選修4-5 第二節(jié) 不等式證明、柯西不等式與平均值不等式1

選修4-5不等式選講第二節(jié)不等式的證明、柯西不等式與平均值不等式抓基礎(chǔ)提能力明考向

[備考方向要明了]一、比較法1．求差比較法知道a＞b?a－b＞0，a＜b?a－b＜0，因此要證明a＞b，只要證明

即可，這種方法稱為求差比較法．a(chǎn)－b＞0二、分析法從所要證明的

出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法．三、綜合法從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理，論證而得出命題成立，這種證明方法稱為綜合法即“由因?qū)す钡姆椒ǎY(jié)論四、放縮法在證明不等式時(shí)，有時(shí)我們要把所證不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的．這種方法稱為放縮法．五、反證法的步驟1．作出否定

的假設(shè)；2．進(jìn)行推理，導(dǎo)出

；3．否定

，肯定

．結(jié)論矛盾假設(shè)結(jié)論(ac＋bd)22．柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β為平面上的兩個(gè)向量，則|α||β|≥|α·β|，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反時(shí)成立．

1．綜合法與分析法的內(nèi)在聯(lián)系綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡(jiǎn)單、條理清楚．當(dāng)問題比較復(fù)雜時(shí)，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，以分析法尋找證明的思路，而用綜合法敘述、表達(dá)整個(gè)證明過程．2．放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較．注意：放縮要適度，“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小是由題目分析，多次嘗試得出．[精析考題][例1]

(2011·福建高考)設(shè)不等式|2x－1|＜1的解集為M.(1)求集合M;(2)若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大?。甗自主解答]

(1)由|2x－1|＜1，得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0,故ab＋1＞a＋b.本例條件不變，試比較logm(ab＋1)與logm(a＋b)(m＞0且m≠1)的大?。猓骸?＜a＜1,0＜b＜1，∴(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.當(dāng)m＞1時(shí)，y＝logmX在(0，＋∞)上遞增，∴l(xiāng)ogm(ab＋1)＞logm(a＋b)當(dāng)0＜m＜1時(shí)logmX在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴l(xiāng)ogm(ab＋1)＜logm(a＋b)．[巧練模擬]———————(課堂突破保分題，分分必保！)[沖關(guān)錦囊]比較法證明不等式最常用的是作差法，其基本步驟是(1)作差；(2)變形；(3)判斷差的符號(hào)；(4)下結(jié)論．其中“變形”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù).[精析考題][例2]

(2011·安徽高考)(1)設(shè)x≥1，y≥1，證明x＋y＋≤＋＋xy；(2)設(shè)1＜a≤b≤c，證明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.[巧練模擬]———————(課堂突破保分題，分分必保！)4．(2012·南通二調(diào))設(shè)x，y，z為正數(shù)，求證：2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．證明：因?yàn)閤2＋y2≥2xy≥0，所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)，同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)，三式相加即可得2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)，又因?yàn)閤y(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)＝x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)所以2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．2．分析法證明不等式的注意事項(xiàng)：用分析法證明不等式時(shí)，不要把“逆求”錯(cuò)誤地作為“逆推”，分