段AB

兩端的距離PA與PB相等，那么點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上嗎？到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.lAB●●P顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.因?yàn)镻A=PB，所以點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí),因此直線PC是線段AB的垂直平分線，此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.∵PA=PB∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：因?yàn)镻A=PB，所以△PAB是等腰三角形.AB●●P過頂點(diǎn)P

作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C則AC=BC.（三線合一）C┐到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.幾何語言：條件：點(diǎn)到線段兩端的距離相等結(jié)論：這個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上知識(shí)應(yīng)用CABD如圖，現(xiàn)在知道點(diǎn)C到線段AB

兩端的距離相等，即CA=CB，點(diǎn)D到線段AB

兩端的距離也相等，即DA=DB，那么根據(jù)上面條件你能畫出線段AB的垂直平分線嗎？1.解答前面所提出的問題：①由CA=CB可知點(diǎn)C在什么線上？根據(jù)是什么？分析：點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上②由DA=DB可知點(diǎn)D在什么線上？根據(jù)是什么？點(diǎn)D也在線段AB的垂直平分線上③由上可見直線CD是線段AB的垂直平分線嗎？2.已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC.

求證：點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.分析：根據(jù)“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”可知需要證明__________.OA=OC證明∵點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上∴OA=OB同理OB=OC∴

OA=OC∴點(diǎn)O在AC的垂直平分線上小結(jié)：判斷證明一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，需要找出這個(gè)點(diǎn)到線段兩端的距離相等舉一反三，拓展思維1.課本70頁練習(xí)2已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且

AC=BC，AD=BD，AB與CD相交于點(diǎn)O.

求證：AO=BO.證明∵AC=BC∴點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上∵AD=BD∴點(diǎn)D也在線段AB的垂直平分線上∴CD為線段AB的垂直平分線又AB與CD相交于點(diǎn)O∴AO=BOCAB

ED2.如圖，在△ABC中，AC=15cm,AB=10cm,E是BC

的中點(diǎn)，若ΔABD的周長(zhǎng)是25cm，求證：DE是線段BC的垂直平分線分析：由于E是BC的中點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的定義需要證明___________DE⊥BC證明∵ΔABD的周長(zhǎng)是25cm∴AB+BD+AD=25cm∴BD+AD=15cm又CD+AD=AB=15cm∴BD+AD=CD+AD∴BD=CD即ΔBDC是等腰三角形∵E是BC的中點(diǎn)∴DE⊥BC（三線合一）∴DE是線段BC的垂直平分線做一做如圖，已知線段AB，作線段AB的垂直平分線分析：根據(jù)“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”，要作線段AB的垂直平分線，關(guān)鍵