【創(chuàng)新設計】2011屆高三數(shù)學一輪復習 8-9曲線與方程課件 理 蘇教版

了解曲線與方程的對應關系【命題預測】

1．本節(jié)重點考查曲線與方程的關系，考查曲線方程的探求方法．2．本部分在高考試題中主要以解答題的形式出現(xiàn)，屬中高檔題目．【應試對策】

1．判斷曲線與方程的對應關系有兩種方法：等價轉(zhuǎn)化和賦值討論，它們使用的依據(jù)是曲線的純粹性和完備性，因此，處理“曲線與方程”的概念題，可采用直接法(也可采用賦值法)．第9課時曲線與方程2．(1)直接法求曲線方程的一般步驟： ①建立恰當?shù)淖鴺讼?，設動點坐標(x，y)． ②列出幾何等量關系式． ③用坐標條件變?yōu)榉匠蘤(x，y)＝0. ④變方程為最簡方程． ⑤檢驗，就是要檢驗點軌跡的純粹性與完備性． (2)求動點軌跡時要注意它的完備性與純粹性．化簡過程破壞了方程的同解性，因此要注意補上遺漏的點或挖去多余的點．“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)． (3)如果題目中的條件有明顯的等量關系，或者可以利用平面幾何知識推出等量關系，求方程時可用直接法． (4)如果求出方程要求畫出方程的曲線時，要保持方程變形的等價性． (5)求曲線方程的重要方法——定義法．利用曲線的定義，求出曲線的方程．3. 由曲線的定義可知，兩條曲線交點的坐標應該是兩個曲線方程組成方程組的解．反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點；即兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程組成的方程組有實數(shù)解．可見，求曲線的交點問題，就是求由它們組成方程組的實數(shù)解問題．【知識拓展】求軌跡方程的常用方法(1)常用方法①直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關系，這些條件簡單明確，易于表述成含x、y的等式，得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法．用直接法求動點軌跡的方程一般有建系設點、列式、代換、化簡、證明五個步驟，但最后的證明可以省略．②定義法：運用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關系式，從而求出軌跡方程．③代入法：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P(x，y)卻隨另一動點Q(x′，y′)的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x′、y′表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關點法．(2)求軌跡應注意的幾個問題①直接法是求軌跡方程的基本方法；定義法求軌跡的關鍵是緊扣解析幾何中有關曲線的定義，靈活應用定義；用代入法即相關點法求軌跡的關鍵是尋求關系式：x′＝f(x，y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知曲線．而求對稱曲線(軸對稱、中心對稱等)方程實質(zhì)上也是用代入法(相關點法)解題．②無論用哪種方法求軌跡方程，都應注意軌跡方程的完備性與純粹性．求出的軌跡方程中若有的解不合軌跡條件，從而使軌跡圖形上有不合軌跡條件的點存在，則該方程及其曲線不滿足純粹性；求出的軌跡方程所表示的曲線若不是所有適合條件的點的集合，即曲線之外還有適合條件的點存在，則該方程及其曲線不滿足完備性．求解軌跡問題時要避免軌跡方程不滿足純粹性和完備性的錯誤．1．曲線與方程

如果曲線C上的點的坐標(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標的點都在曲線C上，那么

叫做曲線C的方程， 曲線C叫做

的曲線． 思考：如果以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標的點都是曲線上的點，那么方程f(x，y)＝0就是曲線的方程，這種說法正確嗎？ 提示：不正確，這個方程可能只是曲線的某一部分的方程，如分段函數(shù)的解析式．方程f(x，y)＝0方程f(x，y)＝02．求曲線方程的五個步驟 (1)

：建立適當?shù)淖鴺讼担?(2)

：設曲線上任意一點M的坐標為(x，y)． (3)

：列出符合條件P(M)的方程f(x，y)＝0. (4)

：化方程f(x，y)＝0為最簡形式． (5)

：證明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上．建系設點列式化簡證明3．求兩條曲線交點的方法

對于曲線C1：f1(x，y)＝0和曲線C2：f2(x，y)＝0 (1)P0(x0，y0)是C1與C2的公共點?

