結(jié)構(gòu)力學(xué)第三章-扭轉(zhuǎn)課件

第三章扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)§3–1概述§3–2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)§3–3傳動(dòng)軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖§3–4等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力·強(qiáng)度條件§3–5等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形·剛度條件§3–6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能§3–7非圓截面等直桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形第三章扭轉(zhuǎn)§3–1概述軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOmmOBA工程實(shí)例§3–2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)略扭轉(zhuǎn)角（）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移。切應(yīng)變（）：直角的改變量。T=m剪切胡克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)（τ≤τp)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。剪切胡克定律：

式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因

無(wú)量綱，故G的量綱與相同，不同材料的G值可通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為80GPa

。

剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在關(guān)系：

可見(jiàn)，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來(lái)。（推導(dǎo)詳見(jiàn)后面章節(jié)）：§3–3傳動(dòng)軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖一、傳動(dòng)軸的外力偶矩

傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：其中：P—功率，千瓦（kW）

n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P—功率，馬力（PS）

n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）1PS=735.5N·m/s,1kW=1.36PS3扭矩的符號(hào)規(guī)定：“T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負(fù)。二、扭矩及扭矩圖

1扭矩：構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。

2截面法求扭矩MMMTx4扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。

目的①扭矩變化規(guī)律；②|T|max值及其截面位置強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。xT[例1]已知：一傳動(dòng)軸，n=300r/min，主動(dòng)輪輸入P1=500kW，從動(dòng)輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nABCDP2

P3

P1

P4解：①計(jì)算外力偶矩nABCDM2

M3

M1

M4112233②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）③繪制扭矩圖BC段為危險(xiǎn)截面。xTnABCDM2

M3

M1

M44.789.566.37––§3–4等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力·強(qiáng)度條件等直圓桿橫截面應(yīng)力①變形幾何方面②物理關(guān)系方面③靜力學(xué)方面1.橫截面變形后仍為平面；

2.軸向無(wú)伸縮；

3.縱向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：1.變形幾何關(guān)系：距圓心為任一點(diǎn)處的與到圓心的距離成正比。——扭轉(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向變化率。Ttmaxtmax2.物理關(guān)系：剪切胡克定律：代入上式得：3.靜力學(xué)關(guān)系：TOdA令代入物理關(guān)系式得：極慣性矩—橫截面上距圓心為處任一點(diǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過(guò)外力偶矩求得。

—該點(diǎn)到圓心的距離。

Ip—極慣性矩，純幾何量，無(wú)物理意義。單位：m4③盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。對(duì)于實(shí)心圓截面：ddO對(duì)于空心圓截面：dDOd④應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。⑤確定最大切應(yīng)力：由知：當(dāng)WP—抗扭截面系數(shù)（扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)），幾何量，單位：m3。對(duì)于實(shí)心圓截面：對(duì)于空心圓截面：[例]

一個(gè)是實(shí)心圓截面I軸，一個(gè)是空心圓截面II軸，兩軸材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩和長(zhǎng)度l均相等，最大切應(yīng)力也相等。若空心圓截面內(nèi)、外直徑比為，試求空心圓截面的外徑與實(shí)心圓截面直徑之比以及兩軸的重量比。解：帶入最大切應(yīng)力公式：可得：即：兩軸重量比即為橫截面積比三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開(kāi)。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開(kāi)。因此，我們需要研究斜截面上的應(yīng)力。點(diǎn)M的應(yīng)力單元體如右圖tt′2、斜截面上的應(yīng)力M1、切應(yīng)力互等定理：

該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。上式稱為切應(yīng)力互等定理。dxdy′′zOdztt′tt′t′ttasax2、斜截面上的應(yīng)力t′ttasaxηξ轉(zhuǎn)角規(guī)定：軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時(shí)針：為“+”順時(shí)針：為“–”由平衡方程：解得：分析：當(dāng)=45°時(shí)，當(dāng)=–45°時(shí)，當(dāng)=90°時(shí)，tt′smaxsmin45°

由此可見(jiàn)：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在橫截面和縱截面上的切應(yīng)力為最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。當(dāng)=0°時(shí)，四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：對(duì)于等截面圓軸：([]

稱為許用剪應(yīng)力。)強(qiáng)度計(jì)算三方面：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③計(jì)算許可載荷：§3–5等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形·剛度條件一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形由公式可知：長(zhǎng)為

l的一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

為GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。二、單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角[]

：或三、剛度條件或[]稱為許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。剛度計(jì)算的三方面：①校核剛度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③計(jì)算許可載荷：有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。[例]已知：一傳動(dòng)軸，n=300r/min，主動(dòng)輪輸入P1=500kW，從動(dòng)輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。該軸由45號(hào)鋼制成，為空心圓截面，內(nèi)、外半徑比為0.5，鋼的許用切應(yīng)力=40Mpa,切變模量G=80Gpa,許可單位扭轉(zhuǎn)角。試根據(jù)強(qiáng)度與剛度條件選擇軸的半徑。nABCDP2

P3

P1

P4dDxT4.789.566.37––解：由扭矩圖，可知由強(qiáng)度條件由剛度條件綜合強(qiáng)度條件與剛度條件可知由強(qiáng)度條件§3–6等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能一、應(yīng)變能與應(yīng)變能密度acddxbdy′′dzzxy單元體微功：應(yīng)變能密度：等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)變能對(duì)只在兩端受外力偶矩的等直圓桿的應(yīng)變能又由§3–7非圓截面等直桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。一、自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。二、約束扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面的翹曲程度不同。三、矩形桿橫截面上的剪應(yīng)力:1.切應(yīng)力分布如圖：（角點(diǎn)、形心、長(zhǎng)短邊中點(diǎn)）

h3bht1T

t

max注意！b2.最大剪應(yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角其中：相當(dāng)極慣性矩

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max注意！b查表求和時(shí)一定要注意，表中