數(shù)學-計算方法第1章誤差

海洋大學海洋與氣象于 : 樓計算IntroductiontoNumericalComputational 時 分課程性質(zhì)：閉卷考成績組成：期末（70%）+平時 材：《計算方法引論薇、孫繩武著，高等教計算方法的主要內(nèi)誤差§，插值與數(shù)值微分§，數(shù)值積分§§方程的解法法。計算方法的定課程的主要目際問題而提供的一種計算工具，故的任務培養(yǎng)學生基本的和必要的數(shù)值計算方面的知建建立數(shù)學模選取計算方編寫上機程計算得出結(jié)第1誤差的來源數(shù)值運算中應注意的事項誤差來1、模型誤2、觀測誤3、截斷誤4、舍入誤模型誤模型誤差例

s(t1gt2，（g為重力加速度2來描述物體自由下落時距離與時間的關系．設自由落體在

t時的實際下落距離

，st

觀測誤數(shù)據(jù)受工具、方法、觀測者的因素、不可預觀測誤差例例設一根鋁棒在溫

t時的實際長度

Lt

t時的實際長度為 ，用lt來表示鋁棒在溫度為度計算值，并建立數(shù)學模型ltL0(1t)其中cc

時的，則

Lt

的“測誤差截斷誤稱為截斷誤差截斷誤差例exex展開為級數(shù)形 x x 1x 2! n在實際計算時，我們只取前面有限項（例n項nx nSn(x)1x 2!計算Sn(x)作為ex的值必然產(chǎn)生誤差，其誤差為xRn(x)kn k這個誤差就是“截斷誤差舍入誤舍入誤差例

，2，10.333，2，3

如果取小數(shù)點后四位數(shù)字，l13.1416，2l21.4142 2l0.33331 就是“舍入誤誤差來源分總之，誤差一般來自模型誤差、觀測誤差、截斷誤誤算導，較 現(xiàn) 能。誤差理誤差、誤差限、有效數(shù)相對誤差及與有效數(shù)字的算術運算的誤差和相對誤誤差的概

設x為準確值x*x的一個e*x*x為近似x*的絕對誤差簡稱誤差絕對誤差為負時，近似值偏小，則稱弱近似值絕對誤差通常我們并不知道準確x，也不能算出誤差的差的絕對值的上限，這個上限稱為近似值x*的誤差限。記為*e*

xx

e*在工程中常記為xx*即x[x*x*]內(nèi)。在應用上，常常采用上述寫絕對誤差限例例我們用一把毫米刻度的米尺來測量桌子的長度x，xx*x1235 1234.5x這表明x在區(qū)[1234.5,1235.5]內(nèi)x1235相對誤e* x*e

x*e* r r

稱作近似 的相對誤差，記作r。相對誤是無量綱的量，常用百分比表示，它可正可負相對誤差相對誤差也不能準確計算，而是用相對誤差限e估計的e*r*

*x*x*x

r*rr 就是相對誤差限，或者記為 相對誤差限例稱兩堆蘋果，第一堆10kg，誤差為1kg；第二堆為100kg，誤差為2kg，雖然后者的誤差限比到該數(shù)本身的大小

e

e

顯然，稱第一堆蘋果的相對誤差大有效數(shù)字位定義1.3如果

的近似

x*的絕對誤差限是某一位上的半個單位，我們就說x*準確到該的所有數(shù)字稱為

的有效數(shù)字定義：如

x*

12則說x*x準確到小數(shù)后第n位，并從這第n，。

12

3.140.001592 有效位數(shù)為3

1212

有效位數(shù)為5 有效位數(shù)為6重要定理、a10pn設近似x*a10pn

，其中a10a1,a2 ,

都是0-9中的一個數(shù)字，p是整數(shù) x*

110pn則近似值x*n例題分

x*3587.64 x的具有六位有效字的近x*x110461 若x* 是近似值，則

的具有五位有效數(shù)字x*x

110251 例已知x2.71828182,其近似值為x*2.718r求x*的絕對誤差限*和相對誤差限*.r 絕對誤差e*x*0.00000182|e*|0.00000182 0.000002210*2106和并不*和并不*r是唯一的！

2106 |x* 2.7180.71106 若經(jīng)四舍五入取小數(shù)點后3,5,7位數(shù)的近似值,求絕對誤差限* 3.14159265

|*| 3.14159 3.141592

0.0004070.000002650.00000004

0.51030.51050.5107四則運算的誤絕對誤差：ex*x例如下列式子說明什么?數(shù)值計算中應該注意的一些要使例：求解：由

1dx（n0,1,2,8）的值1x

1

5xn1dn 1xn1dx

x 初1 1

dxln6ln5

x遞推公I0 1 (n1, ,

(*)式就可以逐步I115I0 1 1

注意此公式精確成 1

不穩(wěn)定的算 1 1 這就是誤 所引起的危害15，改變公 變將公

1

(Kn,n

k 5不妨設

I，于是

11

5可求得I90.017，按公式（**）可逐次求I8 I7I6I4I2I0

I5I3I1

穩(wěn)定的誤差 與積蝴蝶效應——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風和日麗 以上是一個問題 輸了一場戰(zhàn)斗，亡了一個要避:求x1xyx1x

的值。當x1000，y的準確值為0.01580y 2、將（*）改寫x1xx1xx1xx1x則y類似

lnxlnylny

sin(x)sinx2cosx2sin 例 2.7182如分母變?yōu)?.0011，也即分母只有0.0001的變化2.7182精確

x2 (1091)x