. (2)求兩條曲線的交點，就是求方程組 的

．4．方程組的解與曲線交點的對應

方程組有幾組不同的實數(shù)解，兩條曲線就有

； 方程組沒有實數(shù)解，兩條曲線就沒有

．實數(shù)解幾個公共點公共點思考：直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時，是否一定相切？提示：不一定，當直線與雙曲線的漸近線平行或與拋物線的對稱軸平行時，直線與雙曲線和拋物線相交．1．命題“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，下列命題中正確的是________． ①方程f(x，y)＝0的曲線是C

②方程f(x，y)＝0的曲線不一定是C

③f(x，y)＝0是曲線C的方程④以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上 答案：②2．(2010·臨沂調(diào)研)設方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命題“坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上”是不正確的，則下列命題正確的是________． ①坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都不在曲線C上②曲線C上的點的坐標都不滿足方程f(x，y)＝0③坐標滿足方程f(x，y)＝0的點有些在曲線C上，有些不在曲線C上④一定有不在曲線C上的點，其坐標滿足f(x，y)＝0 答案：④

1．如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關系，這些條件簡單明確，易于表述成含x、y的等式，得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法．用直接法求動點軌跡的方程一般有建系設點、列式、代換、化簡、證明五個步驟，但最后的證明可以省略．2．用直接法求軌跡方程是近年來高考常考的題型，有時題目以向量為背景，解題中需注意向量的坐標化運算；有時需分類討論．【例1】如圖所示，設動直線l垂直于x軸，且與橢圓x2＋2y2＝4交于A、B兩點，

P是l上滿足

＝1的點，求點P的軌跡方程．

思路點撥:1．運用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關系式，從而求出軌跡方程．2．用定義法求軌跡方程的關鍵是緊扣解析幾何中有關曲線的定義，靈活應用定義．同時用定義法求軌跡方程也是近幾年來高考的熱點之一．有些問題中，其動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點(稱之為相關點)而運動的．如果相關點所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時我們可以用動點坐標表示相關點坐標，根據(jù)相關點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關點法或代入法．由曲線方程定義可知，兩曲線的交點坐標即兩曲線的方程所構(gòu)成方程組的解．于是，求曲線交點坐標的問題，即轉(zhuǎn)化為解二元方程組的問題；確定兩曲線交點個數(shù)的問題，可轉(zhuǎn)化為討論方程組的解的組數(shù)問題．這類問題的解法，充分體現(xiàn)了幾何中利用代數(shù)方法解決幾何問題的思想．既然曲線的交點問題需轉(zhuǎn)化為二元方程組的求解問題，那么，解二元方程組的一切思路方法和相關知識(如一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關系等)，都是求兩曲線交點的基本依據(jù)和方法．關于曲線的交點問題，通常表現(xiàn)為兩種類型：一是判定兩曲線是否存在交點；二是求解交點及和交點有關的問題，在解決這些問題時，除要用到方程(組)的方法及相關知識外，有時還需綜合運用各種曲線自身所具有的某些幾何性質(zhì)．1．解析幾何的基本問題是已知曲線，求出其軌跡方程，其次是已知曲線的方程，研究曲線的性質(zhì)．因此，如何求曲線的軌跡方程，是作為解析幾何的其中一條主線貫穿于教材的始終的．就其基本類型來說有兩類，其一是已知曲線的類型，求出其方程，這類問題通常用待定系數(shù)法；其二是未知曲線類型求方程．這類問題可有定義法、直接法、代點法、交軌法、參數(shù)法等．因此，如何從題設的條件及圖形的性質(zhì)中，找到有關的等量關系，再通過一系列的轉(zhuǎn)化手段將其化為用動點的坐標(x，y)來表示，則是解決軌跡方程的關鍵．【規(guī)律方法總結(jié)】2．求曲線的方程時要注意以下兩個問題： (1)適當建立坐標系．坐標系建立的適當，可使運算過程簡單，所得的方程也比較簡單，否則會大大增加運算的繁難程度．在實際解題過程中，應充分利用圖形的幾何特性．